Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
est une forme bilinéaire symétrique (vérifier la symétrie). 2.1.2 Matrice d'une forme bilinéaire symétrique. On suppose E de dimension finie n.
Université Claude Bernard Lyon 1 Licence Sciences
4. Symétrie et Antisymétrie. DEFINITION 3 : FORME BILINEAIRE SYMETRIQUE ANTISYMETRIQUE ET ALTERNEE b forme bilinéaire sur E. On dit que b est :.
Math-IV-algèbre Formes (bi)linéaires
3.6 Formes bilinéaires symétriques et formes bilinéaires alternées . 24 si B(x y) = B(y
Formes bilinéaires changement de bases. Formes quadratiques
la forme est antisymétrique si sa matrice (dans une base quelconque) A est antisymétrique c'est `a dire que ai
1 Formes bilinéaires.
On dit qu'une forme bilinéaire b est alternée si ?x ? Eb(x
ALG`EBRE BILINÉAIRE (MAT241) Notes de cours. Texte non
L'ensemble BLA(E) des formes bilinéaires anti-symétriques un sous-espace vectoriel de BL(E). 1.4.1. Le cas de la dimension finie. On suppose dans cette section
1. Formes bilinéaires. Formes quadratiques. . 1.1. Définitions. Soit E
et d'une forme anti-symétrique: ? = ?+ + ?? o`u. ?+(x
Panorama sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques
noyau) de ? celui de i? qui est égal `a celui de j? (resp. si ? est symétrique ou antisymétrique). La matrice d'une forme bilinéaire sur une base (ei) de E est
ALGÈBRE BILINÉAIRE Table des matières 1. Formes quadratiques
13 déc. 2019 Soit b une forme bilinéaire symétrique ou antisymétrique. On dit que x y ? E sont orthogonaux (sous-entendu : pour la forme b)
Applications Bilinéaires et Formes Quadratiques
Dans le cas o`u E = F cette matrice est symétrique si et seulement si la forme bilinéaire f est symétrique. Elle est antisymétrique si et seulement si f est
[PDF] Chapitre 2 Formes bilinéaires symétriques formes quadratiques
On peut vérifier que toutes les formes bilinéaires symétriques données en exemple apr`es la définition 2 1 sont non dégénérées En dimension finie une forme
[PDF] Mathéma - Licence de mathématiques Lyon 1
DEFINITION 3 : FORME BILINEAIRE SYMETRIQUE ANTISYMETRIQUE ET ALTERNEE b forme bilinéaire sur E On dit que b est : ? Symétrique : Si ( ) ( ) ?
[PDF] CHAPITRE 2 FORMES BILINÉAIRES SYMÉTRIQUES ET FORMES
(a) Une forme bilinéaire est alternée si et seulement si elle est antisymétrique (b) Dorénavant on abrégera forme bilinéaire symétrique en fbs
[PDF] Forme bilinéaire - Unemainlavelautre
Une forme symplectique sur un espace vectoriel E est une forme bilinéaire ? sur E × E telle que (i) ? est antisymétrique (ii) ? est non-dgénérée III Forme
[PDF] 1 Formes bilinéaires
On dit qu'une forme bilinéaire b est alternée si ?x ? Eb(x x) = 0 Comme carK = 2 cela équivaut `a dire que b est antisymétrique (tandis que
[PDF] Panorama sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques
noyau) de ? celui de i? qui est égal `a celui de j? (resp si ? est symétrique ou antisymétrique) La matrice d'une forme bilinéaire sur une base (ei) de E est
[PDF] Formes bilinéaires
est une forme bilineaire si pour tout x&E L'application 41x ): y 4 (ay) Remarque 4 est symétrique (resp antisymétrique) ssi A est symétrique
[PDF] ALGÈBRE BILINÉAIRE Table des matières 1 Formes quadratiques
13 déc 2019 · Soit b une forme bilinéaire symétrique ou antisymétrique On dit que x y ? E sont orthogonaux (sous-entendu : pour la forme b) si b(x
[PDF] Chapitre 14 :Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques
Soit ? une forme bilinéaire symétrique sur E Q la forme quadratique associée On a pour tous Eyx endomorphisme antisymétrique v (c'est-à-dire tel que
[PDF] Formes bilinéaires changement de bases Formes quadratiques
Soient E un espace vectoriel de dimension n ? une forme bilinéaire antisymétrique si sa matrice (dans une base quelconque) A est antisymétrique
Comment montrer qu'une forme bilinéaire est symétrique ?
Théorème : Pour montrer qu'une forme est bilinéaire symétrique, il suffit de montrer qu'elle est linéaire par rapport à une variable, au choix, et qu'elle est symétrique. en faisant jouer la symétrie et la linéarité par rapport à chaque variable. On obtient bien la deuxième linéarité.Comment trouver une forme bilinéaire ?
Soit b une forme bilinéaire symétrique sur E × E. b(x, y) = tX ME(b)Y . Dans l'autre sens, si M est une matrice symétrique dans Mn(K), alors (x, y) ?? tXMY (o`u X et Y sont les vecteurs colonnes des coordonnées de x et y dans la base E) est bien une forme bilinéaire symétrique.Comment montrer qu'une application est une forme bilinéaire ?
Une application : f : E × F ?? G est dite K–bilinéaire (ou plus simplement bilinéaire), si ?x ? E, ?y ? F les applications partielles : y ?? f(x, y) et x ?? f(x, y) sont K–linéaires. Dans le cas o`u G est identique `a K, on dit que f est une forme bilinéaire.- En particulier, le noyau à gauche d'une forme bilinéaire sur E×F est le sous-espace F? de E constitué des vecteurs x tels que : On définit de même un noyau à droite E?, qui est un sous-espace de F. et l'on définit de même la non-dégénérescence à droite.
Universit´e de NiceAnn´ee 2006-2007
Pr´eparation `a l"Agr´egation Externe de Math´ematiquesAlg`ebre et G´eom´etrie
Panorama sur les formes bilin´eaires et les formes quadratiquesSoitEun espace vectoriel de dimension finie sur un corpsK, de caract´eristique diff´erente de 2.
Sauf mention du contraire, les formes bilin´eaires et quadratiques consid´er´ees ont pour espace
de d´epartE. On ne traite pas ici du contexte euclidien, ni des th´eor`emes de cor´eduction.
1. Formes bilin´eaires
D´efinition 1Une applicationφ:E×E→Kest ditebilin´eairesiiφ:x?→(y?→φ(x,y))est `a
valeurs dansE?et lin´eaire surE, ce qui ´equivaut `a ce quejφ:x?→(y?→φ(y,x))le soit.
On dit queφestsym´etrique(resp.antisym´etrique, oualtern´ee) siiφ=jφ(resp.iφ=-jφ).
On dit qu"elle estnon-d´eg´en´er´eesiiφest bijective, cela ´equivaut `a ce quejφle soit. On appelle
rang(resp.noyau) deφcelui deiφ, qui est ´egal `a celui dejφ(resp. siφest sym´etrique ou
antisym´etrique). La matrice d"une forme bilin´eaire sur une base(ei)deEest celle dejφdans les base(ei) et(e?i). Elle est sym´etrique (resp. antisym´etrique) si et seulement siφl"est. Lemme 2L"espace des formes bilin´eaires est somme directe de celuides formes sym´etriques et de celui des formes antisym´etriques.D´efinition 3Siφest sym´etrique ou antisym´etrique, alors on d´efinit l"orthogonal d"une partie
AdeEcomme ´etant l"orthogonal deiφ(A) =jφ(A)?E?. Une base est diteorthogonalesi deux vecteurs distincts la composant sont orthogonaux.Lemme 4Siφest non-d´eg´en´er´ee, l"orthogonalit´e d´efinit une involution d´ecroissante de l"en-
semble des sous-espaces de dimensionrdeEdans celui des sous-espaces de dimensiondimE-r. Lemme 5Toute forme bilin´eaireφsym´etrique ou antisym´etrique induit surE/kerφune forme bilin´eaire non-d´eg´en´er´ee.2. R´eduction des formes bilin´eaires sym´etriques et antisym´etriques
Th´eor`eme 6Toute forme bilin´eaire sym´etrique admet une base orthogonale. Corollaire 7Si tout ´el´ement deKadmet une racine carr´ee dansK(en particulier siK=C),alors toute forme bilin´eaire sym´etrique et non-d´eg´en´er´ee admet une base orthonormale.
Corollaire 8SiK=R, alors toute forme bilin´eaire sym´etriqueφadmet pour matrice sur une base adapt´ee une matrice diagonale dont les coefficients valent1,-1ou0. On appellesignature deφle couple(r,s), o`ur(resp.s) est le nombre de coefficients diagonaux ´egaux `a1(resp.-1), elle est ind´ependante de la base choisie. que(ei)i≥2p+1est une base dekerφ.Corollaire 10S"il existe une forme quadratique antisym´etrique non-d´eg´en´er´ee surEalors
dimEest paire.3. Formes quadratiques et r´eduction des formes quadratiques
D´efinition 11On appelleforme quadratiquetoute fonctionqdeEdansKtelle qu"il existeune forme bilin´eaireφv´erifiantq(x) =φ(x,x)pour toutx?E. On dit alors queqestattach´ee
`aφ. La forme quadratique attach´ee `a une forme antisym´etrique est nulle. On appelleforme polairede la forme quadratiqueql"unique forme bilin´eaire sym´etriqueφ`a laquelleqest attach´ee. On dit queqestnon-d´eg´en´er´eesiφl"est; on appellenoyau(resp.
rang) deqcelui deφ; on dit que deux vecteurs sontorthogonauxpourqs"il le sont pourφ; siK=R, on appellesignaturedeqcelle deφ.
On appellevecteur isotropede la forme quadratiqueqtout vecteur sur lequelqs"annule.On appellecˆone isotropel"ensemble des vecteurs isotropes. On dit queqestd´efiniesi son cˆone
isotrope est nul. On dit d"un sous-espaceFdeEqu"il esttotalement isotropesi la restriction deq`aFest nulle.Lemme 12Siqest une forme quadratique d´efinie et non-d´eg´en´er´ee, alors elle v´erifieF??F=
Epour tout sous-espaceFdeE.
Th´eor`eme 13Toute forme quadratique de rangpest une combinaison lin´eaire depcarr´es de formes lin´eaire lin´eairement ind´ependantes. Corollaire 14Si tout ´el´ement deKadmet une racine carr´ee dansK(en particulier siK= C), alors toute forme quadratique de rangpest une somme de carr´es depformes lin´eaire lin´eairement ind´ependantes. Corollaire 15SiK=R, alors toute forme quadratique de rangpest une combinaison lin´eaire,de coefficients dans±1, depcarr´es de formes lin´eaires lin´eairement ind´ependantes. La signature
(r,s)deqest telle quer(resp.s) est le nombre de carr´es affect´es de coefficients1(resp.-1).En particulier, une telle forme est d´efinie si elle est d"unepart non-d´eg´en´er´ee et d"autre part
soit positive, soit n´egative. Elle admet une base orthonormale si et seulement si elle est d´efinie
positive.4. Isotropie
Th´eor`eme 16Toute forme quadratique admet un sous-espace totalement isotrope maximal et tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont mˆeme dimension. Corollaire 17Soitqune forme quadratique non-d´eg´en´er´ee. AlorsEest la somme directe de trois sous-espacesE1,E2etE3, o`uE1etE2sont totalement isotropes,iφ:E1→E?2est bijective, E1etE2sont orthogonaux `aE3etqrestreinte `aE3est d´efinie.
Corollaire 18SiK=R, et siqest non-d´eg´en´er´ee, la dimension des sous-espaces totalement
isotrope maximaux pourqestmin{r,s}, o`u(r,s)est la signature deq. SiK=C, la dimension des sous-espaces totalement isotropes est la partie enti`ere dedimE/2.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13[PDF] forme quadratique non dégénérée
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