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Dimension finie

finie. Pour ces espaces, nous allons voir comment calculer une base, c"est-à-dire une famille minimale de vecteurs

qui engendrent tout l"espace. Le nombre de vecteurs dans une base s"appelle la dimension et nous verrons comment

calculer la dimension des espaces et des sous-espaces.

1. Famille libre

1.1. Combinaison linéaire (rappel)

SoitEunK-espace vectoriel.Définition 1.

Soientv1,v2,...,vp,p>1 vecteurs d"un espace vectorielE. Tout vecteur de la forme u=1v1+2v2++pvp

(où1,2,...,psont des éléments deK) est appelécombinaison linéairedes vecteursv1,v2,...,vp. Les scalaires

1,2,...,psont appeléscoefficientsde la combinaison linéaire.1.2. Définition

Définition 2.

Une famillefv1,v2,...,vpgdeEest unefamille libreoulinéairement indépendantesi toute combinaison linéaire

nulle

1v1+2v2++pvp=0

est telle que tous ses coefficients sont nuls, c"est-à-dire

1=0,2=0, ...p=0.

Dans le cas contraire, c"est-à-dire s"il existe une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls, on dit

que la famille estliéeoulinéairement dépendante. Une telle combinaison linéaire s"appelle alors unerelation de

dépendance linéaireentre lesvj.

DIMENSION FINIE1. FAMILLE LIBRE2

1.3. Premiers exemples

Pour des vecteurs deRn, décider si une famillefv1,...,vpgest libre ou liée revient à résoudre un système linéaire.

Exemple 1.

Dans leR-espace vectorielR3, considérons la famille8 :0 @1 2 31
A ,0 @4 5 61
A ,0 @2 1 01 A9 On souhaite déterminer si elle est libre ou liée. On cherche des scalaires(1,2,3)tels que 1€

123Š

+2€

456Š

+3€

210Š

=€000Š ce qui équivaut au système : 8

1+42+23=0

21+52+3=0

31+62=0

On calcule (voir un peu plus bas) que ce système est équivalent à :123=0

2+3=0Ce système a une infinité de solutions et en prenant par exemple3=1on obtient1=2et2=1, ce qui fait que

20 @1 2 31
A 0 @4 5 61
A +0 @2 1 01 A =0 @0 0 01 A

La famille

8 :0 @1 2 31
A ,0 @4 5 61
A ,0 @2 1 01 A9 est donc une famille liée. Voici les calculs de la réduction de Gauss sur la matrice associée au système :0 @1 4 2 2 5 1

3 6 01

A 0 @1 4 2 033
0661
A 0 @1 4 2 033

0 0 01

A 0 @1 4 2 0 1 1

0 0 01

A 0 @1 02 0 1 1

0 0 01

A

Exemple 2.

Soientv1=

€111Š

,v2=

€210Š

,v3=

€211Š

. Est-ce que la famillefv1,v2,v3gest libre ou liée? Résolvons le système linéaire correspondant à l"équation1v1+2v2+3v3=0 :8

1+22+23=0

12+3=0

1+3=0

On résout ce système et on trouve comme seule solution1=0,2=0,3=0. La famillefv1,v2,v3gest donc une

famille libre.

Exemple 3.

2103‹

1251‹

7158‹

. Alorsfv1,v2,v3gforme une famille liée, car

3v1+v2v3=0.

1.4. Autres exemples

Exemple 4.

Les polynômesP1(X) =1X,P2(X) =5+3X2X2etP3(X) =1+3XX2forment une famille liée dans l"espace vectorielR[X], car

3P1(X)P2(X)+2P3(X) =0.

DIMENSION FINIE1. FAMILLE LIBRE3

Exemple 5.Dans leR-espace vectorielF(R,R)des fonctions deRdansR, on considère la famillefcos,sing. Montrons que c"est

une famille libre. Supposons que l"on aitcos+sin=0. Cela équivaut à

8x2Rcos(x)+sin(x) =0.

En particulier, pourx=0, cette égalité donne=0. Et pourx=2, elle donne=0. Donc la famillefcos,singest

libre. En revanche la famillefcos2,sin2,1gest liée car on a la relation de dépendance linéairecos2+sin21=0. Les

coefficients de dépendance linéaire sont1=1,2=1,3=1.

1.5. Famille liée

SoitEunK-espace vectoriel. Siv6=0, la famille à un seul vecteurfvgest libre (et liée siv=0). Considérons le cas

particulier d"une famille de deux vecteurs.Proposition 1. La famillefv1,v2gest liée si et seulement si v1est un multiple de v2ou v2est un multiple de v1.

Ce qui se reformule ainsi par contraposition : " La famillefv1,v2gest libre si et seulement siv1n"est pas un multiple

dev2etv2n"est pas un multiple dev1. »

Démonstration.

Supposons la famillefv1,v2gliée, alors il existe1,2non tous les deux nuls tels que1v1+2v2=0. Si c"est1

qui n"est pas nul, on peut diviser par1, ce qui donnev1=2

1v2etv1est un multiple dev2. Si c"est2qui n"est

pas nul, alors de mêmev2est un multiple dev1.

Réciproquement, siv1est un multiple dev2, alors il existe un scalairetel quev1=v2, soit1v1+()v2=0, ce

qui est une relation de dépendance linéaire entrev1etv2puisque16=0: la famillefv1,v2gest alors liée. Même

conclusion si c"estv2qui est un multiple dev1.Généralisons tout de suite cette proposition à une famille d"un nombre quelconque de vecteurs.

Théorème 1.

SoitEunK-espace vectoriel. Une familleF=fv1,v2,...,vpgdep>2vecteurs deEest une famille liée si et seulement

si au moins un des vecteurs deFest combinaison linéaire des autres vecteurs deF.Démonstration.C"est essentiellement la même démonstration que ci-dessus.

Supposons d"abordFliée. Il existe donc une relation de dépendance linéaire

1v1+2v2++pvp=0,

aveck6=0 pour au moins un indicek. Passons tous les autres termes à droite du signe égal. Il vient

kvk=1v12v2pvp,

oùvkne figure pas au second membre. Commek6=0, on peut diviser cette égalité parket l"on obtient

v k=1 kv 12 kv 2p kv p,

c"est-à-dire quevkest combinaison linéaire des autres vecteurs deF, ce qui peut encore s"écrirevk2VectF nfvkg

(avec la notation ensemblisteAnBpour l"ensemble des éléments deAqui n"appartiennent pas àB).

Réciproquement, supposons que pour un certaink, on aitvk2VectF nfvkg. Ceci signifie que l"on peut écrire

v k=1v1+2v2++pvp, oùvkne figure pas au second membre. Passantvkau second membre, il vient

0=1v1+2v2+vk++pvp,

ce qui est une relation de dépendance linéaire pourF(puisque16=0) et ainsi la familleFest liée.

DIMENSION FINIE1. FAMILLE LIBRE4

1.6. Interprétation géométrique de la dépendance linéaire

•DansR2ouR3, deux vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s"ils sont colinéaires. Ils sont donc sur

une même droite vectorielle.

DansR3, trois vecteurs sont linéairement dépendants si et seulement s"ils sont coplanaires. Ils sont donc dans un

même plan vectoriel.v 1v 20 e 2e 3e 1v 1v 2v

3Proposition 2.

SoitF=fv1,v2,...,vpgune famille de vecteurs deRn. SiFcontient plus denéléments (c"est-à-direp>n), alorsF

est une famille liée.Démonstration.Supposons que v 1=0 B BB@v 11 v 21...
v n11 C

CCAv2=0

B BB@v 12 v 22...
v n21 C

CCA...vp=0

B BB@v 1p v 2p... v np1 C CCA.

L"équation

x

1v1+x2v2++xpvp=0

donne alors le système suivant8>>>< >>:v

11x1+v12x2++v1pxp=0

v

21x1+v22x2++v2pxp=0

v n1x1+vn2x2++vnpxp=0

C"est un système homogène denéquations àpinconnues. Lorsquep>n, ce système a des solutions non triviales

(voir le chapitre " Systèmes linéaires », dernier théorème) ce qui montre que la familleFest une famille liée.Mini-exercices.

1.

Pour quelles valeurs det2R,1t,t2

test une famille libre deR2? Même question avec la famillen1t t 2 t2 11

€1t1Š

o deR3. 2. Montrer que toute famille contenant une famille liée est liée. 3. Montrer que toute famille inclue dans une famille libre est libre. 4.

Montrer que sif:E!Fest une application linéaire et quefv1,...,vpgest une famille liée deE, alors

ff(v1),...,f(vp)gest une famille liée deF. 5.

Montrer que sif:E!Fest une application linéaireinjectiveet quefv1,...,vpgest une famille libre deE, alors

ff(v1),...,f(vp)gest une famille libre deF.

DIMENSION FINIE2. FAMILLE GÉNÉRATRICE5

2. Famille génératrice

SoitEun espace vectoriel sur un corpsK.

2.1. DéfinitionDéfinition 3.Soientv1,...,vpdes vecteurs deE. La famillefv1,...,vpgest unefamille génératricede l"espace vectorielEsi

tout vecteur deEest une combinaison linéaire des vecteursv1,...,vp.

Ce qui peut s"écrire aussi :

8v2E91,...,p2Kv=1v1++pvpOn dit aussi que la famillefv1,...,vpgengendrel"espace vectorielE.

Cette notion est bien sûr liée à la notion de sous-espace vectoriel engendré : les vecteursfv1,...,vpgforment une

famille génératrice deEsi et seulement siE=Vect(v1,...,vp).

2.2. Exemples

Exemple 6.

Considérons par exemple les vecteursv1=

€100Š

,v2=

€010Š

etv3=

€001Š

deE=R3. La famillefv1,v2,v3gest génératrice car tout vecteurv=€ xyzŠ deR3peut s"écrire xyzŠ =x€100Š +y€010Š +z€001Š

Les coefficients sont ici1=x,2=y,3=z.

Exemple 7.

Soient maintenant les vecteursv1=

€111Š

,v2=

€123Š

deE=R3. Les vecteursfv1,v2gne forment pasune famille génératrice deR3. Par exemple, le vecteurv=

€010Š

n"est pas dansVect(v1,v2). En effet, si c"était le cas, alors il existerait

1,22Rtels quev=1v1+2v2. Ce qui s"écrirait aussi€010Š

=1€

111Š

+2€

123Š

, d"où le système linéaire : 8 1+2=0

1+22=1

1+32=0

Ce système n"a pas de solution. (La première et la dernière ligne impliquent1=0,2=0, ce qui est incompatible

avec la deuxième.)

Exemple 8.

SoitE=R2.

Soientv1=10etv2=01. La famillefv1,v2gest génératrice deR2car tout vecteur deR2se décompose commexy=x10+y01.

Soient maintenantv0

1=21etv0

2=11. Alorsfv0

1,v0

2gest aussi une famille génératrice. En effet, soitv=xyun

élément quelconque deR2. Montrer quevest combinaison linéaire dev0 1etv0

2revient à démontrer l"existence de

deux réelsettels quev=v0 1+v0

2. Il s"agit donc d"étudier l"existence de solutions au système :2+=x

+=y Il a pour solution=xyet=x+2y, et ceci, quels que soient les réelsxety.

Ceci prouve qu"il peut exister plusieurs familles finies différentes, non incluses les unes dans les autres, engendrant le

même espace vectoriel.

Exemple 9.

SoitRn[X]l"espace vectoriel des polynômes de degré6n. Alors les polynômesf1,X,...,Xngforment une famille

génératrice. Par contre, l"espace vectorielR[X]de tous les polynômes ne possède pas de famille finie génératrice.

DIMENSION FINIE3. BASE6

2.3. Liens entre familles génératrices

La proposition suivante est souvent utile :Proposition 3.SoitF=v1,v2,...,vpune famille génératrice deE. AlorsF0=

v0 1,v0

2,...,v0

q© est aussi une famille génératrice de

E si et seulement si tout vecteur deFest une combinaison linéaire de vecteurs deF0.Démonstration.C"est une conséquence immédiate de la définition de VectFet de VectF0.

Nous chercherons bientôt à avoir un nombre minimal de générateurs. Voici une proposition sur la réduction d"une

famille génératrice.Proposition 4.

Si la famille de vecteursfv1,...,vpgengendreEet si l"un des vecteurs, par exemplevp, est combinaison linéaire des

autres, alors la famillefv1,...,vpgnfvpg=fv1,...,vp1gest encore une famille génératrice de E.Démonstration.

En effet, comme les vecteursv1,...,vpengendrentE, alors pour tout élémentvdeE, il existe des scalaires1,...,ptels que v=1v1++pvp.

Or l"hypothèsevpest combinaison linéaire des vecteursv1,...,vp1se traduit par l"existence de scalaires1,...,p1

tels que v p=1v1++p1vp1.

Alors, le vecteurvs"écrit :

v=1v1++p1vp1+p1v1++p1vp1. Donc v=1+p1v1++p1+pp1vp1,

ce qui prouve quevest combinaison linéaire des vecteursv1,...,vp1. Ceci achève la démonstration. Il est clair que si

l"on remplacevppar n"importe lequel des vecteursvi, la démonstration est la même.Mini-exercices.

1. À quelle condition sur t2R, la famille0t1,(tt)t2tt1est une famille génératrice deR2? 2.

Même question avec la famille n

€10tŠ

1t t 2 1 t 2 1o deR3. 3.

Montrer qu"une famille de vecteurs contenant une famille génératrice est encore une famille génératrice de E.

4.

Montrer que sif:E!Fest une application linéairesurjectiveet quefv1,...,vpgest une famille génératrice de

E, alorsf(v1),...,f(vp)est une famille génératrice deF.3. Base

La notion de base généralise la notion de repère. DansR2, un repère est donné par un couple de vecteurs non

colinéaires. DansR3, un repère est donné par un triplet de vecteurs non coplanaires. Dans un repère, un vecteur se

décompose suivant les vecteurs d"une base. Il en sera de même pour une base d"un espace vectoriel.

DIMENSION FINIE3. BASE7

2v2 1v1v 2v

1v=1v1+2v23.1. Définition

Définition 4(Base d"un espace vectoriel).SoitEunK-espace vectoriel. Une familleB= (v1,v2,...,vn)de vecteurs deEest unebasedeEsiBest une

famille libreetgénératrice.Théorème 2.

SoitB= (v1,v2,...,vn)une base de l"espace vectorielE. Tout vecteurv2Es"exprime de façon unique comme

combinaison linéaire d"éléments deB. Autrement dit, ilexistedes scalaires1,...,n2Kuniquestels que :

v=1v1+2v2++nvn.Remarque.

1.(1,...,n)s"appellent lescoordonnéesdu vecteurvdans la baseB.

2.

Il faut observer que pour une baseB= (v1,v2,...,vn)on introduit unordresur les vecteurs. Bien sûr, si on

permutait les vecteurs on obtiendrait toujours une base, mais il faudrait aussi permuter les coordonnées.

3.

Notez que l"application

:Kn!E (1,2,...,n)7!1v1+2v2++nvn est un isomorphisme de l"espace vectorielKnvers l"espace vectorielE.

Preuve du théorème

2

Par définition,Best une famille génératrice deE, donc pour toutv2Eil existe1,...,n2Ktels que

v=1v1+2v2++nvn.

Cela prouve la partie existence.

Il reste à montrer l"unicité des1,2,...,n. Soient1,2,...,n2Kd"autres scalaires tels quev=1v1+2v2+

+nvn.Alors, par différence on a :(11)v1+(22)v2++(nn)vn=0.CommeB=fv1,...,vng est une famille libre, ceci implique11=0,22=0, ...,nn=0et donc1=1,2=

2, ...,n=n.3.2. Exemples

Exemple 10.

1. Soient les vecteurs e1=10ete2=01. Alors(e1,e2)est une base deR2, appeléebase canoniquedeR2. 2. Soient les vecteurs v1=31etv2=12. Alors(v1,v2)forment aussi une base deR2.

DIMENSION FINIE3. BASE8

2v2 1v1v 2v

1v=1v1+2v2xe

1ye 2e 1e 2e 2e 3e

13.De même dans R3, sie1=€100Š

,e2=€010Š ,e3=€001Š , alors(e1,e2,e3)forment labase canoniquedeR3.

Exemple 11.

Soientv1=€121Š

,v2=€

290Š

etv3=€334Š . Montrons que la familleB= (v1,v2,v3)est une base deR3.

Dans les deux premiers points, nous ramenons le problème à l"étude d"un système linéaire.

1.Montrons d"abord queBest une famille génératrice deR3. Soitv=

€a1a2a3Š

un vecteur quelconque deR3. On cherche1,2,32Rtels que v=1v1+2v2+3v3.

Ceci se reformule comme suit :0

@a 1 a 2 a 31
A =10quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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