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Espaces vectoriels de dimension nieChapitre 18

1 Dimension nie 2

1.1 Existence de bases . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2 Dimension d'unK-espace vectoriel . . . . . .3

1.3 Rang d'une famille de vecteurs . . . . . . . .

5

2 Sous-espaces d'un espace vectoriel de dimen-

sion nie 7

2.1 Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2 Sous-espaces vectoriels supplementaires . . .

7 Mathieu Mansuy - Professeur de Mathematiques en superieures PCSI au Lycee Saint Louis (Paris) mansuy.mathieu@hotmail.fr

PCSI5Lycee Saint Louis

1 Dimension nie

Dans tout le chapitreKdesigneraRouC.Denition.On dit qu'unK-espace vectorielEest de dimension nie s'il admet une famille generatrice nie.

Dans le cas contraire, on dit queEest de dimension innie.Exemples. ?Knest de dimension nie puisqu'il admet une famille generatrice (une base) nie : sa base canonique. ?Kn[X] est unK-espace vectoriel de dimension nie. ?Mn;p(K) est de dimension nie. ?K[X] est de dimension innie : en eet supposons avoir une famille generatrice (P1;:::;Pn) de K[X]. Alors tout polyn^ome serait combinaison lineaire deP1;:::;Pn, donc de degrem= max(dP1;:::;dPn).

1.1 Existence de basesSoientEunK-espace vectoriel de dimension nie non reduit af0g. De toute famille

generatrice nie deE, on peut extraire une base (nie) deE.Propriete 1(Theoreme de la base extraite)Preuve.PuisqueEest de dimension nie, il existeG= (e1;:::;en) une famille generatrice nie de

E. Notons :

A=fCard(F);F GetFgeneratrice deEg:

La partieAdeNest non vide (car contientCard(G)). Elle admet un plus petit elementp. SoitFune famille de cardinalpcontenue dansGet generatrice deE. Quitte a renumeroter, on peut supposer queF= (e1;:::;ep). Montrons queFest une base. Elle est generatrice par denition. Montrons qu'elle est libre. Par l'absurde, supposons (e1;:::;ep) liee. Alors l'un des vecteurs de (e1;:::;ep), disonsep(quitte a les reordonner) est combinaison lineaire des autres. Ainsiep2V ect(e1;:::;ep1).

Pourx2E, il existe (1;:::;p)2Kptel que

x=pX i=1 iei2V ect(e1;:::;ep1) car (e1;:::;ep) est generatrice etep2V ect(e1;:::;ep1). AinsiV ect(e1;:::;ep1) =Eet (e1;:::;ep1) est generatrice deEdoncp12A, ce qui est absurde. Ainsi (e1;:::;ep) est libre et generatrice deE. C'est donc une base deE.

Comme consequence, on a :SoitEunK-espace vectoriel de dimension nie non reduit af0g.Eadmet au moins une

base (nie).Propriete 2(Existence de base dans un espace vectoriel de dimension nie)2

PCSI5Lycee Saint LouisSoitEunK-espace vectoriel de dimension nie non reduit af0g. Toute famille libre deE

peut ^etre completee en une base deE.Theoreme 3(Theoreme de la base incomplete)Preuve.SoitLune famille libre deE. CommeEest un espace vectoriel de dimension nie, il possede

une famille generatrice nieG. Notons :

A=fCard(F)jL F L [ GetFlibreg:

La partieAdeNest non vide (car contientCard(L)) et majore (parCard(L [ G)). Elle admet donc un plus grand elementp2N. SoitFune famille libre deEde cardinalptelle queL F L [ G.

NotonsF= (e1;:::;ep).

Montrons queFest une base. On sait par denition qu'elle est libre. Reste donc a montrer qu'elle est generatrice. Pour cela on va montrer queG V ect(e1;:::;ep). Par l'absurde, supposons queG 6V ect(e1;:::;ep). On a alorsx2 Gtel quex =2V ect(e1;:::;ep). La famille (e1;:::;ep;x) est alors libre, elle contientLet est contenue dansL[G(puisquex2 G). Ainsi p+ 12Ace qui est absurde par denition dep. AinsiG V ect(e1;:::;ep) etF= (e1;:::;ep) est generatrice deE. Comme elle est libre, c'est bien une base deE.

Comme consequence de la preuve precedente, on obtient :SoitGune famille generatrice deE. SiLest une famille libre deE, alors, on peut a l'aide

d'elements deGla completer en une base deE.Propriete 4

1.2 Dimension d'unK-espace vectoriel

Lemme.SoitEunK-espace vectoriel admettant une base de cardinaln. Alors toute famille constituee d'au moinsn+ 1 vecteurs est liee. Preuve.Soit (e1;:::;en) une base deE. Soit (x1;:::;xp) une famille d'elements deEavecp > n.

Pour touti2[j1;pj], on posexi=nX

j=1a i;jej.

Soit (1;:::;p)2Kptel que1x1+:::+pxp= 0.

p X i=1 ixi= 0() pX i=1 iai;1! e

1+:::+

pX i=1 iai;n! e n= 0E 8 >>>>:p P i=1 iai;1= 0 pP i=1 iai;n= 0car (e1;:::;en) est une famille libre: Ce systeme est homogenes et a plus d'inconnuespque d'equationsn. Il admet donc une solution non nulle (1;:::;p)6= (0;:::;0). La famille (x1;:::;xp) est donc liee.

On en deduit le corollaire suivant.

3

PCSI5Lycee Saint LouisDans unK-espace vectoriel de dimension nie, toutes les bases ont m^eme nombre d'elements.Propriete 5

Preuve.SoientB1etB2deux bases deE, de cardinaux respectifsnetp. Supposonsn6=p. Par exemplep > n. D'apres la proposition precedente,B1est liee. Contradiction avec le fait que ce soit une base. Denition.?SoitEunK-espace vectoriel de dimension nie non reduit af0g. On appelle dimension de Eet on note dim(E) le cardinal de chacune de ses bases. ?SiE=f0g, on pose par convention dim(E) = 0.Exemples. ?dim(Kn) =ncar admet pour basee1= (1;0;:::;0),e2= (0;1;0;:::;0), ...,en= (0;0;:::;1). ?dim(Kn[X]) =n+ 1 car admet pour base (1;X;:::;Xn). ?dim(Mn;p(K)) =npadmet pour base (Ei;j)1in;1jp Exemples.Determiner une base et la dimension des espaces vectoriels suivants :

1.E1=f(x;y;z)2R3;x+ 3y+z= 0g.

2.E2=f(x;y;z)2R3; x+y+z= 0 etx3y= 0g.

3.E3=a b

c d 2 M

2(R); a+d= 0

Exercice.Calculer dim(Sn(R)).SoitE,FdesK-espaces vectoriels de dimension nie. AlorsEFest de dimension nie,

et : dim(EF) = dim(E) + dim(F):Propriete 6 Preuve.Considerons (e1;:::;ep) une base deE, (f1;:::;fq) une base deF, et la familleBsuivante :

B= ((e1;0F);:::;(ep;0F);(0E;f1);:::;(0F;fq)):

On montre queBest une famille libre et generatrice deEF. AinsiBest une base nie deEF.

EFest donc de dimension nie, et :

dim(EF) =p+q= dim(E) + dim(F): Remarque.Ce resultat se generalise par recurrence : siE1;:::;Ensont des espaces vectoriels de dimension nie, alorsE1 Enest de dimension nie et : dim(E1 En) = dim(E1) ++ dim(En): En particulier siE1==En=K, on retrouve que dim(Kn) =n. 4 PCSI5Lycee Saint LouisSoitEunK-espace vectoriel de dimensionn. Alors : (1)

T outefamille libre de Eadmet au plusnelements.

(2) T outefamille g eneratricede Eadmet au moinsnelements.Propriete 7

Preuve.

(1) C'est une cons equenced'une prop ositionpr ecedente. (2) Soit Fune famille generatrice deEde cardinalp. D'apres le theoreme de la base extraite, on peut a extraire deFune base deE. Son cardinal est alorsnp. SoitEunK-espace vectoriel de dimensionn2NetFune familleformee denelements.

Les proprietes suivantes sont equivalentes :

Fest une base deE, Fest libre, Fest generatrice deE :Propriete 8

Preuve.

?Si (e1;:::;en) est une base deE, elle est libre et generatrice (par denition). ?Supposons (e1;:::;en) libre. Par le theoreme de la base incomplete, on peut la completer en une base (e1;:::;ep) deE. Orp= dim(E) =n, donc (e1;:::;en) = (e1;:::;ep) est une base deE. ?Supposons (e1;:::;en) generatrice. Par le theoreme de la base extraite, on peut en extraire une base (e1;:::;ep) deE. Orp= dim(E) =n, donc (e1;:::;en) = (e1;:::;ep) est une base deE. Exemple.Montrer que ((0;1;1);(1;0;1);(1;1;0)) est une base deR3. Exemple.NotonsTi2R[X] lei-ieme polyn^ome de Tchebytchev. Montrons que (T0;:::;Tn) est une base deR[X]. ?On avait montre que deg(Ti) =i. La famille (T0;:::;Tn) est de degres echelonnes, et donc libre. ?(T0;:::;Tn) est une famille de (n+ 1) vecteurs dans un espace de dimensionn+ 1. C'est donc une base.

1.3 Rang d'une famille de vecteurs

Denition.Soit (e1;:::;ep) est une famille de vecteurs deE. On appelle rang de (e1;:::;ep) et on note

rg(e1;:::;ep) la dimension deV ect(e1;:::;ep).Remarque.Le rang est bien deni puisqueV ect(e1;:::;ep) est de dimension nie : il admet

(e1;:::;ep) comme famille generatrice nie. 5 PCSI5Lycee Saint LouisSoitEunK-espace vectoriel dimension nien. Soit (e1;:::;ep)inEp. On a : (1)rg(e1;:::;ep)min(p;n). (2) La famille ( e1;:::;ep) est libre si et seulement sirg(e1;:::;ep) =p. (3) La famille ( e1;:::;ep) est generatrice deEsi et seulement sirg(e1;:::;ep) =n.Propriete 9

Preuve.

(1) Soit ( f1;:::;fr) une base deV ect(e1;:::;ep) (avecr=rg(e1;:::;ep)). Alors (f1;:::;fr) est libre dansE, donc a moins d'elements qu'une base deE. Ainsirn. De m^eme, (e1;:::;ep) est une famille generatrice deV ect(e1;:::;ep), doncrg(V ect(e1;:::;ep)) p. (2) Supp osons( e1;:::;ep) libre. Comme elle est generatrice deV ect(e1;:::;ep), c'est alors une base deV ect(e1;:::;ep) etrg(e1;:::;ep) =p. Reciproquement supposons querg(e1;:::;ep) =p. Alors (e1;:::;ep) est generatrice deV ect(e1;:::;ep) et a autant d'elements que dim(V ect(e1;:::;ep)), donc c'en est une base. En particulier c'est une famille libre. (3) Supp osons( e1;:::;ep) generatrice deE. AlorsV ect(e1;:::;ep) =E, doncrg(e1;:::;ep) = dim(E) =n. Reciproquement, supposons querg(e1;:::;ep) =n. De (e1;:::;ep), generatrice deV ect(e1;:::;ep), on peut extraire une base (f1;:::;fn) deV ect(e1;:::;ep) (par le theoreme de la base extraite). La famille (f1;:::;fn) est libre dansE, et an= dim(E) elements. C'est donc une base deE. Ainsi,E=V ect(f1;:::;fn)V ect(e1;:::;ep) doncV ect(e1;:::;ep) =Eet (e1;:::;ep) est generatrice deE. Exemple.Determinons le rang de la famille suivante : x

1= (1;1;1); x2= (1;1;1); x3= (0;1;1); x4= (1;0;2):

Nous avons quatre vecteurs dansR3. On sait deja que cette famille est necessairement liee. Soit1,

2,3,42Rtels que1x1+2x2+3x3+4x4= 0. On a :

1x1+2x2+3x3+4x4= 0

()8

12+4= 0

1+2+3= 0

12+3+ 24= 0

()12+4= 0

3+4= 0

On obtient un systeme homogene, echelonne reduit. Il possede deux inconnues principales1;3, deux inconnues parametres2;4(on retrouve bien que cette famille est liee). On obtient alors : ?pour2= 1;4= 0 :x2=x1; ?pour2= 0;4= 1 :x4=x1+x3. Ainsi, on aV ect(x1;x2;x3;x4) =V ect(x1;x3). Comme la famille (x1;x3) est libre (deux vecteurs non colineaires, ou autrement en prenant2=4= 0 dans le systeme ci-dessus), on en deduit que rg(x1;x2;x3;x4) = 2. 6

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2 Sous-espaces d'un espace vectoriel de dimension nie

2.1 DimensionSoientEunK-espace vectoriel de dimension nie,Fun sous-espace vectoriel deE. Alors :

(1)Fest de dimension nie et dim(F)dim(E) ; (2)F=E,dim(F) = dim(E).Propriete 10 IPour montrer queF=E, il sut de montrer queFest un sev deEet quedim(F) = dim(E).

Preuve.

(1) On supp oseF6=f0Eg, sinon c'est evident. Considerons la partie deNsuivante :

A=fCard(LjLfamille libre deFg:

On aA6=;car pour toutx2F,x6= 0E, (x) est une famille libre. De plusAest majoree par dim(E), car siLest une famille libre deF, c'est une famille libre deEet doncCard(L)dim(E).

Apossede donc un plus grand elementp.

SoitFune famille libre deFtelle queCard(F) =p. AlorsFest une famille libre. Elle est de plus generatrice car six2F,x =2V ect(F), alorsF [ fxgserait une famille libre deFap+ 1 elements. AinsiFest generatrice deF. Comme elle est libre, c'est bien une base deF. On a nalement dim(F) =Card(F)dim(E). (2) Si F=E, on a clairement dim(F) = dim(E). Reciproquement si dim(F) = dim(E) =n, alors il existe une base (e1;:::;en) deF. Mais (e1;:::;en) est une famille libre deEan= dim(E) elements. C'est donc une base deE, etF=V ect(e1;:::;ep) =E.

Vocabulaire.SoitEun espace vectoriel.

?Un sous-espace vectoriel deEde dimension 1 est appele unedroite vectorielle. Ce sont les sous-espaces vectoriels de la formeV ect(x), avecxun vecteur non nul. ?Un sous-espace vectoriel deEde dimension 2 est appele unplan vectoriel. Ce sont les sous- espaces vectoriels de la formeV ect(x;y) avecx;ydes vecteurs non colineaires. ?Si de plusEest de dimension nie, un sous-espace vectoriel de dimension dim(E)1 est appele hyperplan deE. Remarque.Un hyperplan du plan est une droite vectorielle. Un hyperplan de l'espace est un plan vectoriel. Exemple.F=fu2RNj8n2N;un+2= 3un+12ungest un plan vectoriel de l'espaceE=RN.

2.2 Sous-espaces vectoriels supplementairesTout sous espace vectorielFd'un espace vectorielEde dimension nie admet au moins un

supplementaire.Propriete 11 7

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Preuve.CommeFest un sous-espace d'unK-espace vectoriel de dimension nie,Fest de dimension nie. Soit (e1;:::;ep) une base deF. C'est une famille libre deE, donc on peut la completer en une base (e1;:::;en) deE(par le theoreme de la base incomplete). On aF=V ect(e1;:::;ep), posons

G=V ect(ep+1;:::;en). On a vu au chapitre precedent qu'alorsFG=E.SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels de dimensions nies d'unKespace vectoriel

quelconqueEtels queF+Gsoit directe. Alors on a : dim(FG) = dim(F) + dim(G):Propriete 12 Preuve.PosonsE1=FG. AlorsFetGsont supplementaires dansE1. En concatenant une base deFet une base deG, on obtient donc une base deE1. Ainsi dim(E1) = dim(F) + dim(G). Consequence.SoitEunK-espace vectoriel de dimension nie,Fun sous-espace vectoriel deE.

Alors tout supplementaire deFest de dimension dim(E)dim(F).SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels de dimensions nies d'unK-espace vectoriel

quelconqueE. Alors on a : dim(F+G) = dim(F) + dim(G)dim(F\G):

En particulier, dim(F+G)dim(F) + dim(G).Propriete 13(Formule de Grassman)Preuve.Soit (e1;:::;ep) une base deF\G, qu'on complete en :

?(e1;:::;ep;f1;:::;fq) une base deF; ?(e1;:::;ep;g1;:::;gr) une base deG. Montrons queB= (e1;:::;ep;f1;:::;fq;g1;:::;gr) est une base deF+G. ?Best generatrice deF+G: ?Best libre dansF+G: Exemple.DansR3, determinons l'intersection de deux plans vectorielsP1,P2non confondues. ?CommeP1+P2E, on a dim(P1+P2)3, donc : dim(P1\P2) = dim(P1) + dim(P2)dim(P1+P2)2 + 23 = 1 ce qui prouve queP1\P2n'est pas reduit af0g. ?CommeP1etP2ne sont pas confondues,P1est strictement inclus dansP1+P2donc dim(P1)< dim(P1+P2). Ainsi, on a dim(P1+P2) = 3 et donc dim(P1\P2) = 1 :P1\P2est une droite vectoriel. 8

PCSI5Lycee Saint LouisSoitEun espace vectoriel de dimension nie etF,Gdeux sous espaces vectoriels deE. On

a les equivalences suivantes : (i)E=FG,(ii)(

F\G=f0g

dimE= dimF+ dimG,(iii)( F+G=E dimE= dimF+ dimGPropriete 14

Preuve.

?(i) entraine immediatement (ii) et (iii). ?(iii))(ii) : Supposons (iii). D'apres la formule de Grassmann, on a : dim(F\G) = dim(F) + dim(G)dim(F+G) = 0 et doncF\G=f0g. ?(ii))(i) : Supposons (ii). D'apres la formule de Grassmann, on a : dim(F+G) = dim(F) + dim(G)dim(F\G) = dim(E) CommeF+Gest un sous-espace vectoriel deE, on en deduit queF+G=E. De plusF\G=f0gdonc la sommeF+Gest directe. Ainsi,FG=E. Exemple.SoitEun espace vectoriel de dimension nienetHun hyperplan deEde dimension n1. Alors pour touta2EnH, on a :

HK:a=E:

En eet, on a :

?dim(H) + dim(K:a) =n= dim(E) (cara6= 0 sinona2H) ; ?H\V ect(a)V ect(a), donc dim(H\V ect(a)) = 0 ou 1. Si c'est 1, alorsH\V ect(a) =V ect(a) etaappartiendrait aH, ce qui est faux. Donc dim(H\V ect(a)) = 0 etH\V ect(a) =f0Eg. 9quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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