Chapitre 2.3 – Le produit vectoriel
Le produit vectoriel est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat est un vecteur. On utilise l'opérateur « × » pour désigner le
PRODUIT SCALAIRE
La norme du vecteur u ! notée u !
Opérations sur les vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs correspond à la somme des produits de leurs composantes. Si =(a b) et = (c
PRODUIT SCALAIRE 1. Produit scalaire de deux vecteurs
La norme du vecteur u notée u
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG) il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan. Vidéo https://youtu.
Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel I Produit scalaire (de
des deux vecteurs par le cosinus de leur angle . Le produit scalaire est donc : positif pour ? aigu négatif pour ? obtus. • Forme géométrique.
Produit scalaire de 2 vecteurs
Les deux vecteurs ont la même origine A qui est alors le sommet de l'angle géométrique . ? Dans le cas où les deux vecteurs n'ont pas la même origine
le-produit-scalaire-de-deux-vecteurs-colineaires.pdf
La formule du produit scalaire avec le cosinus va nous permettre d'obtenir un résultat très intéressant pour les vecteurs colinéaires car deux vecteurs
Produit scalaire dans lespace - Lycée Pierre Gilles de Gennes
Ainsi tout plan de l'espace admet un vecteur normal. • Deux vecteurs normaux d'un plan de l'espace sont colinéaires. 2. Droites perpendiculaires (ou
Le produit scalaire
2 y. 2 pour un vecteur u xy . 3. Formule du cosinus. Soient u et v deux vecteurs non nuls. On a u
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Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit du module de l'un par la mesure algébrique de la projection de l'autre sur lui • Forme analytique
[PDF] PRODUIT SCALAIRE - maths et tiques
2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u ! et v ! deux vecteurs du plan On appelle produit scalaire de u ! par v ! noté u
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I 3 5 Double produit vectoriel Un vecteur est une entité mathématique définie par une Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls représentés
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17 mai 2011 · Définition 2 : Dans un repère orthonormal (O ? l) le produit scalaire de deux vecteurs u et v de coordonnées respectives (x;
[PDF] Le produit scalaire de deux vecteurs CoursMathsAixfr
Nous aurons dans ce chapitre trois moyens pratiques pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs une formule utilisant le cosinus de l'angle formé
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Produit scalaire dans l'espace vectoriel euclidien VR à 3 dimensions entre deux vecteurs quelconques x ? VR 3 et y ? VR 3 il est bien connu
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Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes Le plan est muni d'un repère orthonormal 1 Introduction DÉFINITION le produit scalaire de deux vecteurs
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Deux vecteurs ?u et ?v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Remarque : Le vecteur nul ?0 est orthogonal à tout vecteur III-2-
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5 mar 2018 · 1) Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux 2) Deux droites sont parallèles si et seulement
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Le produit scalaire est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat est un scalaire On utilise l'opérateur « ? » pour désigner le
PRODUIT SCALAIRE
DANS L'ESPACE
I. Produit scalaire de deux vecteurs
1) Définition
Soit et deux vecteurs de l'espace. A, B et C trois points tels que et Il existe un plan P contenant les points A, B et C.Définition :
On appelle produit scalaire de l'espace de et le produit égal au produit scalaire dans le plan P.On a ainsi :
- si ou est un vecteur nul,Exemple :
Vidéo https://youtu.be/vp3ICG3rRQk
ABCDEFGH est un cube d'arête a.
uvuAB=vAC=uv.uv.ABAC.0uv=uv .cos ;uvuv uv=´´ 2 uvAB DG ABAF ABAB a H 22) Propriétés
Les propriétés dans le plan sont conservées dans l'espace. Propriétés : Soit , et trois vecteurs de l'espace. - et sont orthogonaux.Démonstration :
Il existe un plan P tel que les vecteurs et admettent des représentants dans P. Dans le plan, les règles de géométrie plane sur les produits scalaires s'appliquent.3) Expression analytique du produit scalaire
Propriété : Soit et deux vecteurs de l'espace muni d'un repère orthonormé . Alors .Et en particulier : .
Démonstration :
En effet, on a par exemple dans le plan définit par le couple : , et .On a en particulier : .
Exemple :
Vidéo https://youtu.be/N1IA15sKH-E
On considère le repère de l'espace .
uvw 2 .uuu= ..uvvu = ...uvwu vuw +=+ ...kuvu kvk uv== kÎ.0uv=Ûuvuv x uy z x vy z ,,,Oijk .'''uvx xyy zz=++ 222.uuuxyz==++ uvx iyj zkxiyjz k xxiixy ij xzi kyxjiy yjj yzj kzxkizyk jzzk k xxyyzz ;ij 2 .1iii== 2 .1jjj== ..0ijji == 2 222
.uuu xxy yzz xyz==++=++ ;,,CCBCDCG 3
Alors : et soit .
Alors .
Les vecteurs et ne sont pas orthogonaux.
II. Vecteur normal à un plan
1) Définition et propriétés
Définition : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. Théorème : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.Démonstration :
Elle est incluse dans la démonstration du corollaire qui suit. Au XIXe siècle, le vecteur normal , appelé produit vectoriel, est noté ⋀. Le produit vectoriel a été inventé par un mathématicien allemand, HermannGünther Grassmann (1809 ; 1877).
Corollaire : Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.Démonstration (exigible BAC) :
- Si une droite est orthogonale à toute droite d'un plan P alors elle est en particulier orthogonale à deux droites sécantes de P. - Démontrons la réciproque : 1 1 1 CE 10 01 0,50 DI 1 1 0,5 DI .111110,50,5CEDI =´+´-+´= CE DI nnnuv 4 Soit une droite de vecteur directeur orthogonale à deux droites et de P sécantes et de vecteurs directeurs respectifs et . Alors et sont non colinéaires et orthogonaux au vecteur . Soit une droite quelconque () de P de vecteur directeur .Démontrons que () est orthogonale à .
peut se décomposer en fonction de et qui constituent une base de P (car non colinéaires).Il existe donc deux réels x et y tels que .
Donc , car est orthogonal avec et .
Donc est orthogonal au vecteur .
Et donc est orthogonale à ().
Méthode : Déterminer si un vecteur est normal à un planVidéo https://youtu.be/aAnz_cP72Q4
ABCDEFGH est un cube.
Démontrer que le vecteur est normal au plan
(ABG).On considère le repère .
Dans ce repère : ,,,,.
On a ainsi :
, et , donc : Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG), il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un planVidéo https://youtu.be/IDBEI6thBPU
Dans un repère orthonormé, soit et .
Déterminer un vecteur normal au plan (ABC).
d n 1 d 2 d uvuvn D w D d wuv wxuyv=+...0wnxu nyvn=+= nuvnw d D CF ;,,BBABC BF 1 0 0 A 0 0 0 B 0 1 0 C 0 0 1 F 0 1 1 G 0 1 1 CF 0 1 1 BG 1 0 0 AB .0011110 .0(1)10100 CFBG CFAB CF 11 2,3 21AB 2 0 2 C 5
On a : et .
Soit un vecteur orthogonal au plan (ABC). Il est tel que : soitPrenons par exemple, alors et .
Le vecteur est donc normal au plan (ABC).
2) Equation cartésienne d'un plan
Théorème : L'espace est muni d'un repère orthonormé . Un plan P de vecteur normal non nul admet une équation cartésienne de la forme , avec ℝ. Réciproquement, si a, b et c sont non tous nuls, l'ensemble des points tels que , avec ℝ, est un plan.Démonstration (exigible BAC) :
- Soit un point de P. 2 1 3 AB 1 2 0 AC a nb c .0 .0 nAB nAC 23020 abc ab 2230
2 330
2 2 bbc ab bc ab cb ab b=1 1c= a=2 2 1 1 n ;,,Oijk a nb c ax+by+cz+d=0 dÎ x My z ax+by+cz+d=0 dÎ A A A x Ay z 6 et sont orthogonaux avec . - Réciproquement, supposons par exemple que (a, b et c sont non tous nuls). On note E l'ensemble des points vérifiant l'équation
Alors le point vérifie l'équation .
Et donc E.
Soit un vecteur . Pour tout point , on a :
E est donc l'ensemble des points tels que .
Donc l'ensemble E est le plan passant par A et de vecteur normal .Exemple :
Le plan d'équation cartésienne a pour vecteur normal . Méthode : Déterminer une équation cartésienne de planVidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY
Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point et de vecteur normal . x MyP z AM n.0AMnÛ= 0 0 AAA AAA axxb yyc zz axbyc zaxby czÛax+by+cz+d=0
d=-ax A -by A -cz A a¹0 x My z ax+by+cz+d=0 ;0;0 d A a ax+by+cz+d=0 AÎ a nb c x My z .000 dAMna xby cz axbyc zd
a x My zquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12[PDF] projection d'un vecteur sur un autre
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