[PDF] Mathématiques Méthodes et Exercices ECS 2e année

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Mathématiques

Méthodes et exercices

ECS 2 e année

Cécile Lardon

Professeur en classe préparatoire

au lycée du Parc à Lyon

Jean-Marie Monier

Professeur en classe préparatoire

au lycée La Martinière-Monplaisir à Lyon

© Dunod, Paris, 2011

ISBN 978-2-10-058112-2

Table des matières

RemerciementsVI

1. Réduction des endomorphismes

et des matrices carrées1

Les méthodes à retenir2

Énoncés des exercices4

Du mal à démarrer?12

Corrigés des exercices15

2. Algèbre bilinéaire38

Les méthodes à retenir39

Énoncés des exercices41

Du mal à démarrer?47

Corrigés des exercices50

3. Intégrales sur un intervalle

quelconque66

Les méthodes à retenir66

Énoncés des exercices70

Du mal à démarrer?79

Corrigés des exercices84

4. Fonctions numériques de plusieurs

variables réelles116

Les méthodes à retenir117

Énoncés des exercices120

Du mal à démarrer?126

Corrigés des exercices129

5. Variables aléatoires discrètes,

vecteurs aléatoires discrets150

Les méthodes à retenir151

Énoncés des exercices154

Du mal à démarrer?161

Corrigés des exercices163

6. Variables aléatoires à densité180

Les méthodes à retenir180

Énoncés des exercices183

Du mal à démarrer?190

Corrigés des exercices193

7. Convergences et approximations217

Les méthodes à retenir217

Énoncés des exercices218

Du mal à démarrer?224

Corrigés des exercices227

8. Estimation, statistique243

Les méthodes à retenir244

Énoncés des exercices245

Du mal à démarrer?254

Corrigés des exercices257

9. Algorithmique276

Les méthodes à retenir276

Énoncés des exercices281

Du mal à démarrer?290

Corrigés des exercices293

10. Problèmes de révision312

Énoncés des exercices313

Du mal à démarrer?332

Corrigés des exercices338

Index378

Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit III

Pour bien utiliser cet ouvrage

La page d"entrée de chapitre

Elle propose un plan du chapitre, les

thèmes abordés dans les exercices, ainsi qu'un rappel des points essentiels du cours pour la résolution des exercices.

Les méthodes à retenir

Cette rubrique constitue une synthèse des prin- cipales méthodes à connaître, détaillées étape par étape, et indique les exercices auxquels elles se rapportent. IV

Pour bien utiliser cet ouvrage

Énoncés des exercices

De nombreux exercices de difculté croissante

sont proposés pour s'entraîner. La difculté de chaque exercice est indiquée sur une échelle de1à4.

Du mal à démarrer?

Des conseils méthodologiques sont proposés

pour bien aborder la résolution des exercices.

Corrigés des exercices

Tous les exercices sont corrigés de façon détaillée. Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit V

Remerciements

Nous tenons ici à exprimer notre gratitude aux nombreuxcollègues qui ont accepté de réviser des parties du manuscrit :

Pascal Alessandri, Jean-Philippe Berne, Gérard Bourgin,Frédérique Christin, Jean-Paul Christin, Sophie Cohéléach,

Carine Courant, Sylvain Delpech, Hermin Durand, Viviane Gaggioli, Marguerite Gauthier, André Laont, Tewfik

Lahcène, HadrienLarome,IbrahimRihaoui,René Roy,Marie-DominiqueSiéfert,Marie-PascaleThon,AudreyVerdier.

VI

Réduction

des endomorphismes et des matrices carrées

CHAPITRE

1 1 Plan

Les méthodes à retenir2

Énoncés des exercices4

Du mal à démarrer?12

Corrigés des exercices15

Thèmes abordés dans les exercices

€Détermination des valeurs propres et des sous-espaces propres d"un endomor- phisme ou d'une matrice carrée €Étude de la diagonalisabilitéd'un endomorphisme ou d'une matrice carrée, ob- tention d'une diagonalisation €Calcul des puissances d"une matrice carrée

KdésigneRouC

Par commodité, on utilise

les abréviations suivantes : ev pour : espace vectoriel sev pour : sous-espace vectoriel vp pour : valeur propre

SEP pour : sous-espace propre.

Résolution d'équations matricielles.

Points essentiels du cours

pour la résolution des exercices €Définition de : valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre €Matrices de passage, formules de changement de base, matrices carrées sem- blables €Définition de la diagonalisabilité, d"une diagonalisation €CNS de diagonalisabilité faisant intervenir la somme des sous-espaces propres €CNS de diagonalisabilité faisant intervenir la somme des dimensions des sous- espaces propres €Condition susante de diagonalisabilité :nvaleurs propres deux à deux dis- tinctes en dimensionn €Polynômes d"endomorphisme, polynômes de matrice carrée, polynômes annu- lateurs d'un endomorphisme,polynômes annulateurs d'une matrice carrée €Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable. Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit 1 Chapitre 1€Réduction des endomorphismeset des matrices carrées

Les méthodes à retenir

Pour déterminer

les valeurs propres d'un endomorphismef d'un espace vectorielE ou d'une matrice carréeAde M n (K)

Essayer l"une des trois méthodes suivantes :

€calculer, pour tout?K,le rang de la matriceAŠ?I n en fonction de?;?est valeur propre si et seulement si rg(AŠ?I n )1.35b) €revenir à la définition, c"est-à-dire résoudre l"équationf(x)=?x, ?K,oùXM n,1 (K)\{0}

Exercices1.26b),1.34

€faire intervenir la notion de polynôme annulateur, sifouAsatisfait une équation assez simple. Se rappeler que les valeurs propresd"une matrice triangulaire se lisent sur sa diagonale.

1.33a).

Pour déterminer

le sous-espace propre associé à une valeur propreε 0 d'un endomorphismef ou d'une matrice carréeAde M n (K)

Appliquer la définition :

SEP(f,?

0 )=Ker(fŠ? 0 Id E )={xE;f(x)=? 0 x},

SEP(A,?

0 XM n,1 (K);AX=? 0 X c"est-à-dire résoudre l"équationf(x)=? 0 x,d"inconnuexEou l'équationAX=? 0

X,d"inconnueXM

n,1 (K).

Pour déterminer

les valeurs propres et les vecteurs propres d'un endomorphismef d'un espace vectorielE ou d'une matrice carréeAde M n (K)

Essayer de :

€déterminer d"abord les valeurs propres defou deA, par une mé- thode vue plus haut, puis, pour chaque valeur propre, déterminer le sous-espace propre associé par la méthode vue plus haut

Exercice1.1

€résoudre l"équationf(x)=?x,d"inconnues?K,xE\{0}ou l'équationAX=?X,d"inconnues?K,XM n,1 (K).

Pour étudier la diagonalisabilité

d'une matrice carréeAde M n (K)et

éventuellement pour diagonaliserA

Déterminer les valeurs propres deA:

€siAadmetnvaleurs propresdeux à deux distinctes, alors, d"aprèsle cours,Aest diagonalisable

Exercices1.1a), b),1.6c),1.9,1.11a),1.27d)

2

Les méthodes à retenir

(suite) €siAn"admet qu"une seule valeur propre∞et siAε∞I n ,alorsA surde.

Exercices1.1d),1.8c),1.9,1.13c)

€sinon, déterminer les sous-espaces propres deApuis les dimensions deAest égale àn

Exercices1.1c), e),1.2c),1.5c),1.8c),1.10b),1.17,

1.25d)2),1.26c)

€siAest diagonalisable, en notantDla matrice diagonale formée (sur la diagonale) par les valeurs propres deA(présentes autant de fois que la dimension du sous-espace propre associé), et en notant

Pla matrice de passage de la base canonique deM

n,1 (K) à une base de vecteurs propres deA(associés aux valeurs propres deA,dans l'ordre), on obtient une diagonalisationA=PDP Š1 deA

Exercices1.1a), b), c)

€se rappeler que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.

1.28a),1.35a).

Pour étudier

la diagonalisabilité d'un endomorphismef d'un espace vectorielE de dimension nien

Déterminer les valeurs propres def:

€sifadmetnvaleurs propres deux à deux distinctes, alorsfest dia- gonalisable

Exercice1.6

€sinon, déterminer les sous-espaces propres def, puis éventuelle- ment les dimensions des sous-espaces propres def ?fest diagonalisablesi et seulement si la somme dessous-espaces propres defest égale àE

Exercice1.16

?fest diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous-espaces propres defest égale àn

Exercices1.6,1.25

€on peut essayer de se ramener à l'étude de la diagonalisabilité d'une matricecarrée,en considérantla matrice defdansunecertaine base deE.

Exercices1.7,1.8,1.12,1.29.

Pour calculer

les puissances d'une matrice carrée Essayer d"utiliser, si possible, une diagonalisationA=PDP Š1 deA, oùDest diagonale etPest inversible.

On a alors :nN,A

n =PD n P Š1 De plus,AestinversiblesietseulementsiDest inversible, et, dans ce cas, on a alors :nZ,A n =PD n P Š1

Exercice1.3c).

Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit 3 Chapitre 1€Réduction des endomorphismeset des matrices carrées

Énoncés des exercices

1.1Exemples d'étude de diagonalisabilité et de diagonalisation éventuelle de matrices carrées

d'ordre 3 Pour chacune des matrices suivantes, est-elle diagonalisable et, si oui, la diagonaliser : a) A=

Š46Š3

Š13Š1

4Š43

b) B= 001 001 111
c) C=

3Š6Š2

01 0

4Š12Š3

d) E= 12 1

01Š1

00 1 e) F=

3Š11

022

Š113

f) G=

Š101

012

1Š11

1.2Exemple de diagonalisation d'une matrice carrée d'ordre 4, d'après HEC 2009

On considère la matriceA=

1111

11Š1Š1

1Š11Š1

1Š1Š11

deM 4 (R) et on notefl"endomorphisme deR 4 représenté parAdans la base canoniqueB 0 =(e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 )deR 4 a)On notev 1 =(1,1,0,0),v 2 =(1,Š1,1,1),v 3 =(1,0,1,0).

Calculerf(v

i ) pour toutiα1;3?. b)CalculerA 2 . Qu'en déduit-on pour les valeurs propres deA? c)Montrer queAest diagonalisable dansM 4 (R) et déterminer une matrice de passagePde la baseB 0

à une base de vecteurs propres pourf.

1.3Exemple de détermination des valeurs propres et des sous-espaces propres d'une matrice

carrée d'ordre 5, d'après HEC 2006

On considère la matriceA=

01000
10100
01010
00101
00010 M 5 (R). a)Est-ce queAest diagonalisable? b)Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres deA.

1.4Exemple de calcul des puissances d'une matrice carrée d'ordre 3 à l'aide d'une diagonali-

sation

On noteA=

00 1 01 1 111/2
M 3 (R). a)Montrer queAest diagonalisable et queAest inversible. b)DiagonaliserA. c)En déduire l"expression deA n pour toutnZ. 4

Énoncés des exercices

1.5Exemple d'étude de diagonalisabilité pour un endomorphisme de M

2 (R)

On noteE=M

2 (R)et:f:EŠE, ab cd 1 2 a+db+c b+ca+d a)Vérifier :fL(E)etf 2 =f. b)Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres def. c)Est-ce quefest diagonalisable?

1.6Éléments propres d'un endomorphisme d'un ev de polynômes

On considère l"applicationfdéfinie dansC

2 [X] par : PC 2 [X],f(P)=(X 2 +1)P

Š(2XŠ1)P.

a)Montrer quefest un endomorphisme deC 2 [X]. b)Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres def, de deux façons diérentes, en utilisant :

1)la définition des éléments propres def

2)la matrice defdans la base (1,X,X

2 )deC 2 [X]. c)L"endomorphismefest-il diagonalisable?

1.7Exemple de détermination des éléments propres d'un endomorphisme de M

2 (R)

On considère l"applicationf:M

2 (R)ŠM 2 (R),quotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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