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CHAPITRE 2

FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES ET

FORMES QUADRATIQUESTable des matières

1. Formes bilinéaires symétriques . . .............................. 1

2. Forme quadratiques .. .......................................... 3

3. Forme positive et définies positives . . .......................... 5

4. Formes bilinéaires symétriques en dimension finie : matrice d"une

forme bilinéaire symétrique . . .................................. 7

5. Orthogonalité, noyau et rang . . ................................ 12

6. Réduction des formes quadratiques .. .......................... 14

1. Formes bilinéaires symétriques

Dans tout ce chapitreKest un corps commutatif de caractéristique 0 etEest unK-espace vectoriel. Definition 1.1. -Une application':EE!Kest uneforme bilinéairesurEsi (a)8y2E,'y:x7!'(x;y)est une forme linéaire surE. On dira aussi que'est linéaire par rapport à la première place. (b)8x2E,'x:y7!'(x;y)est une forme linéaire surE. On dira aussi que'est linéaire par rapport à la deuxième place. Soient'est une forme bilinéaire surE,m;n2N,1;:::;n2K,

1;:::;m2K,x1;:::;xn2Eety1;:::;ym2E. Alors

(1)'(nX i=1 ixi;mX j=1 jyj) =nX i=1m X j=1 ij'(xi;yj): c

Février 2017, Khalid Koufany

2LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S4

Definition 1.2. -(a) On appelleforme bilinéaire symétriquesur

Etoute forme bilinéaire':EE!Kvérifiant

8x;y2E; '(x;y) ='(y;x):

(b) On appelleforme bilinéaire antisymétriquesurEtoute forme bilinéaire':EE!Kvérifiant

8x;y2E; '(x;y) ='(y;x):

(c) On appelleforme bilinéaire alternéesurEtoute forme bilinéaire ':EE!Kvérifiant

8x2E; '(x;x) = 0

Remarque 1.3. -(a) Une forme bilinéaire est alternée si, et seulemen t si, elle est antisymétrique. (b) Dorénavant, on abrégera forme bilinéaire symétrique enfbs. (c) Une application':EE!Kest une fbs si, et seulement si, 'est symétrique et linéaire par rapport à la première (ou la deuxième) place. (d) Si'est une fbs surE, alors8x2E,'(x;0) ='(0;x) = 0. Exemples 1.4. -(a) Su rE=Rn, poura1;:::;an2R, l"application '(x;y) =nX i=1a ixiyi est une fbs. (a) Si`1;`22E, alors l"application '(x;y) =12 (`1(x)`2(y) +`2(x)`1(y)) est une fbs surE. (c) SurE=C0([0;1];R), l"application '(f;g) =Z 1 0 f(t)g(t)dt est une fbs. (d) SurE=Mn;n(R), l"application '(A;B) =tr(AB) est une fbs.

LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S43

On noteBL(E)l"ensemble des formes bilinéaires surE. On notera aussiS(E)l"ensemble des fbs surE. Proposition 1.5. -(a) L"ensembleBL(E)est un sous-espace vectoriel deF(EE;K). (b) L"ensembleS(E)est un sous-espace vectoriel de l"espaceBL(E). Démonstration. -Immédiat. 2. Forme quadratiques Definition 2.1. -On appelleforme quadratiquesurEtoute appli- cationq:E!Kde la forme q:x7!'(x;x) où'est une forme bilinéaire surE. Dans ce cas, on dira queqest la forme quadratique associée à'. Remarque 2.2. -A priori, il n "ya pas unicité des formes bilinéaires associées à une forme quadratique. Par exemple surR2, les formes bili- néaires'(x;y) =x1y1+x2y2et (x;y) =x1y1+x1y2x2y1+x2y2défi- nissent la même forme quadratiqueq(x) ='(x;x) =x21+x22= (x;x). L"unicité de'est assurée par le résultat suivant : Théorème 2.3. -Siqest une forme quadratique surE, alors il existe une unique forme bilinéaire symétrique'telle queq(x) ='(x;x)pour toutx2E. Démonstration. -La forme quadratique qest définie parq(x) ='0(x;x) pourx2Eoù'0est une forme bilinéaire surE(qui n"est pas forcement symétrique). L"application'définie surEEpar '(x;y) =12 ['0(x;y) +'0(y;x)] est bilinéaire et symétrique avec'(x;x) =q(x)pour toutx2E, ce qui prouve l"existence de'. Comme'est bilinéaire symétrique, on a pour toutx;y2E q(x+y) ='(x+y;x+y) ='(x;x) + 2'(x;y) +'(y;y)

4LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S4

de sorte que (2)'(x;y) =12 [q(x+y)q(x)q(y)] ce qui prouve l"unicité.Proposition 2.4. -Soitqune forme quadratique surEet'la forme bilinéaire symétrique associée. On a (a)82K,8x2E,q(x) =2q(x). (b)8x;y2E,q(x+y) =q(x) + 2'(x;y) +q(y). (c)8x;y2E,'(x;y) =12 [q(x+y)q(x)q(y)]. (d)8x;y2E,'(x;y) =12 [q(x) +q(y)q(xy)]. (e)8x;y2E,'(x;y) =14 [q(x+y)q(xy)]. Démonstration. -Il suffit d"expliciter le calcul de q(x+y) ='(x+ y;x+y)en tenant compte de la bilinéarité et de la symétrie de'. q(x+y) ='(x+y;x+y) ='(x;x) +'(x;y) +'(y;x) +2'(y;y) ='(x;x) + 2'(x;y) +2'(y;y):

Tous les points (de (a) à (e)) se déduise de cette dernière formule.Definition 2.5. -Toute fqqsurEest associée à une unique fbs'

surEappeléeforme polairedeqet définie par (c), (d) ou (e) de la proposition 2.4.

Exemple 2.6. -(a) P oura1;:::;an2R, l"application

x7!nX i=1a ix2i est une forme quadratique surRnde forme polaire associée (x;y)7!nX i=1a ixiyi: (b) Soient`1;`22E, l"application x7!`1(x)`2(x) est une forme quadratique surEde forme polaire associée (x;y)7!12 (`1(x)`2(y) +`1(y)`2(x)):

LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S45

En particulier, si`2E, l"application

x7!`(x)2 est une forme quadratique surEet sa forme polaire est (x;y)7!`(x)`(y): (c) L"application q:R[X]!R; P7!Z 1 0

P(t)P00(t)dt

est une forme quadratique surR[X]et sa forme polaire (P;Q)7!12 Z 1 0 (P(t)Q00(t) +P00(t)Q(t))dt: Proposition 2.7. -L"ensemble,Q(E)des formes quadratiques surE, est un sous-espace vectoriel deF(E;K). Proposition 2.8. -L"application'7!q', qui à toute fbs associe la forme quadratique associée, est un isomorphisme deS(E)surQ(E). Démonstration. -Il est claire que '7!q'est une bijection deS(E)sur

Q(E). On vérifie aisément queq'+=q'+q.Corollaire 2.9. -Soient`1;:::;`rdes formes linéaires surEeta1;:::;ar

des scalaires. Alorsx7!Pr i=1ai`i(x)2est une forme quadratique surE de forme polaire(x;y)7!Pr i=1ai`i(x)`i(y). Démonstration. -P ourtout i2[[1;n]], l"applicationx7!`i(x)2est une forme quadratique admettant pour forme polaire la fbs(x;y)7! i(x)`i(y). La linéarité de'7!q'permet de conclure.3. Forme positive et définies positives

Dans ce paragraphe, on supposeK=R.

Soit'une fbs surEetqla forme quadratique associée. Definition 3.1. -(a) On dit que', ouqestpositive, si elle vérifie

8x2E; '(x;x)0:

(b) On dit que', ouqestdéfinie positive, si elle vérifie

8x2En f0g; '(x;x)>0:

6LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S4

On note :

S +(R)etS++(R)les ensembles des fbs respectivement positives et définies positives. Q +(R)etQ++(R)les ensembles des fq respectivement positives et définies positives. Remarque 3.2. -a) 'est définie positive si, et seulement si, elle est positive et si8x2E,'(x;x) = 0)x= 0. (b) Les ensemblesS+(R)etS++(R)ne sont pas des sous-espaces vec- toriels deS(R). Ils sont évidemment stables par combinaisons linéaires à coefficients positifs. On dit que ce sont descônes convexes. De mêmeQ+(R)etQ++(R)sont des cônes convexes.

Exemple 3.3. -(a) La fbs sur Rn

(x;y)7!nX i=1x iyi est définie positive. (b) SiE=CM([0;1];R), l"espace des fonctions continues par mor- ceaux sur[0;1], alors la fbs (f;g)7!Z 1 0 f(t)g(t)dt est positive, mais non définie positive. Sa restriction àC([0;1];R)l"espace des fonctions continues sur[0;1], est définie positive. (c) La fbs surMn(R) (A;B)7!tr(tAB) est définie positive. Théorème 3.4(Inégalité de Cauchy-Schwarz) Soit'une fbs positive surEetqla forme quadratique associée. Alors

8x;y2E;['(x;y)]2q(x)q(y):

Dans le cas où'est définie positive, on a égalité si, et seulement si, (x;y)est une famille liée dansE. Démonstration. -Soit (x;y)2E2. L"application deRdansR

0P() :=q(x+y) =q(x) + 2'(x;y) +2q(y)est une fonction

polynomiale de degré inférieur ou égal à 2 dont les valeurs sont positives.

LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S47

siq(y)6= 0, alorsq(y)>0et le discriminant réduit du trinômeP() est('(x;y))2q(x)q(y)0. D"où le résultat. siq(y) = 0, on a82R,P() = 2'(x;y)+q(x)0. Si'(x;y)6= 0, alors7!P()est une fonction polynomiale de degré un et donc change de signe, d"où'(x;y) = 0et l"inégalité est vérifiée. Supposons que'est définie positive. Si les deux vecteursx;ysont liés, alorsx=yoù2Rdonc '(x;y)2=2'(x;x)2=2q(x)2=q(x)q(x) =q(x)q(y): Réciproquement, si'(x;y)2=q(x)q(y), alors dans le cas oùq(y) = 0, on ay= 0et(x;y)est liée; dans le cas oùq(y)6= 0, on a la fonction polynomialeP()a un discriminant nul, d"où l"existence de02Rtel queP(0) = 0. CommeP(0) =q(x+0y),x+0y= 0puisque'est définie positive.Compétence visée. Savoir vérifier qu"une application est une forme bilinéaire (positive, définie positive).4. Formes bilinéaires symétriques en dimension finie : matrice d"une forme bilinéaire symétrique Dans ce paragraphe,Eest un espace vectoriel de dimension finienet

B= (e1;:::;en)une base deE.

Soit'une forme bilinéaire symétrique etqla forme quadratique asso- ciée. Théorème et définition 4.1. -(a) On appelle matrice de', ou de q, dans la baseB, la matrice symétrique

A=MatB(') = ('(ei;ej))1i;jn2Mn(K)

On a alors

(3)'(x;y) =tXAY=tYAX: oùXetYsont les matrices colonnes des coordonnées respectives dexet ydans la baseB.

8LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S4

(b) Pour toute matrice symétriqueA2Mn(K), il existe une unique forme bilinéaire symétrique'surKndontAest la matrice. Plus préci- sément,'est donnée par la relation (3).

Démonstration. -(a) Soien tx=Pn

i=1xieiety=Pn i=1yieideux vec- teurs deEexprimés dans la baseB. De la linéarité de'on déduit '(x;y) ='(nX i=1x iei;nX j=1y jej) =nX i=1n X j=1'(ei;ej)xiyj On poseaij='(ei;ej),A= (aij)1i;jn,X= (xi)etY= (yi)les vecteurs colonnes dexety. Alors, il est clair que t

XAY=tYAX=nX

i=1n X j=1a ijxiyj='(x;y): (b) SoitA2Mn(K)une matrice symétrique.Mn;1(K)étant identifié à K n. On vérifie facilement que': (X;Y)7!tXAYest une forme bilinéaire symétrique surKnRemarque 4.2. -(a) On retiendra l"expression, dan sune base B= (ei)donnée, d"une forme bilinéaire symétrique '(x;y) =tXAY=nX i=1n X j=1a ijxiyj oùaij='(ei;ej),8i;j2[[1;n]]. La forme quadratique associée a pour expression analytique dansB q(x) =tXAX=nX i=1a iix2i+ 2X

1i ijxixj: qui est un polynôme homogène de degré 2 en les coordonnées(xi)du vecteurx. On retrouve alors : les termes diagonauxaiide la matrice deqdans la baseBcomme coefficients des termesx2i. les termes rectanglesaijcomme demi-coefficients des termesxixj aveci < j. (b) On peut définir la matrice, dans une baseB= (ei)donnée, de toute forme bilinéaire'(non nécessairement symétrique) par la même formule '(x;y) =tXAY=nX i=1n X j=1a ijxiyj:

LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S49

Dans ce cas la matriceA= (aij)est symétrique (respectivement anti- symétrique) si, et seulement si, la forme bilinéaire'est symétrique (res- pectivement alternée). Théorème 4.3. -Une application':EE!Kest une forme bilinéaire (respectivement symétrique) surEsi, et seulement si, il existe une matriceA= (aij)1i;jn2Mn(K)(respectivement symétrique) et des formes linéaires`1;:::;`n2Elinéairement indépendantes telles que

8x;y2E; '(x;y) =X

1i;jna

ij`i(x)`j(y): Démonstration. -Si 'est bilinéaire, on a dans une baseB= (ei), pour toutx;y2E '(x;y) =nX i=1n X j=1a ijxiyj=X

1i;jna

ij`i(x)`j(y) où(`i)1inest la base duale deB:`i(x) =xi,8i2[[1;n]]. De plus la matriceA= (aij)est symétrique si, et seulement si,'est symétrique.

La réciproque est immédiate.Proposition 4.4. -(a) L"application qui associe à une forme bilinéaire

sa matrice dansBest un isomorphisme deBL(E)sur l"espaceMn(K) des matricesnn. (b) L"application qui associe à une forme bilinéaire symétrique (respec- tivement quadratique) sa matrice dansBest un isomorphisme deS(E) (respectivementQ(E)) sur l"espaceSym(n;K)des matrices symétriques. Démonstration. -On v amon trer(b), la propriété (a) se démon trede la même façon. (b) Soit :S(E)!Sym(n;K);'7!MatB(')cette application. Il est claire queest linéaire. De plus, si'2Ker(), alors MatB(') = 0 et par suite'= 0et doncest injective. D"autre part, siA= (aij)2

Sym(n;K), il est claire que

(x;y)7!X

1i;jna

ijxiyj est une forme bilinéaire symétrique telle que(') =Aet doncest surjective.

10LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S4

Corollaire 4.5. -(a) La dimension deBL(E)estn2

(b) La dimension deS(E), ou deQ(E), estn(n+1)2 Démonstration. -En effet : (a) BL(E)est isomorphe àMn(K)etdim(Mn(K)) = n 2. (b)S(E)est isomorphe àSym(n;K)etdim(Sym(n;K)) =n(n+1)2 .Exemple 4.6. -(a) T outeforme quadratique sur R2est de la forme q(x;y) =x2+ 2xy+ y2 où;;

2R. Les résultats classiques sur l"existence des racines d"un

polynôme montre queqest définie positive si, et seulement si,

2>0et >0:

(b) La forme bilinéaire symétrique associée (dans la base canonique) à la matrice symétrique0 @21 1 1 4 3

1 3 61

A est '(x;y) =x1x2x30 @21 1 1 4 3

1 3 61

A0 @y 1 y 2 y 31
A = 2x1y1x1y2+x1y3x2y1+ 4x2y2+ 3x2y3+x3y1+ 3x3y2+ 6x3y3 et la forme quadratique associée est q(x) = 2x21+ 4x22+ 6x232x1x2+ 2x1x3+ 6x2x3: (c) la forme bilinéaire surR3 '(x;y) =x1y1x1y2x2y22x2y3x3y12x3y3 a pour matrice dans la base canonique 0 @11 0 012 1 021 A

Elle n"est donc pas symétrique.

LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S411

(d) Soienta;b2Ntels quea+bnetA2Mn(R)la matrice par blocs0 @I a0 0 0Ib0

0 0 01

A La forme bilinéaire symétrique associée (dans la base canonique) est '(x;y) =aX i=1x iyia+bX i=a+1x iyi et sa forme quadratique est q(x) =aX i=1x

2ia+bX

i=a+1x 2i: Elle est définie positive si, et seulement si,a=net positive si, et seule- ment si,b= 0. Théorème 4.7(Changement de bases). -Soit'une forme bili- néaire sur l"espace vectorielEmuni de deux basesBetB0. SiPest la matrice de passage deBàB0, alors (4)MatB0(') =tPMatB(')P: Démonstration. -Soien tXetY(respectivementX0etY0) les matrices colonnes des coordonnées de deux vecteursxetydansB(respectivement B

0). AlorsX=PX0etY=PY0.

'(x;y) =tXMatB(')Y=tX0(tPMatB(')P)Y0: De l"unicité de la matrice de'dans une base, on déduit quetPMatB(')P= Mat B0(').Definition 4.8. -Le discriminant d"une forme bilinéaire', dans une baseB= (ei)1in, est le déterminant de la matriceA= ('(ei;ej))1i;jn de'dans cette base. On le noteB('). Proposition 4.9. -Soient'une forme bilinéaire sur l"espace vectoriel Emuni de deux basesBetB0etPest la matrice de passage deBàB0. Alors

B0(') = (detP)2B(')

Démonstration. -C"est une conséquence de la form ule(4).

12LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S4Compétence visée.

Savoir calculer la matrice d"une fbs ou d"une fq dans une base donnée.5. Orthogonalité, noyau et rang Dans ce paragrapheEdésigne unK-espace vectoriel et'une forme bilinéaire symétrique de forme quadratique associéeq. Definition 5.1. -On dit que deux vecteurx;y2Esontorthogo- naux relativement à'ou encore'-orthogonauxsi, et seulement si '(x;y) = 0.

Exemple 5.2. -Sur R2ouR3le produit scalaire usuel

(x;y)7!x1y1+x2y2;ou (x;y)7!x1y1+x2y2+x3y3 définit une forme bilinéaire symétrique et la définition de l"orthogonalité corresponds bien à celle étudiée au Lycée. Definition 5.3. -Un vecteurx2Eest'-orthogonal à une partieA deEsi, et seulement si,

8a2A; '(x;a) = 0:

On notreA?'le'-orthogonal deA, c"est-a-dire

A ?'=fx2E;8a2A;:'(x;a) = 0g: On vérifie assez facilement les propriétés suivante Proposition 5.4. -(a) Pour toute partieAE,A?'est un sous- espace vectoriel deE. (b) Pour toutes partiesAetBdeE, on aAB)B?'A?'. (c) Pour toute partieAE,A?'= (Vect(A))?'. (d)f0Eg?'=E (e) Pour tout sous-espace vectorielFdeE, on aF(F?')?'. Definition 5.5. -On dit qu"un vecteurx2Eestisotroperelative- ment à's"il est orthogonal à lui même :'(x;x) = 0. L"ensemble des vecteurs isotropes deE, relativement à', est appelécône isotropede '(ou deq) C '=Cq=fx2X:q(x) ='(x;x) = 0g

LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S413

Definition 5.6. -On appellenoyeaude la fbs'le sous-espace vec- toriel

Ker(') =E?'=fx2E;8y2E;:'(x;y) = 0g:

On dit aussi queKer(')est le noyau de la forme quadratique et on le noteKer(q). Proposition 5.7. -Le noyau de'est contenu dans son cône isotrope, soit

Ker(')C'

Démonstration. -Immédiat. Exemple 5.8. -On c onsidèrela fbs sur R3 '(x;y) =x1y2+x2y2x3y3: x2Ker(')signifie que'(x;y) = 0pour touty2R3et en particulier pour les vecteurs de la base canoniquee1;e2;e3et par suite0 ='(x;e1) = x

1,0 ='(x;e2) =x2et0 ='(x;e3) =x3. On en déduit queKer(') =

f0g. Le cône isotrope de'est formé des vecteursxtels quex21+x22x23= 0. Definition 5.9. -On dit que la fbs'estdégénérée(respectivement non dégénérée) si, et seulement si,Ker(')6=f0g(respectivement

Ker(') =f0g).

Autrement dit,

'non dégénérée() 8x2E;(8y2E; '(x;y) = 0)x= 0) Dans la suite de ce paragraphe on supposeEunK-espace vectoriel de dimension finien. SoientB= (ei)1inune base deEetAla matrice de'dansB. Definition 5.10. -On appellerangde'l"entier, notérg('), défini par rg(') = dim(E)dim(Ker(')): Théorème 5.11. -Soitul"endomorphisme deEayantApour matrice dans la baseB. On a (a)Ker(') =Ker(u): (b)rg(') = rg(A): (c)'est non dégénérée()rg(') =n()A2GLn(K).

14LICENCE DE MATHÉMATIQUES, S4

Démonstration. -Soit x2EetX2Knla matrice colonne formée des coordonnées dexdans la baseB. On a x2Ker(')() 8y2E; '(x;y) = 0() 8Y2Mn;1(K);tXAY= 0 tXA= 0 ()AX= 0 ()X2Ker(A) ()x2Ker(u)quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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