Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
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Document - Dénombrement dans un espace vectoriel fini
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Dimension dun espace vectoriel admettant une partie génératrice
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Dimension finie
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120: Dimension dun espace vectoriel. Rang. Exemples et applications
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Espaces vectoriels de dimension finie
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Espace vectoriel de dimension finie
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est de cardinal fini. Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit A une partie de E. On suppose que. A= xi;i £ I où I est un ensemble permettant d'indexer
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La dimension dim E d'un espace vectoriel E est donc par définition le cardinal de chacune de ses bases S'il n'existe pas de base de cardinal fini alors on dit
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La dimension d'un (sous-)espace vectoriel est le cardinal de l'une de ses bases c-`a-d d'une famille qui engendre cet espace et qui est libre
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1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Chapitre IV
vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteursDans ce chapitre ܧ
I Familles libres, génératrices, bases
1. Définitions
Définition de famille libre, liée, indépendance linéaire- Une famille (une collection) ࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒሬሬሬሬԦሻ ॶ-ev ܧ
existe des nombres ߣଵǡߣଶǡǥǡߣאOn dit aussi que les vecteurs ݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒሬሬሬሬԦ sont linéairement dépendants.
- Dans le cas contraire, on dit que la famille est libre.࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒሬሬሬሬԦሻ est libre signifie que si ߣଵǡߣଶǡǥǡߣא
ߣଵݒଵሬሬሬሬԦߣଶݒଶሬሬሬሬԦڮߣݒሬሬሬሬԦൌͲሬԦ, alors on a forcément ߣଵൌߣଶൌڮൌߣ
Définition de famille génératrice
࣠ de ܧ est génératrice de ܧ si ܧൌܸ݁ܿݐሺ࣠), i.e. tout vecteur ݑሬԦ de ܧ
Définition de base
Une famille ࣠ de ܧ est une base de ܧ si et seulement si ࣠ est libre et génératrice de ܧ
2. Bases et coordonnées
Proposition : La famille ܤൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒሬሬሬሬԦሻ est une base de ܧ
ݒԦ de ܧ ݒపሬሬሬԦܤא Les nombres ߣଵǡߣଶǡǥǡߣאDémonstration :
(֚) : ܤ est génératrice par hypothèse. ܤSoient ߣאॶ tels que ߣଵݒଵሬሬሬሬԦߣଶݒଶሬሬሬሬԦڮߣ
2 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
On a aussi ͲሬԦൌͲൈݒଵሬሬሬሬԦͲൈݒଶሬሬሬሬԦڮ
Par unicité de la décomposition de ͲሬԦ, on a ߣଵൌߣଶൌڮൌߣ
ܤ est donc libre, et génératrice de ܧܧ (֜) : Par hypothèse, ܤ est une base de ܧൌ génératrice de ܧSoit ݒԦܧא
ܤ génératrice ֜ݒԦൌߣଵݒଵሬሬሬሬԦߣଶݒଶሬሬሬሬԦڮߣ
Si on a aussi ݒԦൌߣԢଵݒଵሬሬሬሬԦߣԢଶݒଶሬሬሬሬԦڮߣ
Comme ܤ est libre, on a ሺߣଵെߣᇱଵሻൌͲߣ֞ଵൌߣ
ݒԦ comme combinaison linéaire des vecteurs de ܤEn résumé : ܤ ܤ
3. Exemples
- La base canonique de ॶሺԹǡԧǥሻSoient ݁ଵሬሬሬԦൌሺͳǡͲǡͲǡǥǡͲሻǡ݁ଶሬሬሬԦൌሺͲǡͳǡͲǡǥǡͲሻǡǥǡ݁ሬሬሬሬԦൌሺͲǡͲǡͲǡǥǡͳሻ des vecteurs de ॶ.
Démonstration : ݒԦൌሺݔଵǡݔଶǡǥǡݔሻאOn a vu que ݒԦൌݔଵ݁ଵሬሬሬԦݔଶ݁ଶሬሬሬԦڮݔ݁ሬሬሬሬԦ ܤ֜
De plus, ݒԦൌݔԢଵ݁ଵሬሬሬԦݔԢଶ݁ଶሬሬሬԦڮݔԢ݁ሬሬሬሬԦ֞
Finalement, ܤ est génératrice de ॶ et est libre. ܤDéfinition : La base ܤ
composantes ݔ de ݒԦ. Attention, cela ne se produit que dans cette base particulière.
-Famille libre de ԹǤ Toute famille libre ࣠ de Թ est une base de ܤൌܸ݁ܿPar exemple, deux vecteurs non colinéaires de Թ forment une base du plan engendré par ces
deux vecteurs.3 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
- Թ défini par une équation On a ݒԦൌሺݔǡݕǡݖሻܲא Les deux vecteurs ݒԦଵൌሺͳǡͲǡെ ሻ et ݒԦଶൌሺͲǡͳǡെ ሻ engendrent donc ܲ vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de ܲ une base de ܲ. Les coordonnées de ݒԦൌሺݔǡݕǡݖሻܲאRemarque
vecteurs de manière optimale-à-dire en utilisant le minimum de paramètres. Ici, le vecteur ݒԦൌሺݔǡݕǡݖሻ de ؿܲnon trois. De la même façon, un vecteur ݒԦൌሺݔଵǡݔଶǡǥǡݔଵሻ ܲൌܸ݁ܿݐሺݒԦଵǡݒԦଶሻؿ
Թଵ est déterminé par seulement deux scalaires : ses coordonnées dans la base ܤ
et pas 100 !- Base de ॶሾࢄሿൌሼࡼൌࢇࢇࢄڮࢇࢄǡאԳǡࢇא
Par définition, une base de ॶሾܺ
ॶሾܺሿ. Cette famille est infinie mais tout polynôme ܲ de ॶሾܺ bien une combinaison linéaire finie éléments de ܤ- Base de ॶሾࢄሿൌ࢟ࢋ࢙ࢊࢋࢊࢋࢍ࢘
Une base de ॶሾܺሿ est donnée par ܤൌሺͳǡܺǡܺଶǡǥǡܺሻॶሾܺ
Notez bien que cette famille possède vecteurs. Un polynôme de degré ݊ est
déterminé par ݊ͳ coefficients. - Une famille de 3 vecteurs de Թ (cf. cours)4. La ndimension finie
Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie. Définition : ܧ est de dimension finie si ܧ génératrice finie. Exemples : On a vu que ॶ et ॶሾܺProposition : ॶሾܺ
Démonstration : Soit ࣠ൌሺܲଵǡܲଶǡǥǡܲሻ une famille finie de ॶሾܺ
࣠ peut-elle être génératrice de ॶሾܺ4 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
Soit ݀ൌ݉ܽݔ൫݀݁݃ሺܲଵሻǡ݀݁݃ሺܲଶሻǡǥǡ݀݁݃ሺܲ
Alors ߣଵܲଵߣଶܲଶڮߣௗܲOn remarque que ܸ݁ܿݐሺ࣠ሻؿॶௗሾܺሿ്ॶሾܺሿǤ Par exemple, ܺௗାଵܸב݁ܿ
5. Propriétés clés
Les propriétés suivantes seront utilisées très souvent dans les preuves et les exercices.
Propriété 1 : Soit ࣠ une famille libre de ܧ. Alors la famille ࣠ᇱൌ࣠
et seulement si ݒԦܸב݁ܿ Propriété 2 : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ Alors ࣠ est liée si et seulement si il existe un vecteur ݒԦאgénératrice. Autrement dit, si et seulement si ݒԦא࣠ tel que ݒԦܸא݁ܿ
Démonstration 1 : Soit ࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒሬሬሬሬԦሻ une famille libre.
(֚) : Si ݒԦܸא݁ܿݐሺ࣠ሻ, ݒԦൌߣଵݒଵሬሬሬሬԦߣଶݒଶሬሬሬሬԦڮߣݒሬሬሬሬԦߣ֞ଵݒଵሬሬሬሬԦߣଶݒଶሬሬሬሬԦڮߣ
࣠ሼݒԦሽ qui vaut ͲሬԦ et non triviale. ሺߣ(֜) : On suppose que ࣠ሼݒԦሽ est liée. On veut montrer que ݒԦܸא݁ܿ
࣠ሼݒԦሽ liée ߣ֞ǡߣଵǡߣଶǡǥǡߣ non tous nuls tels que ߣݒԦߣଵݒଵሬሬሬሬԦߣଶݒଶሬሬሬሬԦڮߣ
כSi ߣcar ࣠ est libre par hypothèse. Il y a donc une contradiction car ߣǡߣଵǡߣଶǡǥǡߣ
non tous nuls. כ Si ߣDémonstration 2 : Soit ࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒሬሬሬሬԦሻ une famille génératrice de E.
Si ࣠ est liée, alors ߣଵǡߣଶǡǥǡߣ tel que ߣ5 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR
ce qui est en fait un élément de ܸ݁ܿ ്݅, on a bien sur ݒపሬሬሬԦܸא݁ܿ6. Deux méthodes de construction de bases
Théorème d
Soit ܧ un ॶ-ev de différent de ൛ͲሬԦൟ et ࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒሬሬሬሬԦሻ une famille génératrice. (ܧ
espace vectoriel de dimension finie).Alors on peut extraire de ࣠ une sous-famille ܤൌ൫ݒపሬሬሬሬሬԦǡݒపଵሬሬሬሬሬԦǡǥǡݒపሬሬሬሬሬԦ൯ qui est une base de ܧ
Démonstration : Algorithme avec la propriété 2 : ՜ Sinon, il existe ݒనబሬሬሬሬԦא כ Comme ܧ്൛ͲሬԦൟܧThéorème de la base incomplète
Soit ܧ
ܩൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒሬሬሬሬԦሻ une famille génératrice de ܧ
Alors on peut compléter la famille libre ࣠ avec certains vecteurs ݒపሬሬሬሬሬԦǡݒపଵሬሬሬሬሬԦǡǥǡݒపሬሬሬሬሬԦ de ܩ
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