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Universit´e de NiceAnn´ee 2006-2007

Pr´eparation `a l"Agr´egation Externe de Math´ematiques

Alg`ebre et G´eom´etrie

Panorama sur les formes bilin´eaires et les formes quadratiques

SoitEun espace vectoriel de dimension finie sur un corpsK, de caract´eristique diff´erente de 2.

Sauf mention du contraire, les formes bilin´eaires et quadratiques consid´er´ees ont pour espace

de d´epartE. On ne traite pas ici du contexte euclidien, ni des th´eor`emes de cor´eduction.

1. Formes bilin´eaires

D´efinition 1Une applicationφ:E×E→Kest ditebilin´eairesiiφ:x?→(y?→φ(x,y))est `a

valeurs dansE?et lin´eaire surE, ce qui ´equivaut `a ce quejφ:x?→(y?→φ(y,x))le soit.

On dit queφestsym´etrique(resp.antisym´etrique, oualtern´ee) siiφ=jφ(resp.iφ=-jφ).

On dit qu"elle estnon-d´eg´en´er´eesiiφest bijective, cela ´equivaut `a ce quejφle soit. On appelle

rang(resp.noyau) deφcelui deiφ, qui est ´egal `a celui dejφ(resp. siφest sym´etrique ou

antisym´etrique). La matrice d"une forme bilin´eaire sur une base(ei)deEest celle dejφdans les base(ei) et(e?i). Elle est sym´etrique (resp. antisym´etrique) si et seulement siφl"est. Lemme 2L"espace des formes bilin´eaires est somme directe de celuides formes sym´etriques et de celui des formes antisym´etriques.

D´efinition 3Siφest sym´etrique ou antisym´etrique, alors on d´efinit l"orthogonal d"une partie

AdeEcomme ´etant l"orthogonal deiφ(A) =jφ(A)?E?. Une base est diteorthogonalesi deux vecteurs distincts la composant sont orthogonaux.

Lemme 4Siφest non-d´eg´en´er´ee, l"orthogonalit´e d´efinit une involution d´ecroissante de l"en-

semble des sous-espaces de dimensionrdeEdans celui des sous-espaces de dimensiondimE-r. Lemme 5Toute forme bilin´eaireφsym´etrique ou antisym´etrique induit surE/kerφune forme bilin´eaire non-d´eg´en´er´ee.

2. R´eduction des formes bilin´eaires sym´etriques et antisym´etriques

Th´eor`eme 6Toute forme bilin´eaire sym´etrique admet une base orthogonale. Corollaire 7Si tout ´el´ement deKadmet une racine carr´ee dansK(en particulier siK=C),

alors toute forme bilin´eaire sym´etrique et non-d´eg´en´er´ee admet une base orthonormale.

Corollaire 8SiK=R, alors toute forme bilin´eaire sym´etriqueφadmet pour matrice sur une base adapt´ee une matrice diagonale dont les coefficients valent1,-1ou0. On appellesignature deφle couple(r,s), o`ur(resp.s) est le nombre de coefficients diagonaux ´egaux `a1(resp.-1), elle est ind´ependante de la base choisie. que(ei)i≥2p+1est une base dekerφ.

Corollaire 10S"il existe une forme quadratique antisym´etrique non-d´eg´en´er´ee surEalors

dimEest paire.

3. Formes quadratiques et r´eduction des formes quadratiques

D´efinition 11On appelleforme quadratiquetoute fonctionqdeEdansKtelle qu"il existe

une forme bilin´eaireφv´erifiantq(x) =φ(x,x)pour toutx?E. On dit alors queqestattach´ee

`aφ. La forme quadratique attach´ee `a une forme antisym´etrique est nulle. On appelleforme polairede la forme quadratiqueql"unique forme bilin´eaire sym´etriqueφ

`a laquelleqest attach´ee. On dit queqestnon-d´eg´en´er´eesiφl"est; on appellenoyau(resp.

rang) deqcelui deφ; on dit que deux vecteurs sontorthogonauxpourqs"il le sont pourφ; si

K=R, on appellesignaturedeqcelle deφ.

On appellevecteur isotropede la forme quadratiqueqtout vecteur sur lequelqs"annule.

On appellecˆone isotropel"ensemble des vecteurs isotropes. On dit queqestd´efiniesi son cˆone

isotrope est nul. On dit d"un sous-espaceFdeEqu"il esttotalement isotropesi la restriction deq`aFest nulle.

Lemme 12Siqest une forme quadratique d´efinie et non-d´eg´en´er´ee, alors elle v´erifieF??F=

Epour tout sous-espaceFdeE.

Th´eor`eme 13Toute forme quadratique de rangpest une combinaison lin´eaire depcarr´es de formes lin´eaire lin´eairement ind´ependantes. Corollaire 14Si tout ´el´ement deKadmet une racine carr´ee dansK(en particulier siK= C), alors toute forme quadratique de rangpest une somme de carr´es depformes lin´eaire lin´eairement ind´ependantes. Corollaire 15SiK=R, alors toute forme quadratique de rangpest une combinaison lin´eaire,

de coefficients dans±1, depcarr´es de formes lin´eaires lin´eairement ind´ependantes. La signature

(r,s)deqest telle quer(resp.s) est le nombre de carr´es affect´es de coefficients1(resp.-1).

En particulier, une telle forme est d´efinie si elle est d"unepart non-d´eg´en´er´ee et d"autre part

soit positive, soit n´egative. Elle admet une base orthonormale si et seulement si elle est d´efinie

positive.

4. Isotropie

Th´eor`eme 16Toute forme quadratique admet un sous-espace totalement isotrope maximal et tous les sous-espaces totalement isotropes maximaux ont mˆeme dimension. Corollaire 17Soitqune forme quadratique non-d´eg´en´er´ee. AlorsEest la somme directe de trois sous-espacesE1,E2etE3, o`uE1etE2sont totalement isotropes,iφ:E1→E?2est bijective, E

1etE2sont orthogonaux `aE3etqrestreinte `aE3est d´efinie.

Corollaire 18SiK=R, et siqest non-d´eg´en´er´ee, la dimension des sous-espaces totalement

isotrope maximaux pourqestmin{r,s}, o`u(r,s)est la signature deq. SiK=C, la dimension des sous-espaces totalement isotropes est la partie enti`ere dedimE/2.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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