[PDF] Sommes et produits BCPST 1.2. Lycée

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BCPST 1.2 Lycee Pierre de Fermat

Annee 2010-2011ToulouseFiche n

o2.2

Sommes et produitsExercice 1.

Ecrire les sommes suivantes en extension, puis calculer : 5 X k=2k ;4X k=1(k+ 1);3X k=02k ;2X k=0k(2k);2X k=2k ;3X k=02 k;3X k=02 3k;5X k=01

Exercice 2.(an)n2Nest une suite reelle donnee, etnest un entier naturel xe.Ecrire les sommes suivantes avec le symboleP(il y a plusieurs ecritures possibles!) :

1.

5 + 6 + 7 + 8,

2.

6 + 8 + 10,

3.a6+a8+a10,

4.

3 a1+ 3a2+ 3a3+ 3a4,

5.

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2,

6.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11,

7.

1 + 2 + 3 + :::+ (2n1) + 2n,

8.an+an1+an2+:::+a1+a0.

9. ( a1+ 1) + (a2+ 2) +:::+ (an+n) 10. ( a1+ 1) + (a2+ 1) +:::+ (an+ 1),

11.a10+a20+a30+a40+a50

12.na0+ (n1)a1+ (n2)a2+:::+ 2an2+ 1an1+ 0an.

Exercice 3.

Ecrire les produits suivants en extension et les calculer : 3 Y k=1k;123Y k=0k;30Y k=6(k17)5Y k=3(k2);2Y k=12k;10Y k=1kk+ 1:

Exercice 4.

Ecrire a l'aide de factorielles :

n Y i=1(2i);nY i=3(i2);nY i=1(n+ 5i);nY i=1(2i1);nY k=1(3k+ 1)(3k1):

Exercice 5.Calculer :

n Y k=02 k;nY k=0e n2;nY k=0e k2nY k=0exp 2k+p3 ;nY k=0exp (1)kn k ;nY k=1k+ 2k ;ln(4n)!(2n)! ;nY k=0(ek+3)3:

Exercice 6.Completer les egalites suivantes :

2009
X k=1k

6=1789X

:::n

6+:::X

:::j

6=2009X

p=1 pimpair(:::)6+2009X p=1 :::p

6=:::X

:::(2n+1)6+:::X :::(2n)6=:::X :::(3n)6+:::X :::(3n+1)6+:::X :::(3n+2)6: 2009
X k=1k

6=:::X

:::(3n)6+:::X :::(3n+ 1)6+:::X :::(3n+ 2)6;2nX k=1e n2=:::; exp n+2X k=1(2k+ 1) =:::Y :::e p: exp 2nX k=1(3 + 2k) = exp(:::) :::Y :::e k ; exp 2nX k=1(3 + 2k) = exp(:::) ; ln 2nY k=2k 2 =::::::X k=2ln(k) n

22n+(n+ 1)22n+ 1+(n+ 2)22n+ 2+:::+4n23n=:::X

k=:::k

2k+n=:::X

l=2n:::::: =:::X k=1:::::: =nX i=::::::::: ln (4n)!(2n)! = ln :::Y k=:::::: = 2:::X k=:::ln(k) ;2nX k=1(pk+p) =:::+2nX k=1pk=:::+2nX k=1 :::1[2]:::+2nX k=1 ::::::[2]:::: ln 3nY k=1 k0[3]k =:::X p=:::ln(3p) =:::ln3+:::X p=:::ln(p) = ln(3:::(:::!)) ;(4n)!(5n)!(2n1)!(3n+ 1)!=:::Y k=:::k:::Y k=:::k= 4nY k=3nk 2 n Y p=12p+ 1p =Q n p=1(2p)Qn p=1(2p+ 1)(:::)2=(2n+ 1)!::: ;2n+1Y p=1e p23p2=:::2n+1Y p=1e p2:::Y :::=1e

3i=:::exp(:::)exp(:::):

2n+1Y p=0e p= exp :::X = exp ;2n+1Y p=0e p=2n+1Y p=0 p0[2]e p2n+1Y p=0 p:::[2]e p=nY p=0e ::::::Y p=:::e 2p+1= nY p=0e p:::e:::=:::: Exercice 7. Sommes telescopiques.Soit (an)n2Nune suite reelle. Simplier : n X k=0(an+1an):(On pourra ecrire la somme en extension.) Exercice 8. Sommes telescopiques.Soient (un)n2Net (vn)n2Nles suites denies explicitement pour toutn2Npar u n=nX k=11k(k+ 1)etvn=nY k=1(e3k )1k+1: 1.

D emontrerq u'ilex isted euxr eelsaetbtels que

8k2N;1k(k+ 1)=ak

+bk+ 1: 2.

En d eduirel 'expressionsi mpliee

8n2N; un= 11n+ 1;

preciser la monotonie et la convergence de la suite (un)n2N. 3. En d eduirel amon otonieet l acon vergencede la s uite( vn)n2N.

Exercice 9.

1.

Soi tn2N. Calculer :nX

k=0 n k etnX k=0(1)kn k

2.O np ose

S=X 02`n n 2` etT=X

02`+1n

n 2`+ 1

DeterminerS+TetST.

3.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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