Chapitre 2.3 – Le produit vectoriel
Le produit vectoriel est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat est un vecteur. On utilise l'opérateur « × » pour désigner le
PRODUIT SCALAIRE
La norme du vecteur u ! notée u !
Opérations sur les vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs correspond à la somme des produits de leurs composantes. Si =(a b) et = (c
PRODUIT SCALAIRE 1. Produit scalaire de deux vecteurs
La norme du vecteur u notée u
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG) il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan. Vidéo https://youtu.
Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel I Produit scalaire (de
des deux vecteurs par le cosinus de leur angle . Le produit scalaire est donc : positif pour ? aigu négatif pour ? obtus. • Forme géométrique.
Produit scalaire de 2 vecteurs
Les deux vecteurs ont la même origine A qui est alors le sommet de l'angle géométrique . ? Dans le cas où les deux vecteurs n'ont pas la même origine
le-produit-scalaire-de-deux-vecteurs-colineaires.pdf
La formule du produit scalaire avec le cosinus va nous permettre d'obtenir un résultat très intéressant pour les vecteurs colinéaires car deux vecteurs
Produit scalaire dans lespace - Lycée Pierre Gilles de Gennes
Ainsi tout plan de l'espace admet un vecteur normal. • Deux vecteurs normaux d'un plan de l'espace sont colinéaires. 2. Droites perpendiculaires (ou
Le produit scalaire
2 y. 2 pour un vecteur u xy . 3. Formule du cosinus. Soient u et v deux vecteurs non nuls. On a u
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Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit du module de l'un par la mesure algébrique de la projection de l'autre sur lui • Forme analytique
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2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u ! et v ! deux vecteurs du plan On appelle produit scalaire de u ! par v ! noté u
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I 3 5 Double produit vectoriel Un vecteur est une entité mathématique définie par une Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls représentés
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17 mai 2011 · Définition 2 : Dans un repère orthonormal (O ? l) le produit scalaire de deux vecteurs u et v de coordonnées respectives (x;
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Nous aurons dans ce chapitre trois moyens pratiques pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs une formule utilisant le cosinus de l'angle formé
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Produit scalaire dans l'espace vectoriel euclidien VR à 3 dimensions entre deux vecteurs quelconques x ? VR 3 et y ? VR 3 il est bien connu
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Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes Le plan est muni d'un repère orthonormal 1 Introduction DÉFINITION le produit scalaire de deux vecteurs
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Deux vecteurs ?u et ?v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Remarque : Le vecteur nul ?0 est orthogonal à tout vecteur III-2-
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5 mar 2018 · 1) Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux 2) Deux droites sont parallèles si et seulement
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Le produit scalaire est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat est un scalaire On utilise l'opérateur « ? » pour désigner le
Chapitre 2.3 - Le produit vectoriel
La définition du produit vectoriel
Le produit vectoriel est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat
est un vecteur. On utilise l'opérateur "× » pour désigner le produit vectoriel.
En géométrie euclidienne
1, le produit vectoriel entre une vecteur Av et Bv correspond au
produit des modules des composantes perpendiculaires entre les vecteursAv etBv dont
l'orientation du vecteur résultant se doit d'être perpendiculaire àAv et Bv simultanément.
On utilise la fonction sinus et l'angle
θ entre les vecteurs Av et Bv pour obtenir les
composantes perpendiculaires d'un vecteur par rapport à l'autre : )sin(θBABAvvvv=× où BAvv× : Module du produit vectoriel entre le vecteur Av et Bv.Av : Module du vecteur Av (222
zxAAAAy++=v)Bv : Module du vecteur Bv (222
zxBBBBy++=v)θ : Angle entre le vecteurs Av et Bv.
Pour identifier l'orientation du l'orientation du vecteurBAvv×, il
suffit d'identifier un plan formé à l'aide du vecteurAv et Bv et de
trouver un vecteur perpendiculaire à ce plan. Puisqu'il y a deux choix possibles, la règle de la main droite choisie l'orientation pointant dans la direction tel qu'illustré sur le schéma ci-contre.On utilise le vecteur unitaire
nˆ pour désigner l'orientation du produit vectoriel :BABAnvv
vv Ar BrBArr×
Orientation du produit vectoriel
BAvv× à l'aide de la main droite.
Exemple :
Ar BrBArr×
nˆ Ar Br BArr nˆ Ar BrBArr×
nˆ1 L'espace euclidien permet d'évaluer les distances par le théorème de Pythagore (22yxd+=) .
Av BvθsinBv
AvNote de cours rédigée par : Simon Vézina Page 2 En algèbre vectorielle euclidienne dans un plan cartésien xyz en trois dimensions, on
définit le produit vectoriel de la façon suivante : ( )( )( )kBABAjBABAiBABAnBABAxyyxxzzxyzzy vvv vvvv -+---==׈sin oùBAvv× : Produit vectoriel entre Av et Bv.
Av : Module du vecteur Av
Bv: Module du vecteur Bv
θ : Angle entre le vecteurs Av et Bv.
nˆ : Vecteur unitaire orientation
et kAjAiAAzyx vvvv++= kBjBiBBzyx vvvv++= Av Bv x y xA xB yA θ yBBAvv×
zPropriétés du produit vectoriel
Voici quelques propriétés du produit scalaire : Distributif ()()CABACBAvvvvvvv×+×=+×)( Anticommutatif ABBAvvvv×-=× Produit unitaire : kjivvv=×, ikjvvv=×, jikvvv=× (sens horaire) kijvvv-=×, ijkvvv-=×, jkivvv-=× (sens anti-horaire) Produit nul : 0=×iivv, 0=×jjvv, 0=×kkvv, 0ˆˆ=×nn Situation A : Le vecteur perpendiculaire. À partir de la définition du produit vectoriel, trouvez un vecteur perpendiculaire au vecteur kjiAvvvv263-+= et au vecteur kjiBvvvv52++-= simultanément.Évaluons le produit vectoriel entre le vecteur
Av et Bv afin d'obtenir un vecteur
perpendiculaire àAv et Bv simultanément :
()()()kBABAjBABAiBABABAxyyxxzzxyzzy vvvvv-+---=× ? ()()()()[]()()()()[]()()()()[]kjiBAvvvvv162312532256--+------=× ? ()()()kjiBAvvvvv66215430--+----=× ? kjiBAvvvvv121334+-=× iv jv kv Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 3Exercice
Exercice 1 : Le calcul du produit vectoriel. À partir du vecteur kjiAvvvv235-+=et du vecteur kjiBvvvv++-=42 , on désire évaluer (a) le produit BAvv× et (b) l'angle θ entre le vecteurAv et Bv.
Solution
Exercice 1 : Le calcul du produit vectoriel.
a)Évaluons le produit vectoriel BAvv× :
()()()kBABAjBABAiBABABAxyyxxzzxyzzy vvvvv-+---=× ? ()()()()[]()()()()[]()()()()[]kjiBAvvvvv234522154213--+------=× ? ()()()kjiBAvvvvv6204583--+----=× ? kjiBAvvvvv2611+-=× b) Évaluons l'angle θ entre le vecteur Av et Bv : ( ) ( )222)2(35-++=Av ? 38=Av ( ) ( )22214)2(++-=Bv ? 21=Bv ( ) ( )22226)1(11+-+=×BAvv ? 798=×BAvv ()()2138=BAvv ? 798=BAvv À partir de la définition du module du produit vectoriel : ()θsinBABAvvvv=× ? ( )BABAvv vv×=θsin ? ( )()( )798798sin=θ ? ()1sin=θ ? °=90θquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] projection d'un vecteur sur un autre
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