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C. Lainé

PRODUIT SCALAIRE

Cours Première S

Au XIXe siècle, le mathématicien allemand Grassmann étudiant le phénomène des marées, développe le calcul vectoriel et définit le produit scalaire qu"il appelle produit linéaire : " Il s"agit du produit algébrique d"un vecteur multiplié par la projection du second vecteur sur le premier ». C"est William Hamilton (1805 - 1865), mathématicien et astronome irlandais, qui le nomme produit scalaire en 1853 car le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un réel (scalaire vient du latin scala qui signifie mesure).

Hermann Grassmann

(1809 - 1877)

1. Produit scalaire de deux vecteurs

1) Norme d"un vecteur

Définition 1 : Soient un vecteur ?u et deux points A et B tels que AB=? ????u. La norme du vecteur ?u, notée ?u, est la distance AB.

2) Définition

Définition 2 :

Soit ?u et ?v deux vecteurs non nuls du plan.

Le produit scalaire de ?u par ?v, noté ? ?iu v , est le nombre réel défini par :

2 2 21

2( )= + - -( )( )? ? ? ? ? ?iu v u v u v.

2) Autres expressions du produit scalaire

Définitions 2 : Soit ??u et ??v deux vecteurs non nuls du plan. Le produit scalaire de ?u par ?v est le nombre réel défini aussi par :

- = +′ ′?? ??ixx yyu v où ( ) ; x y et ( ) ; ′ ′x y sont les coordonnées respectives de et de ? ?u v dans

un repère orthonormal quelconque. - Soit A, B et C trois points du plan tels que et AB CA= =?? ?? ??? ?? ? ??u v. cos cos , AB AC AB AC BAC= = × × = × ×???? ??i i ?? ??u v u v u v

Ce n"est pas une

multiplication ...

Le produit scalaire de deux

vecteurs est un réel 2

C. Lainé

Démonstrations de l"égalité de ces quatre expressions : • Égalité entre les deux premières expressions : +? ?vu a pour coordonnées () ; + +′ ′x x y y, donc

22 22 2 2 22 2+ = + + + = + + + + +′ ′ ′ ′ ′ ′? ?vu x x y y x xx x y yy y ; on en déduit que :

2 2 22 2 2 2 2 2 2 21 12 22 2( )??+ - - = + + + + + - + - +( )??( )′ ′ ′ ′ ′ ′? ? ? ?u v u v x xx x y yy y x y x y

c"est-à-dire

2 2 21

2( )+ - - =( )( )′ ′? ? ? ?u v u v xx +yy.

• Égalité entre les deuxième et troisième expressions :

Choisissons un repère orthonormal

() ; , A? ?i j el que et AB?????i soient colinéaires et de même sens.

On note

() ; x y et () ; ′ ′x y les coordonnées respectivement de et AB AC???? ???? dans ce repère.

On a alors :

AB=x, 0=y, ?()cosAC BAC= ×′x et ?()sinAC BAC= ×′y. Ainsi

?()?()?()cos 0 sin cosAB AC BAC AC BAC AB AC BAC= × × + × × = × ×′ ′xx +yy.

3) Applications

a) Application 1 Soit A (2 ; 3), B (-1 ; 4) et C (-2 ; 1) trois points du plan muni d"un repère orthonormal.

Calculer

•???? ????AB BC. ()()()()()1 2 2 1 4 3 1 4 3 3 0AB BC• = - - × - + + - × - = + - =???? ????. b) Application 2 Soit ABC un triangle équilatéral tel que 3AB= (dans l"unité de longueur choisie).

Déterminer

???? ???? ???? ????i iAB AC et AB CE. ?()9cos 3 3 cos3 2AB AC AB AC BACπ= × × = × × =???? ????i

4) Remarques

• Signe du produit scalaire :

On déduit facilement le signe du produit scalaire AB AC•???? ???? suivant la nature de l"angle ?BAC.

En effet, les normes des deux vecteurs

et AB AC???? ???? sont positives. On en déduit donc que AB AC•???? ???? est du signe de ?()cosBAC. - si C

A H B

3

C. Lainé

- si ?

2BACπ=, ?()cos 0BAC= et 0AB AC• =???? ????.

- si • Le produit scalaire de deux vecteurs dépend de leurs normes : Le cosinus d"un angle est un réel compris entre 1 et - 1.

On a donc :

• Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires :

- Si et ?? ??u v sont colinéaires et de même sens, alors () , 0=?? ??u v et ()cos , 1=?? ??u v.

On en déduit que :

= ×? ? ? ?iu v u v. - Si

et ?? ??u v sont colinéaires et de sens contraire, alors () , π=?? ??u v et ()cos , 1= -?? ??u v.

On en déduit que :

= - ×? ? ? ?iu v u v.

2. Propriétés

1) Opérations vectorielles

Propriétés 1 : Soient ??u, ??v et ???w trois vecteurs non nuls du plan, et k un réel, on a :

• Symétrie : =?? ?? ?? ??i iu v v u.

• Linéarité : ()+ = +?? ?? ??? ?? ?? ?? ???i i iu w u v u wv,()+ = +?? ?? ??? ?? ??? ?? ???i i iu v w u w v w, ()()=?? ?? ?? ??i ik ku v u v et

()()=?? ?? ?? ??i ik ku v u v. Démonstration : On se place dans un repère orthonormal (seulement utile pour la

démonstration) et on note () ; x y, () ; ′ ′x y et () ; ′′ ′′x y les coordonnées respectives de ??u, ??v et ???w.

Montr

ons l"égalité ()+ = +?? ??? ??? ?? ?? ?????i i iu w u v u wv ; les autres égalités se montrent de la même

façon. +??? ???wv a pour coordonnées () ; + +′ ′′ ′ ′′x x y y. Donc

Remarque : D"après la définition,

22 2 2 2 2 2 2 21 1 1

2 2 2( )( ) ( )- = + - - - - = - - - = - + - -( ) ( )( )( ) ( )( )

?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?iu v u v u v u v u v u vu v Or ()- = -?? ?? ?? ??i iu v u v ; d"où

2 2 21

2( )= + - -( )( )

?? ?? ? ? ? ?iu v u vu v. On en déduit alors : Propriété 2 : Soit ?u et ?v deux vecteurs non nuls du plan. Le produit scalaire de ?u par ?v, noté ? ?iu v , est le nombre réel défini par :

2 2 21

2( )= + - -( )( )

?? ?? ? ? ? ?iu v u vu v. Conséquence : Soit A et B deux points du plan tels que et AB AC= =???? ?? ???? ??u v. Alors AB AC AB CA CB- = - = + =?? ?? ???? ???? ???? ???? ????u v. 4

C. Lainé

D"après la propriété 2, on en déduit que

2 2 22 2 21 1

2 2AB AC AB AC CB AB AC BC( )= + - = + -( )( )???? ???? ???? ???? ????i

Propriété 3 : Soient A, B et C trois points du plan. ( )2 2 21

2AB AC AB AC BC= + -???? ????i.

Exemple : Calculer ???? ????iCG CF.

( )( )2 2 2 2 2 21 16 7 3 382 2CG CF CG CF GF= + - = + - = ???? ????i

2) Carré scalaire et norme

Définition 3 : Pour tout vecteur ??u du plan, le produit scalaire de ??u par lui même, ?? ??iu u est

appelé carré scalaire de ??u. On le note 2??u.

On a :

22= = × =?? ?? ?? ?? ??i??u u u u u u.

Ce qui donne, pour deux points A et B du plan :

222AB AB AB= =???? ????.

Remarques : • u? est unitaire si, et seulement si,

21u=?.

• Après quelques calculs, on retrouve des produits scalaires remarquables :

22 22 + = + +?? ?? ?? ?? ?? ??iu v u v u v ; ()

22 22 - = + -?? ?? ?? ?? ?? ??iu v u v u v ; ()()

2 2+ - = -?? ?? ?? ?? ?? ??u v u v u v.

? Attention ! : Il y a des ressemblances évidentes entre les règles de calcul du produit scalaire et celles sur les réels, mais il ne faut pas généraliser.

En effet, on peut avoir

0=?? ??iu v avec 0≠?? ?u et 0≠?? ?v.

D"autre part,

=?? ?? ?? ???i iu v u w n"implique pas =?? ???v w.

3. Produit scalaire et orthogonalité

1) Vecteurs orthogonaux

Définition 4 : Deux vecteurs ?u et ?v sont orthogonaux lorsque ( )( ) , 2ππ= + ?Z?? ??u v k k

Propriété 4 : ?u et ?v sont orthogonaux si, et seulement si, 0=?? ??iu v.

Démonstration : Si

0 ou 0= =? ? ? ?u v, le résultat est évident.

Supposons 0 et 0≠ ≠? ? ? ?u v. On a : ()cos , = × ×?? ?? ?? ?? ?? ??iu v u v u v()cos , u v u v u v• = × ×? ? ? ? ? ?.

On en déduit que :

( ) ( )( )0 cos , 0 , 2ππ= ? = ? = + ? ? ?Z?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??iu v u v u v k k u v.

2) Application

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C. Lainé

Soit ABCD un parallélogramme.

Montrer que ABCD est un losange si, et seulement si, ses diagonales sont perpendiculaires.

Posons

AB=? ????u et AD=? ????v.

Alors :

2 22 2AC DB AB AD= + - = - = -???? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ??iu v u v u v.

D"où ABCD est un losange si, et seulement si,

AB AD=, c"est-à-dire si, et seulement si,

0AC DB=???? ????i ; ce qui équivaut à AC DB????? ????.

3) Projection orthogonale

Définition 5 : Soient d une droite et M un point du plan. On appelle projeté orthogonal du point M sur la droite d l"unique point d"intersection H de la droite d et de la perpendiculaire à d passant par le point M.

Propriété 5 : Soit ?u et ?v deux vecteurs non nuls du plan tels que et OA OB= =?? ?????? ????u v.

Soit H le projeté orthogonal du point B sur la droite ( )OA. Alors OA OB OA OH= =???? ???? ?????? ??i i i????u v.

Démonstration : ( )OA OB OA OH HB OA OH OA HB= + = +???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ????i i i i.

Or les vecteurs et OA HB???? ???? sont orthogonaux ; d"où 0OA HB=???? ????i.

Par conséquent,

OA OB OA OH=???? ???? ???? ????i i.

Remarque :

OA OB OA OH= ×???? ????i OA OB OA OH= - ×???? ????i C D B A 6

C. Lainé

Exemple : Soit ABCD un carré de côté c.

Soit I le milieu du segment []AB.

Déterminer

, ???? ???? ???? ???? ???? ????i i iAB AC IB ID et AB AD. Comme B est le projeté orthogonal de C sur la droite ()AB, alors 2 2AB AC AB AB AB= = =???? ???? ???? ????i ic. Comme A est le projeté orthogonal de D sur la droite ()BI, alors 2

2 2 4B D B A B A= = - × = - × = -???? ???? ???? ????i ic c cI I I I I I.

Comme et AB AD???? ???? sont orthogonaux, alors 0AB AD=???? ????i.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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