[PDF] ALGÈBRE IV - CORRIGÉ PARTIEL DE LA FEUILLE DEXERCICES

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ALGÈBRE IV - CORRIGÉ PARTIEL DE LA FEUILLE

D"EXERCICES 3

DANIELE FAENZI

Exercice 5.On considèreR3, muni de la structure d"espace euclidien standard (ou canonique). (1) Soitq:R3!Rla forme quadratique définie par : q(x1e1+x2e2+x3e3) = 2x21+x22+x23+ 2x1x2+ 2x1x3: (a) Montrer queqest positive. (b) Décrire le noyau defq. (c) Donner la matrice defqdans la base canonique. (d) Décrire un endomorphisme symétriqueudeR3tel que : q(x1e1+x2e2+x3e3) =hu(x1e1+x2e2+x3e3);x1e1+x2e2+x3e3i: (e) Donner une base orthonormée deR3qui est orthogonale pourq. (2) Répondre aux questions précédente en remplaçant la définition deqpar : q(x1e1+x2e2+x3e3) = 2x21+32 x22+32 x23+ 2x1x2+ 2x1x3: Exercice 6.SoitEun espace euclidien, etuun endomorphisme symétrique deE. Montrer queuest orthogonal si et seulement si1x2divise le polynôme minimal deu. Corrigé(Exercice 5.1).Pour montrer queqest positive on pourra utiliser la mé- thode de Gauss : q(x1e1+x2e2+x3e3) = 2x21+x22+x23+ 2x1x2+ 2x1x3= = 2(x1+12 x2+12 x3)212 x2212 x23x2x3+x22+x23= = 2(x1+12 x2+12 x3)2+12 (x2x3)20; pour toutx1;x2;x3. On a donc prouvé (1a). Pour (1b), on peut utiliser que le noyau(R3)?d"une forme positive est l"ensemble des vecteurs isotropes. Donc : (R3)?=fx1e1+x2e2+x3e3jq(x1e1+x2e2+x3e3) = 0g= =fx1e1+x2e2+x3e3j2(x1+12 x2+12 x3)2+12 (x2x3)2= 0g= =fx1e1+x2e2+x3e3jx1+12 x2+12 x3=x2x3= 0g= =fx1e1+x2e2+x3e3jx1=x2;x2=x3g= = vect((1;1;1)t):Date: 14 mai 2008. 1

2 DANIELE FAENZI

SoitB= (e1;e2;e3)la base canonique. La matriceMB(q)est alors : 0 @2 1 1 1 1 0

1 0 11

A ce qui répond à (1c). Pour la question (1d), on considère un endomorphismeudeR3, et on note par A= MB(u)sa matrice dans la base canoniqueB. Six=x1e1+x2e2+x3e3, on a u(x) =BA(x1;x2;x3)t. On n"obtient : hu(x);xi= (A(x1;x2;x3)t)tI3(x1;x2;x3)t= = (x1;x2;x3)At(x1;x2;x3)t; vu que la matrice dans la base canonique de la forme bilinéaire donnée par le produit scalaire est l"identitéI3. D"autre part on a : q(x) = (x1;x2;x3)MB(q)(x1;x2;x3)t: Doncq(x) =hu(x);xisiA= MB(q). De plus, commeBest orthonormée,u est symétrique si et seulement siA=At, ce qui est le cas puisqueMB(q)est symétrique. Il suffit donc de définirucomme l"endomorphisme dont la matrice dansBest M

B(q). C"est-à-dire, on pose :

u(x) =u(x1e1+x2e2+x3e3) =BMB(q)(x1;x2;x3)t: Pour (1e), on remarque d"abord que, siPest la matrice de passage deBà une baseB0orthonormée de valeurs propres pouru, on a : M

B0(u) =P1MB(u)P=PtMB(u)P;matrice diagonale:

Mais, vu qu"on a imposéMB(u) = MB(q), on n"obtiendra : M

B0(q) =PtMB(q)P;matrice diagonale;

ce qui implique que la baseB0est orthogonale pourq(et bien entendu orthonormée). Il faut donc chercher une base orthonormée de vecteurs propres deu. On re- marque queua rang2donc0est une valeur propre, et on sait que son espace propre estEt= vect((1;1;1)t). L"orthogonaleE?0de cet espace est défini par l"équationx1x2x3= 0. Une base deE?0est donc : v

1= (1;1;0)t;

v

2= (1;0;1)t:

On calcule la matrice de la restriction deqà cet espace par : M (v1;v2)(qjE?0) =1 1 0 1 0 1 0 @2 1 1 1 1 0

1 0 11

A 0 @1 1 1 0 0 11 A =5 4 4 5quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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