[PDF] Exercices : Algèbre bilinéaire

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Exercices : Algèbre bilinéaire

Exercice 1

SoitEun espace préhilbertien, dont on note<·,·>le produit scalaire. Soit(y1,y2)?E2tels que?x?E < x,y1>=< x,y2>. Montrer quey1=y2.

Remarque : cette propriété est importante, en particulier lorsquey2= 0. Il faut savoir l"écrire en termes matriciels.

Exercice 2

SoitE=Mn(R)muni de< A,B >= Tr(tAB).

1)Montrer que< A,B >= Tr(tAB)défini un produit scalaire surEen explicitant ce produit scalaire

en fonction des coefficients deAetB. En déduire une base orthonormée.

2)SoitA= (aij)?Mn(R), montrer que?

n i=1n j=1a ij? 6n? ???n i=1n j=1a 2ij

3)Montrer queSn(R)(les matrices symétriques) etAn(R)(les matrices antisymétriques) sont orthogo-

naux pour ce produit scalaire.

Exercice 3

SoitIun intervalle fixé deR. SoitEl"ensemble des fonction continues surIà valeurs dansRtelles quef2

soit intégrable surI.

1)Montrer queEest un espace vectoriel.

2)On admet que< f,g >=?

I fgest un produit scalaire. Montrer que? 0e -t/2⎷1 +t2dt6?π 2

Exercice 4

En utilisant l"inégalité de Cauchy-Schwarz, majorerI=? 1

0⎷te-tdt.

Exercice 5 (Schmidt)

Orthonormaliser par Schmidt les bases suivantes deR3:((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0))et((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1))

Exercice 6 (orthogonal d"un sous-espace vectoriel, projection) SoitE=R2euclidien canonique,B= (e1,e2)la base canonique; etF= Vect((1,2)). (faire un dessin)

1)Donner l"équation deF?, puis une base deF?. En déduire une base orthonorméeB?= (e?1,e?2)de

E=F?F?compatible avec la somme directe.

2)SoitpFla projection orthogonale surF. Donner la matrice depFdansB?, puis dansB.

Pour toutx?Edonner l"expression depF(x)en fonction dexete?1,sans passer par les matrices que l"on vient d"obtenir.

3)Distanced((1,1),F).

Exercice 7

SoitE=R4euclidien canonique,Bla base canonique.

Posonsv1= (1,2,-1,1),v2= (0,3,1,-1)etF= Vect(v1,v2). 1)

a) Donner un système d"équations deF?, puis une base orthonormée deF?. Peut-on en déduire un

système d"équations deF? b)En déduire une base orthonorméeB?= (e?i)ideE=F?F?compatible avec la somme directe.

2)SoitpFla projection orthogonale surF. Pour toutx?Edonner l"expression depF(x)en fonction de

xet lese?i, puis en déduire la matrice depFdansB.

3)Distanced((1,0,0,1),F).

Exercice 8 (PT 2009 A)

SoitEunR-espace vectoriel euclidien, etp?L(E)un projecteur. Montrer quepest un projecteur orthogonal si et seulement si?x?E?p(x)?6?x?. 1 ExercicesAlgèbre bilinéaireExercice 9 (Polynômes de Hermite)

SoitE=R[X]. Pour toutP,Q?R[X]2, on pose(P|Q) =?

-∞P(t)Q(t)e-t2/2dt.

1)Montrer que(·|·)est un produit scalaire surE. Orthogonaliser la base(1,X,X2)deR2[X].

2)En déduire la projection deX3surR2[X]. Calculerinf(a,b)?R2?

-∞(t2-at-b)2e-t2/2dt.

Plus généralement, siIest un intervalle deRetW:I→Rune fonction continue par morceaux, positive,

non identiquement nulle, telle que pour toutP?R[X]la fonctionPWest intégrable surI, alors on peut définir le produit scalaire< P,Q >=? I PQWsurE. En orthonormalisant la base canonique, on obtient

une famille de polynômes orthogonaux. Par exemple les polynômes de Legendre (I= [-1,1],W(x) = 1), de

Tchebychev (I= [-1,1],W(x) =1⎷1-x2), de Hermite (I=R,W(x) =e-x2), de Laguerre, etc...

Exercice 10

SoitEun espace préhilbertien, dont on note<·,·>le produit scalaire. Soitf,gdeux fonctions deEdansEtelles que?(x,y)?E2< x,f(y)>=< g(x),y >.

Montrer quefetgsont linéaires.

Exercice 11 (De l"endomorphisme à la matrice)

1)Déterminer la matrice dans la base canonique deR3de la rotation d"angleπ/3et d"axeVect((1,1,1))

2)Soita?R3unitaire etf?L(R3)défini parf(x) =a?x+< a,x > a. Reconnaîtref.

Exercice 12

SoitEeuclidien etf?L(E)dont la matriceMdans une base orthonormée est symétrique et orthogonale.

Qu"est-ce quef?

Exercice 13

SoitM= (aij)?On(R). Montrer que?i,j|aij|61et?

ija ij? 6n.

Indication:Pour la première inégalité, revenir à la définition d"un endomorphisme orthogonal.

Exercice 14 (De la matrice à l"endomorphisme)

Montrer que les endomorphismesfi?L(R3)associés aux matrices suivantes (dans la base canonique) sont

orthogonaux. M 1=13 (1-2-2 -2 1-2 -2-2 1) )M2=14 (-2-⎷6 ⎷6 ⎷6 1 3 -⎷6 3 1 )M3=13 (1 1-⎷3 1 + ⎷3

1 +⎷3 1 1-⎷3

1-⎷3 1 +

⎷3 1

Décrire les éléments propres. Si c"est une rotation, déterminer l"axe et l"angle. CalculerM4813.

Exercice 15 (suite du 9)

Montrer queu(P) =P??-XP?est un endomorphisme symétrique deE.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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