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Formes bilineaires, changement de

bases. Formes quadratiques,reductions

1 Forme bilineaire, changement de bases.

SoientEun espace vectoriel de dimensionn,'une forme bilineaire. On suppose donnee une baseBdeEdont les elements (de la base) sont noteesei. Soientv;w2E, on notera VetWles vecteurs colonnes des coordonneesi(resp.i) devetwdans la baseB. On noteApour la matrice ('(ei;ej). Alors on notera souvent< x;y >pour'(x;y). '(v;w) =tV AW

En eet

'(v;w) ='(X i iei;X j jej) =X i;j'(ei;ej)ij=X i;ja i;jij Denition 1.1.La forme bilineaire est dite symetrique si pour tous lesv;w2Eon a '(v;w) ='(w;v), antisymetrique si pour tousv;w2Eon a'(v;w) ='(w;v) Denition 1.2.La forme bilineaire est symetrique si sa matrice (dans une base quel- conque)Aest symetrique, c'est a dire queai;j=aj;ipour toutiet toutj. la forme est antisymetrique si sa matrice (dans une base quelconque)Aest antisymetrique, c'est a dire queai;j=aj;ipour toutiet toutj. Dans le cas antisymetrique cela implique en particulier que les termes diagonaux sont nuls. En fait pour toutvon a'(v;v) = 0. L'ensemble des formes bilineaires sur un espace vectorielEest un espace vectoriel de dimensionn2. Toute forme bilineaire peu s'ecrire de maniere unique comme somme d'une forme symetrique et d'une forme antisymetrique gr^ace a la formule suivante : '(v;w) ='(v;w) +'(w;v)2 +'(v;w)'(w;v)2 Le sous-espace vectoriel des formes symetriques est de dimension n(n+1)2 , celui des formes antisymetriques de dimension n(n1)2 Supposons maintenant que l'on passe d'une baseBa une baseB0deEet que la matrice de changement de base soitP. SoitA, resp.A0, la matrice de'dansB, resp.B0. Alors A

0=tPAP

2 Formes quadratiques, reduction de Gauss

SoitEun espace vectoriel et soit'une forme bilineaire symetrique surE. 1 Denition 2.1.la forme quadratiqueassociee a'est l'application deEdansRdonnee par Pv7!'(v;v).

On remarquera que l'on a la formule :

'(v;w) =(v+w)(v)(w)2

On dit que'est la forme polaire de .

On appellera plus generalement forme quadratique surEtoute application telle que l'application':EE!Rsoit une forme bilineaire symetrique. Evidemment siBest une base deEetAla matrice associee a'alors (v) =tV AV On montre que l'on peut trouver des bases ou la matrice de la forme quadratique est diagonale. Theoreme 2.2.Etant donnee une forme quadratiqueon peut trouver une baseBde Etelle que si on notexiles coordonnees dex2Edans cette base, alors (v) =X i=1;:::;ra ix2i ou lesaisont des reels non nuls. L'entierr, appele le rang de la forme quadratique est bien determine. La demonstration est donnee dans tous les manuels. On va seulement decrire le procede pratique. On part d'une base quelconqueB, on a donc (v) ='(v;v) =X i;ja i;jxixj=X ia i;ix2i+X i1 et on complete en un bin^ome : a

1;1(x21+1a

1;1x 1(X i>1a

1;ixi) +14a21;1(X

i>1a

1;ixi)2) =a1;1(x1+12a1;1x

1(X i>1a

1;ixi))2

On substitue ax1la variablex01=x1+12a1;1(P

i>1a1;ixi), on laisse xe les autres variables (on fait un changement de base dansEen fait) On se ramenedonc a a

1;1x02114a1;1(X

i>1a

1;ixi)2) +X

i>1;j>1a i;jxixj soit une forme du type x

021+q(x2;:::;xn)

On peut evidemment iterer.

Cependant il peut aussi se presenter le cas ou tous lesai;isont nuls. Dans ce cas on choisit deux indices telles queai;j6= 0. Il en existe sauf si la forme est nulle. Disons i= 1;j= 2. On commence par faire un changement de variables regroupant tous les termes pour lesquelsa1;j6= 0 eta2;j6= 0. Posons : 2 x

01=x1+1a

1;2(X i>2a

1;ixi)

x

02=x2+1a

1;2(X i>2a

2;ixi)

Si on fait le changement de variables qui laisse xe les autres variables la forme quadratique devient : a

1;2x01x02a1;2(1a

1;2(X i>2a

1;ixi))(1a

1;2(X i>2a

2;ixi)) +X

i>2;j>2a i;jxixj on obtient une expression du type x

01x02+q(x3;:::;;xn)

On pose alors

x"1=x01+x022 x"2=x01x022 ce changement de variables ramene au cas precedent.

3 Signature, theoreme de Sylvester

Theoreme 3.1.Etant donnee une forme quadratiqueon peut trouver une baseBde Etelle que si on notexiles coordonnees dex2Edans cette base, alors (v) =X i=1;:::;px 2iX i=1;:::;qx 2i+p avecp+q=r(rest le rang),(p;q)est appele la signature de la forme quadratique et est bien determinee. La demonstrattion procede comme suit. On suppose donnee deux decompositions (as- sociees a des coordonneesxietx0i) avec des signatures (p;q) et (p0;q0),p+q=p0+q0=r. On supposep > p0et on obtient une contradiction. Sur le sous-espacePdes vecteurs tels quexp+1==xn= 0, a l'exception du vecteur nul, la forme quadratique prend des valeurs strictement positives. Sur le sous-espaceP0des vecteurs tels que x

0p1==x0p0= 0, prend des valeurs strictement negatives ou nulles. Mais dim(P) =p,

dim(P0) =np0. La conditionp > p0implique queP\P0n'est pas reduit au vecteur nul. Il existe donc un vecteur pour lequel la forme quadratique prend une valeur strctement positive et une valeur negative ou nulle. Ce qui est impossible, doncp=p0.

4 Formes non degenerees, formes denies, produit

scalaire Une forme bilineaire symetrique'sur un espaceEest dite non degeneree si le seul vecteur v2Etel que'(v;w) = 0 pour toutw2Eest le vecteur nul. 3 Theoreme 4.1.L'ensemble des vecteursv2Etels que'(v;w) = 0pour toutw2Eest un sous-espace vectoriel appele le noyau de'. Soitdla dimension du noyau etrle rang de la forme alors d+r= dim(E) Une forme bilineaire symetrique'sur un espaceEest dite non degeneree si le seul vecteur v2Etel que'(v;w) = 0 pour toutw2Eest le vecteur nul, soit si son noyau est trivial. Une forme bilineaire symetrique'sur un espaceEest dite denie si le seul vecteurv2E tel que'(v;v) = 0 est le vecteur nul. On dit aussi que la forme quadratique est denie. Theoreme 4.2.Une forme quadratiquedenie, prend des valeurs toujours positives ou nulles, ou toujours negatives ou nulles. Selon le cas on dit qu'elle est denie positive ou denie negative. On le demontre en calculant (tv+ (1t)w v;w2E,t2[0;1]. Cette quantite est un polyn^ome de degre 2 entdont sait qu'il a au plus une racine (la seule valeur si elle existe detpour laquelletv+(1t)w= 0). Donc il garde un signe constant. Donc (v) et (w) ont m^eme signe ou sont nuls.

Theoreme 4.3.Une forme denie est non degeneree.

Denition 4.4.Un produit scalaire sur un espace vectorielEest la donnee d'une forme bilineaire'dont la forme quadratique associeeest denie positive. Le produit scalaire "standard"< v;w >=x1y1++xnyn(ou lesxiet lesyisont les coordonnees devetw) est evidemment le premier exemple. Si on considere l'espacePndes polyn^omes de degre inferieur ou egal anet que l'on denit < P;Q >=Z 1 0

P(t)Q(t)f(t)dt

avecfune fonction continue non nulle, prenant des valeurs positives ou nulles, cela denit un produit scalaire. 4quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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