[PDF] Produit scalaire de 2 vecteurs

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I. Définition et exemples

(ă partir de l'actiǀitĠ gĠogĠbra sur le wagonnet)

1. définition

2. Exemple :

ABC est un triangle équilatéral de coté 3 , calculer puis où I est le milieu de [AC] = AB ou = AB donc = 3

De même on a

= AB AI = 3

3. Remarque :

L'orientation de l'angle de ǀecteurs n'interǀient pas ( car cos( On peut donc travailler avec des angles géométriques

On donnera donc

ramener à cette forme .

II. Opérations et produit scalaire

1. Propriété 1

Pour et non-nuls

Rappel :

et cos(

On montrerait de même que

Application :

ABC est un triangle équilatéral de coté 3 , calculer = - BA BC cos( ) = - 3 3 = - 4.5

Produit scalaire de 2 vecteurs

Le produit scalaire de 2 vecteurs non-nuls

et est le nombre noté ( lire " scalaire défini par : Si ou alors = 0 = AB 2

2. Propriété 2

Pour et non-nuls

Si k > 0

On a ) = k ) = k ( Car = k et et sont colinéaires et de même sens donc

Si k < 0 on peut écrire k = - k' aǀec k' х 0 et on applique la propriété précédente

= - k' ( ) = k ( Si k = 0 la propriété est vérifiée aussi car 0 = 0 et = 0

3. Propriété 3 (admise )

4. CarrĠ scalaire d'un ǀecteur

Définition et notation

Le produit scalaire d'un ǀecteur

par lui même est appelé " carré scalaire » et noté

En effet

) et ) = cos(0) = 1

Remarque :

On a donc

Identité remarquables

On a , par application des propriétés ci-dessus ,

Application

Donc ) (qui est la définition donné dans le livre)

Pour tout réel k

= k Donc 3

Propriété :

Exemple

Soient

et tels que et ( + 2k

Déterminer

On a donc or

3² = 9 et

= 5² = 25 de plus ) = 15 donc

9 + 25 + 15

et donc

III. Autres propriétés

1. Orthogonalité de deux vecteurs

Remarque :

est orthogonal à tout vecteur Pour et non-nuls la propriété est simple à démontrer à partir de la définition

En effet

= 0 cos( ) = 0 car et non-nuls donc leurs normes ne sont pas nulles + k

2. Projections

H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB)

Il faut distinguer 2 cas de figure

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : = 0 = AB AH = - AB AH 4

Démonstration :

Soit K est le projeté orthogonal de C sur la perpendiculaire à (AB) On a donc or donc = 0 et donc seule la composante colinéaire à est utile pour le produit scalaire .

On en déduit que

= AB AH cos ( or = 0 ou suivant la position de H

De manière générale

Si E et F sont les projetés orthogonaux de C et D sur (AB) et si G et H sont les projetés orthogonaux de E et F sur (CD) alors

Par abus on dit " Dans un produit scalaire de deudž ǀecteurs , on peut remplacer l'un des ǀecteurs

par son projeté orthogonal sur l'autre ǀecteur » Exercice : faire la démonstration du résultat ci-dessus . IV. Expression du produit scalaire dans une base orthonormée

Résultat :

Démonstration :

est de coordonnées = x + y est de coordonnées

н y'

donc : (continuer la démonstration )

Soit (

) une base orthonormée du plan vectoriel . Si est de coordonnées et est de coordonnées dans cette base

Alors on a :

с dž dž' н y y'

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