Chapitre IV Bases et dimension dun espace vectoriel
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Document - Dénombrement dans un espace vectoriel fini
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Dimension dun espace vectoriel admettant une partie génératrice
théorème. Soit E un K-espace vectoriel non nul de dimension finie. Si F est un sous espace de E admettant une famille génératrice de cardinal.
Dimension finie
Pour déterminer la dimension d'un espace vectoriel il suffit de trouver une base de E (une famille à la fois libre et génératrice) : le cardinal (nombre d'
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Espaces vectoriels de dimension finie
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Espace vectoriel de dimension finie
Si E est un K-espace vectoriel on ne peut pas définir la dimension de E comme le cardinal de E
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est de cardinal fini. Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit A une partie de E. On suppose que. A= xi;i £ I où I est un ensemble permettant d'indexer
Cardinal du cône nilpotent
Démonstration. Soit E un 1q-espace vectoriel de dimension d on pose Nd = Nd(1q) l'ensemble des matrices nilpotentes de E.
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Théorème fondamental : dimension et cardinal des bases Soit un espace vectoriel ? {0? } et engendré par vecteurs Alors toutes les bases de
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1 déc 2014 · Un espace vectoriel est un ensemble sur lequel sont définies : • une addition interne (on peut ajouter entre eux deux éléments de l'ensemble et
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En principe la notion de cardinal concerne les ensembles et les ensembles seulement mais par abus de langage une famille (x1 xn) de n objets est souvent
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La dimension dim E d'un espace vectoriel E est donc par définition le cardinal de chacune de ses bases S'il n'existe pas de base de cardinal fini alors on dit
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La dimension d'un (sous-)espace vectoriel est le cardinal de l'une de ses bases c-`a-d d'une famille qui engendre cet espace et qui est libre
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2 sept 2020 · Lemme 1 2 Soit E un K-espace vectoriel On suppose que E admet une famille génératrice finie de cardinal n Alors toute famille libre de E est
1v1+2v2++pvp= 0
1= 0; 2= 0; ::: p= 0:
3P1(X)P2(X) + 2P3(X) = 0:
8x2Rcos(x) +sin(x) = 0:
? ???? ?????= 0?1= 1;2= 1;3=1?
1v1+2v2++pvp= 0;
????k6= 0???? ?? ????? ?? ??????k? ??????? ???? ??? ?????? ?????? ? ?????? ?? ????? kvk=1v12v2 pvp; ??vk?? ????? ??? ?? ?????? ??????? ?????k6= 0? ?? ???? ??????? ????? ??????? ??? k?? ???? ??????? v k=1 kv12 kv2 p kvp; v k=1v1+2v2++pvp; ??vk?? ????? ??? ?? ?????? ??????? ???????vk?? ?????? ??????? ?? ?????0 =1v1+2v2+ vk++pvp;
F??? ?????
???? ??E? ?????ff(v1);:::;f(vp)g??? ??? ??????? ???? ??F? ??????? ????? ??E? ?????ff(v1);:::;f(vp)g??? ??? ??????? ????? ??F? v1;:::;vp?
8v2E91;:::;p2Kv=1v1++pvp
v=1v1++pvp: v p=1v1++p1vp1: ?????? ?? ???????v??????? ? v=1v1++p1vp1+p(1v1++p1vp1): v= (1+p1)v1++ (p1+pp1)vp1; 2v2 1v1v 2v E? v=1v1+2v2++nvn: :Kn!E (1;2;:::;n)7!1v1+2v2++nvnK???? ???
v=1v1+2v2++nvn:11= 0; 22= 0; :::; nn= 0?? ????1=1; 2=2; :::;n=n:
e 1=0 B BB@1 0 01 CCCAe2=0
B BB@0 1 01 CCCA::: en=0
B BB@0 0 11 C CCA ? ????? ??????? ???? ?? Rn[X]?(1;1 +X;1 +X+X2;:::;1 +X+X2++Xn)? M 1=1 0 0 0 M 2=0 1 0 0 M 3=0 0 1 0 M 4=0 0 0 1 c dM=aM1+bM2+cM3+dM4:
??M2(R)? M01=1 0
1 0 M02=1 0
0 1 M03=0 1
1 0 M04=1 3
4 2L B G?
??? ???? ??E? ???? ????? ??? ????? ??B? ???? ??? ????? ?????B??? ?????? ????? ??? ?? ??????? ??????g??? ???? ??E? ?????CardL6CardG? ?? ????? ????B??? ???? ??E????? ???CardB=n? ??????CardL6CardB=n? ???F??? ??? ???? ??E? ????F??? ??? ??????? ????? ??E? ???? ??E? n= CardB6CardF=n? ????B=F??F??? ???? ??? ????? R 3? v 1=0 @1 1 41A v2=0 @1 3 t1 A v3=0 @1 1 t1 A
1+2+3= 0
1+ 32+3= 0
41+t2+t3= 0:
8<1+2+3= 0
22= 0(t4)2+ (t4)3= 0()8
1+3= 0
2= 0 (t4)3= 0 0 ???? ????? ???? ?? ???????fv1;v2g??? ????? 1;j2;:::;jn
v j=j 1g1+j2g2++jngn:
v n+1=n+11g1+n+12g2++n+1ngn: w j=n+1nvjjnvn+1=nX k=1(n+1nj kjnn+1 k)gk:1w1+2w2++nwn= 0:
n+1n1v1+n+1n2v2++n+1nnvn(11n++nnn)vn+1= 0E E? ???dimF6dimE? ???F=E()dimF= dimE? K=n k2Nj 9fv1;v2;:::;vkg F??fv1;v2;:::;vkg??? ??? ??????? ????? ??Fo ??????? ??F??? ????? ??? ????Vect(v1;:::;vp)? ????? ?? ???????fv1;:::;vp;wg?? ???? ??? ???? ????? ??????p?? ?????? ??? ?? ??????? ??K?? ?? ???????fv1;:::;vp;wg??? ????F=G()dimF= dimG
F=xyz2R3j2x3y+z= 0??G= Vect(u;v)??u=111
??v=211 ?????? ???F=G? ??R3????? ??? ????F?? ????Card(A[B) = CardA+ CardBCard(A\B):
B ????BG=fu1;:::;up;wp+1;:::;wrg??G? fu1;:::;up;vp+1;:::;vq;wp+1;:::;wrg pX i=1 iui+qX j=p+1 jvj+rX k=p+1 kwk= 0 ?? ????u=Pp i=1iui?v=Pq j=p+1jvj?w=Pr k=p+1 kwk? ????? ????? ????u+v2F v=Pq ???? ??F\G?? i=1iui+Pr k=p+1 kwk= 0? ??BG??? ??? ???? ??G? ????i= 0?? k= 0???? ????i;k? ?????BF+G=fu1;:::;up;vp+1;:::;vq;wp+1;:::;wrg ??? ??? ???? ??F+G? CardBF\G=p?dimF= CardBF=q?dimG= CardBG=r?dim(F+G) = CardBF+G= q+rp? ?? ??? ?????? ????dim(F+G) = dimF+ dimGdim(F\G)? ????dimF= 3??dimG= 4? ??? ??????? ???? ??F\G? ??F+G? ??????? ?????FG=E? dimGdim(F+G) = 3 + 4dim(F+G) = 7dim(F+G)? ?????F+G??? ?? ??G?? ???? ?????? ?? ????? ??????? ????E? ????? ?F= Vect123 ;312 ??G= Vect770 ;6511 ? ??????? ???F=G? ;t11 ?G= Vect111 dimF= 3??dimG62? ??? ??????? ???? ????dim(F\G)? ?? ????dim(F+G)? ????F+G=E??dimF+dimG= dimE? ?????F\G=f0Eg??dimF+dimG= dimE? ?????rgfv1;:::;vpg? ????? 06rgfv1;:::;vpg6p? fv1;:::;vpg??? ?????? 1010?v2= 0111
??v3= 1101
??R4? ?? ???? ?? ?? ???????fv1;v2;v3g??? ???? ??????? ????? ? ?? ?? ?? ???? ?? ???????fv1;v2g??? ????? ???? ??? ?? ???????fv1;v2;v3g??? ????? ?? ????? ??v1=v2v3? ???? ?? ???? ??fv1;v2;v3g??? ???? ? 0 B
BBBBBB@+ 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
+ 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0 + 0 01 CCCCCCCA
??????? ????? ???????0 @1 0 0 00 2 0 0
1 11 01
A 0 @1 0 0 00 2 1 0
1 11 11
A ??????? ??????? ??? ?? ???? ?? ?? ???????A=0 BB@11 3 3 3
1 2 2 5 8
1 01 0 1
1 131 11
C CA? 0 BB@11 3 3 3
1 2 2 5 8
1 01 0 1
1 131 11
C CA0 BB@1 0 0 0 0
1 31 2 5
1 1432
1 26421
C CA BB@1 0 0 0 0
1 31 2 5
1 1432
1 26421
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 3 2 5
14 132
16 2421
C CA 0 BB@1 0 0 0 0
11 3 2 5
14 132
16 2421
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
14111122
161616321
C CA 0 BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
14111122
161616321
C CA0 BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
1411 0 0
1616 0 01
C CA v j=a1;je1++an;jen: M Vect(C1;:::;Ci;:::;Cp) = Vect(C1;:::;Ci+Cj;:::;Cp): C i= (Ci+Cj)Cj C ??? ???? ?r? ??? ???? ???? ???? ???? ?? ???? ??A?K???? ???
1C1++rCr= 0:
1tC1++rtCr= 0:
1010?v2= 0111
??v3= 1101
B
B@1 01
0 1 1 1 1 00 1 11
C CA: 0 BB@1 01
0 1 1 1 1 00 1 11
CCAC3!C3+C10
BB@1 0 0
0 1 1 1 1 10 1 11
CCAC3!C3C20
BB@1 0 0
0 1 0 1 1 00 1 01
C CA v 1=0 B B@1 1 1 11 CCAv2=0
B B@1 2 0 11 CCAv3=0
B B@3 2 1 31C
CAv4=0
B B@3 5 0 11 CCAv5=0
B B@3 8 1 11 C CA 0 BB@11 3 3 3
1 2 2 5 8
1 01 0 1
1 131 11
C CA 0 BB@1 0 0 0 0
11 0 0 0
1411 0 0
1616 0 01
C CA? ???3?Vect(v1;v2;v3;v4;v5) = Vect
11110146
001116
???? ??? ?? ???? ?? ?? ??????? ?? ? ???????f121 ;342quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] montrer que 3 vecteurs forment une base
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