ALGÈBRE IV - CORRIGÉ PARTIEL DE LA FEUILLE DEXERCICES
ALGÈBRE IV - CORRIGÉ PARTIEL DE LA FEUILLE. D'EXERCICES 3. DANIELE FAENZI. Exercice 5. On considère R3 muni de la structure d'espace euclidien standard.
Examen “Algèbre bilinéaire”
Solution. (1.5 points) q est une forme quadratique car q(A) = b(A A) où b : (A
Exercices : Algèbre bilinéaire
Exercices : Algèbre bilinéaire. Exercice 1. Soit E un espace préhilbertien dont on note < ·
Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
Algébrique sur les Matrices avec Exercices Corrigés. 57. 1. Espace vectoriel des matrices. 57. 2. Produit de deux matrices. 59. 3. Matrices carrées. 60. 4.
Algèbre - Cours de première année
site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours ainsi que des exercices corrigés. Au bout du chemin
Mathématiques Méthodes et Exercices ECS 2e année
Énoncés des exercices. 4. Du mal à démarrer ? 12. Corrigés des exercices. 15. 2. Algèbre bilinéaire. 38. Les méthodes à retenir. 39. Énoncés des exercices.
Exercices corrigés Alg`ebre linéaire 1
Exercice 4 Soient (E+
EXAMEN de MATHEMATIQUES Juin 2015
http://bu.univ-tln.fr/annales/2014-15/Sciences/maths_L2_2014-15.pdf
Untitled
François Cottet-Emard. Algèbre linéaire et bilinéaire. COURS. ET EXERCICES CORRIGÉS. Licence de mathématiques L2 de boeck. Éléments sous droits d'auteur
Exercices corrigés Initiation aux bases de données
Exercices. Corrigés. Initiation aux. Base de données. • Algèbre relationnelle I. Chapitre 1 : Algèbre relationnelle . ... Correction de l'exercice 4.
Préparation à l"Agrégation Décembre 2019 Université Paul Sabatier
Examen "Algèbre bilinéaire"
Durée: 2 heures
Documents, calculatrices et téléphones interdits. Justifiez toutes vos réponses.I - Forme quadratique sur les matrices2×2
On noteEl"espace vectoriel des matrices réelles de taille2×2. Pour toute matriceA?Eon pose q(A) = tr(A2).1. Montrer queqest une forme quadratique surE, et déterminer sa forme polaire (en cherchant à
minimiser les calculs...).Solution. (1.5 points)
qest une forme quadratique carq(A) =b(A,A)oùb: (A,B)?→tr(AB)est bilinéaire. Soit on justifie quebest symétrique en rappellant que même siAB?=BA, on a toujourstr(AB) = tr(BA), soit on trouve une expression plus symétrique à l"aide de la relationb(A,B) =14 (q(A+B)-q(A-B)), pour obtenir
b(A,B) =12 tr(AB) +12 tr(BA).2. Exprimerqdans la base canonique deE, donner une décomposition de Gauss deq, et en déduire
sa signature.Solution. (1.5 points)
Si on écritA=?a b
c d? on aA2=?a2+bc ... ... cb+d2? doncq(A) =a2+ 2bc+d2.Une décomposition de Gauss est
q(A) =a2+12 (b+c)2-12 (b-c)2+d2.La signature deqest(3,1).
3. À l"aide de la formule de Cayley-Hamilton, pour toutA?EexprimerA2en fonction deA,
tr(A)etdet(A).Solution. (1 point)
Le polynôme caractéristique deA=?a b
c d? est PA(X) =X2-(a+d)X+ad-bc=X2-tr(A)X-det(A).
En appliquant la formule de Cayley-HamiltonPA(A) = 0, on trouve A2= (trA)A-(detA)I2
On considère maintenant le sous-espaceF?Edes matrices de trace nulle.4. Montrer que pour toutA?Fon aq(A) =-2det(A).
Solution. (1 point)
Par la question précédente pourA?Fon aA2=-(detA)I2, et doncq(A) = tr(A2) = -2det(A).5. Donner la signature et déterminer une base orthogonale pour la restrictionq|F.
Solution. (2 points)
Si on écritA=?a b
c-a? on obtientdetA=-a2-bc, doncq(A) =-2det(A) = 2a2+ 2bc=2a2+12
(b+c)2-12 (b-c)2etqest de signature(2,1).Une base orthogonale (obtenue en prenant la base duale des formes linéaires de la décomposition)
est ?1 0 0-1? ,?0 1 -1 0? ,?0 1 1 0?II - Prolongement d"isométrie
SoitEun espace vectoriel,qune forme quadratique surE, etF?Eun sous-espace vectoriel. Pourles deux premières questions on attend que vous rappeliez sans justification le résultat du cours qui
donne une condition suffisante, et que vous justifiez en une phrase pourquoi elle est nécessaire.1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur(E,q)pour quedimF+dimF?= dimE, pour
tout choix de sous-espaceF.Solution. (1.5 points)
La CNS est queqsoit non dégénérée.
Siqest non dégénérée, alors on a vu en cours quedimF+ dimF?= dimE. Siqest dégénérée, on peut prendreF=E, alorsF?= kerq){0}.2. Sans hypothèse particulière sur(E,q), donner une condition nécessaire et suffisante surFpour
queE=F?F?.Solution. (1.5 points)
La CNS est queFsoit régulier.
SiFest régulier, c"est-à-direq|Fnon dégénérée, alors on a vu en cours queE=F?F?. SiFest singulier, on aF∩F?){0}, et doncFetF?ne peuvent pas être en somme directe. On considère maintenantR3muni de la forme quadratique standardqde signature(2,1), c"est-à-dire q(x1,x2,x3) =x21+x22-x23.3. Donner un exemple de sous-espaceF?R3tel queR3ne soit pas la somme directe deFetF?.
Solution. (1 point)
On prendFune droite engendrée par un vecteur isotropev, par exemplev= (1,0,1). Alors F?F?, ce qui interdit queFetF?soient en somme directe. On rappelle queP?R3est unplan hyperboliquesiPest un sous-espace de dimension 2 tel que la formeq|Psoit de signature(1,1).quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] algèbre exercices
[PDF] algèbre exercices avec solutions
[PDF] algèbre exercices avec solutions pdf
[PDF] algebre generale exercices corrigés pdf
[PDF] algebre generale mp
[PDF] algèbre linéaire cours exercices corrigés pdf
[PDF] algèbre linéaire espace vectoriel exercice corrigé
[PDF] algèbre linéaire exo7
[PDF] algèbre linéaire pour les nuls
[PDF] algèbre linéaire: matrice
[PDF] algebre pdf
[PDF] algebre s2 economie exercices corrigés pdf
[PDF] algebre s2 economie pdf
[PDF] algebre s2 exercices corrigés pdf
