[PDF] [PDF] Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel

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1 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR

Chapitre IV

vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs

Dans ce chapitre ܧ

I Familles libres, génératrices, bases

1. Définitions

Définition de famille libre, liée, indépendance linéaire

- Une famille (une collection) ࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦሻ ॶ-ev ܧ

existe des nombres ߣଵǡߣଶǡǥǡߣ௡א

On dit aussi que les vecteurs ݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦ sont linéairement dépendants.

- Dans le cas contraire, on dit que la famille est libre.

࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦሻ est libre signifie que si ߣଵǡߣଶǡǥǡߣ௡א

ߣଵݒଵሬሬሬሬԦ൅ߣଶݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ൅ߣ௡ݒ௡ሬሬሬሬԦൌͲሬԦ, alors on a forcément ߣଵൌߣଶൌڮൌߣ

Définition de famille génératrice

࣠ de ܧ est génératrice de ܧ si ܧൌܸ݁ܿݐሺ࣠), i.e. tout vecteur ݑሬԦ de ܧ

Définition de base

Une famille ࣠ de ܧ est une base de ܧ si et seulement si ࣠ est libre et génératrice de ܧ

2. Bases et coordonnées

Proposition : La famille ܤൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦሻ est une base de ܧ

ݒԦ de ܧ ݒపሬሬሬԦܤא Les nombres ߣଵǡߣଶǡǥǡߣ௡א

Démonstration :

(֚) : ܤ est génératrice par hypothèse. ܤ

Soient ߣ௜אॶ tels que ߣଵݒଵሬሬሬሬԦ൅ߣଶݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ൅ߣ

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On a aussi ͲሬԦൌͲൈݒଵሬሬሬሬԦ൅ͲൈݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ

Par unicité de la décomposition de ͲሬԦ, on a ߣଵൌߣଶൌڮൌߣ

ܤ est donc libre, et génératrice de ܧܧ (֜) : Par hypothèse, ܤ est une base de ܧൌ génératrice de ܧ

Soit ݒԦܧא

ܤ génératrice ֜ݒԦൌߣଵݒଵሬሬሬሬԦ൅ߣଶݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ൅ߣ

Si on a aussi ݒԦൌߣԢଵݒଵሬሬሬሬԦ൅ߣԢଶݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ൅ߣ

Comme ܤ est libre, on a ሺߣଵെߣᇱଵሻൌͲߣ֞ଵൌߣ

ݒԦ comme combinaison linéaire des vecteurs de ܤ

En résumé : ܤ ܤ

3. Exemples

- La base canonique de ॶ࢔ሺԹ࢔ǡԧ࢔ǥሻ

Soient ݁ଵሬሬሬԦൌሺͳǡͲǡͲǡǥǡͲሻǡ݁ଶሬሬሬԦൌሺͲǡͳǡͲǡǥǡͲሻǡǥǡ݁௡ሬሬሬሬԦൌሺͲǡͲǡͲǡǥǡͳሻ des vecteurs de ॶ௡.

Démonstration : ݒԦൌሺݔଵǡݔଶǡǥǡݔ௡ሻא

On a vu que ݒԦൌݔଵ݁ଵሬሬሬԦ൅ݔଶ݁ଶሬሬሬԦ൅ڮ൅ݔ௡݁௡ሬሬሬሬԦ ܤ֜

De plus, ݒԦൌݔԢଵ݁ଵሬሬሬԦ൅ݔԢଶ݁ଶሬሬሬԦ൅ڮ൅ݔԢ௡݁௡ሬሬሬሬԦ֞

Finalement, ܤ est génératrice de ॶ௡ et est libre. ܤ

Définition : La base ܤ

composantes ݔ௜ de ݒԦ. Attention, cela ne se produit que dans cette base particulière.

-Famille libre de Թ࢔Ǥ Toute famille libre ࣠ de Թ௡ est une base de ܤൌܸ݁ܿ

Par exemple, deux vecteurs non colinéaires de Թ௡ forment une base du plan engendré par ces

deux vecteurs.

3 Cours de M.RUMIN réécrit par J.KULCSAR

- Թ૜ défini par une équation On a ݒԦൌሺݔǡݕǡݖሻܲא Les deux vecteurs ݒԦଵൌሺͳǡͲǡെ௔ ௖ሻ et ݒԦଶൌሺͲǡͳǡെ௕ ௖ሻ engendrent donc ܲ vecteurs ne sont pas colinéaires, ils forment une famille libre et génératrice de ܲ une base de ܲ. Les coordonnées de ݒԦൌሺݔǡݕǡݖሻܲא

Remarque

vecteurs de manière optimale-à-dire en utilisant le minimum de paramètres. Ici, le vecteur ݒԦൌሺݔǡݕǡݖሻ de ؿܲ

non trois. De la même façon, un vecteur ݒԦൌሺݔଵǡݔଶǡǥǡݔଵ଴଴ሻ ܲൌܸ݁ܿݐሺݒԦଵǡݒԦଶሻؿ

Թଵ଴଴ est déterminé par seulement deux scalaires : ses coordonnées dans la base ܤ

et pas 100 !

- Base de ॶሾࢄሿൌሼࡼൌࢇ૙൅ࢇ૚ࢄ൅ڮ൅ࢇ࢔ࢄ࢔ǡ࢔אԳǡࢇ࢏א

Par définition, une base de ॶሾܺ

ॶሾܺሿ. Cette famille est infinie mais tout polynôme ܲ de ॶሾܺ bien une combinaison linéaire finie éléments de ܤ

- Base de ॶ࢔ሾࢄሿൌ࢖࢕࢒࢟࢔࢓ࢋ࢙ࢊࢋࢊࢋࢍ࢘൑࢔

Une base de ॶ௡ሾܺሿ est donnée par ܤൌሺͳǡܺǡܺଶǡǥǡܺ௡ሻॶ௡ሾܺ

Notez bien que cette famille possède ࢔൅૚ vecteurs. Un polynôme de degré ൑݊ est

déterminé par ݊൅ͳ coefficients. - Une famille de 3 vecteurs de Թ૜ (cf. cours)

4. La ndimension finie

Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie. Définition : ܧ est de dimension finie si ܧ génératrice finie. Exemples : On a vu que ॶ௡ et ॶ௡ሾܺ

Proposition : ॶሾܺ

Démonstration : Soit ࣠ൌሺܲଵǡܲଶǡǥǡܲ௡ሻ une famille finie de ॶሾܺ

࣠ peut-elle être génératrice de ॶሾܺ

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Soit ݀ൌ݉ܽݔ൫݀݁݃ሺܲଵሻǡ݀݁݃ሺܲଶሻǡǥǡ݀݁݃ሺܲ

Alors ߣଵܲଵ൅ߣଶܲଶ൅ڮ൅ߣௗܲ

On remarque que ܸ݁ܿݐሺ࣠ሻؿॶௗሾܺሿ്ॶሾܺሿǤ Par exemple, ܺௗାଵܸב݁ܿ

5. Propriétés clés

Les propriétés suivantes seront utilisées très souvent dans les preuves et les exercices.

Propriété 1 : Soit ࣠ une famille libre de ܧ. Alors la famille ࣠ᇱൌ࣠׫

et seulement si ݒԦܸב݁ܿ Propriété 2 : Soit ࣠ une famille génératrice de ܧ Alors ࣠ est liée si et seulement si il existe un vecteur ݒԦא

génératrice. Autrement dit, si et seulement si ׌ݒԦא࣠ tel que ݒԦܸא݁ܿ

Démonstration 1 : Soit ࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦሻ une famille libre.

(֚) : Si ݒԦܸא݁ܿݐሺ࣠ሻ, ݒԦൌߣଵݒଵሬሬሬሬԦ൅ߣଶݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ൅ߣ௡ݒ௡ሬሬሬሬԦߣ֞ଵݒଵሬሬሬሬԦ൅ߣଶݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ൅ߣ

࣠׫ሼݒԦሽ qui vaut ͲሬԦ et non triviale. ሺߣ

(֜) : On suppose que ࣠׫ሼݒԦሽ est liée. On veut montrer que ݒԦܸא݁ܿ

࣠׫ሼݒԦሽ liée ߣ׌֞ǡߣଵǡߣଶǡǥǡߣ௡ non tous nuls tels que ߣݒԦ൅ߣଵݒଵሬሬሬሬԦ൅ߣଶݒଶሬሬሬሬԦ൅ڮ൅ߣ

כSi ߣ

car ࣠ est libre par hypothèse. Il y a donc une contradiction car ߣǡߣଵǡߣଶǡǥǡߣ

non tous nuls. כ Si ߣ

Démonstration 2 : Soit ࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦሻ une famille génératrice de E.

Si ࣠ est liée, alors ߣ׌ଵǡߣଶǡǥǡߣ ଴ tel que ߣ

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ce qui est en fait un élément de ܸ݁ܿ ׊്݅଴, on a bien sur ݒపሬሬሬԦܸא݁ܿ

6. Deux méthodes de construction de bases

Théorème d

Soit ܧ un ॶ-ev de différent de ൛ͲሬԦൟ et ࣠ൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦሻ une famille génératrice. (ܧ

espace vectoriel de dimension finie).

Alors on peut extraire de ࣠ une sous-famille ܤൌ൫ݒప଴ሬሬሬሬሬԦǡݒపଵሬሬሬሬሬԦǡǥǡݒప௣ሬሬሬሬሬԦ൯ qui est une base de ܧ

Démonstration : Algorithme avec la propriété 2 : ՜ Sinon, il existe ݒనబሬሬሬሬԦא כ Comme ܧ്൛ͲሬԦൟܧ

Théorème de la base incomplète

Soit ܧ

ܩൌሺݒଵሬሬሬሬԦǡݒଶሬሬሬሬԦǡǥǡݒ௡ሬሬሬሬԦሻ une famille génératrice de ܧ

Alors on peut compléter la famille libre ࣠ avec certains vecteurs ݒప଴ሬሬሬሬሬԦǡݒపଵሬሬሬሬሬԦǡǥǡݒప௣ሬሬሬሬሬԦ de ܩ

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