[PDF] Nombres complexes BCPST 1.2. Lycée

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BCPST 1.2 Lycee Pierre de Fermat

Annee 2010-2011ToulouseFiche n

o1 Nombres complexesExercice 1.On considere les nombres complexesa= 1 +ietb=p3i. a) D eterminerl af ormet rigonometriqued ea,b, et deab. b)

D eterminerl afor mealg ebriquede ab.

c)

E nd eduirel esv aleurse xactesd ecos

12 et de sin12 Exercice 2.Mettre sous forme algebrique, puis trigonometrique le nombre complexeZ=41 +ip3

CalculerZ3.

Exercice 3.Donner la forme trigonometrique des complexes suivants : a= (p3 + 3i)4b=1(22i)3c=(p3 +i)2(1 +i)3: Exercice 4.Resoudre dansRles equations suivantes :

1. tan

3x5 = tan x+45

2. cosxp3sinx= 1

3. sin2x= sinx4. 2cosx2sinx1 = 0

Exercice 5.Soit (a;b)2R2. Resoudre dansR2le systeme : (S) :(cosxcosy=a+b sinxsiny=ab: Exercice 6.Soitz2C. Montrer l'equivalence suivante : jzij=jz+ij ()z2R:

Interpreter geometriquement.

Exercice 7.

a) M ontrerq uep ourt outx2R, le nombre complexe1 +xi1xiest de module 1. b) Qu elsson tle sc omplexesd em odule1 q uip euvents' ecrires ousl afor me

1 +xi1xi, avecx2R?

Exercice 8.Montrer que, pour toutz2C,jRe(z)j+jIm(z)jp2 jzj jRe(z)j+jIm(z)j.

Exercice 9.Resoudre dansCle systemejz+ 1j= 1

jz1j= 1:Interpreter geometriquement. Exercice 10.Simplier, en fonction den1, les expressionsinet (1 +i)n. (On pourra judicieusement penser a utiliser laforme trigonometriquedes nombres complexes concernes). Exercice 11.Montrer que, pour tout entiern0, le nombre complexe (2+3i)n+(23i)nest un nombre entier. (Indication : on pourra developper par la formule du bin^ome). Exercice 12.Soient (z;z0)2C2. Montrer l'egalite suivante, appelee identite du parallelogramme : jz+z0j2+jzz0j2= 2(jzj2+jz0j2):

Interpreter geometriquement.

Exercice 13.Linearisercos6, (cos)4(sin), (cos)4(sin)2.

Reponse :

132
cos6+6cos4+15cos2+10 ;116

2sin()+3sin(3)+sin(5)

;132

2+cos(2)2cos(4)cos(6)

Indication : utiliser les formules d'Euler :cos=ei+ei2 et sin=eiei2i.Developper les puissances par la formule du bin^ome. Exercice 14.Soitx2R. Calculer les sommes suivantes : S=nX k=0 n k coskxetS0=nX k=0 n k sinkx:

Indication : on pourra calculerS+iS0.

Exercice 15.Montrer, pour tout (;n)2RNn f0;1g,

n1X k=0cos +2kn =n1X k=0sin +2kn = 0:

Exercice 16.Resoudre dansC:

1.z2=1 +ip3 2.z2= 77i3.z5= 1.

(On cherchera les solutions sous forme trigonometrique). Exercice 17.Resoudre dansCles equationsz2+z+ 1 = 0 etz22z+ 5 = 0.

Exercice 18.

Ecrire les complexesiet41 +ip3

sous forme trigonometrique, puis resoudre dansCles equations :z5=ietz6=41 +ip3 Exercice 19. Relations coecients/racines d'un trin^ome 1. O nc onsiderele sr acinesz1;z22Cdu trin^omeaz2+bz+c(a;b;c2C;a6= 0).

ExprimerS=z1+z2etP=z1z2en fonction dea;b;c.

2.

R esoudred ansC2les systemes suivants : (S1) :(

z

1+z2=i

z

1z2= 55iet (S2) :(

z

1+z2=i

z

1z2= 13i:

Exercices d

efis Exercice 20.Montrer que l'ensembleS=fn2Nj 9(a;b)2Z2;n=a2+b2gest stable par multiplication (i.e.le produit de deux elements deSappartient aS). Exercice 21.Soientu;vdeux nombres complexes de modules 1.

Montrer que si 2 +uvest de module 1, alorsuv=1.

Exercice 22.Calculer la longueur d'un c^ote d'un polyg^one regulier ansommets inscrit dans le cercle unite

(n3).

Indication : On pourra calculer les axes de deux sommets consecutifs bien choisis... et faire un dessin!

Corrections.

Correction n

o1. On considere les nombres complexesa= 1 +ietb=p3i. Determiner la forme trigonometrique dea,b, et deab. Determiner la forme algebrique deab. En deduire les valeurs exactes decos12 et desin12

Reponse : cos

12 =p3 + 1 2 p2 et sin12 =p312 p2 .Correction n o2. Mettre sous forme algebrique (formea+ib) puis trigonometrique (formerei) le nombre complexe :

Z=41 +ip3

puis calculerZ3. Z=1 +ip3. On factorise parjZjpour obtenir la forme trigonometrique :Z= 2(12 +ip3 2 ) = 2e2i3

Ainsi,Z3= 23(e2i3

)3= 8e2i= 8.Correction n o3. Donner la forme trigonometrique des complexes suivants : a= (p3 + 3i)4; b=1(22i)3; c=(p3 +i)2(1 +i)3: en factorisant par le module (icip12, encore egal a 2 p3), on obtient p3+3i= 2p3( 12 +ip3 2 ) = 2p3ei3

D'oua=

2p3ei3

4= 169ei43

=144ei43 .b=1(22i) 3 . Or1(22i)=2 + 2i8 =1 +i4 =p2 4 p2 2 +ip2 2 =p2 4 ei4 . D'oub= p2 4 ei4 3 =p2 32
e3i4 p3 +i= 2(p3 2 +i12 ) = 2ei6 donc (p3 +i)2= 4ei3

1 +i=p2ei4

donc (1 +i)3= 2p2ei34

Ainsi, par quotient,c=p2e5i12

:Correction n o4.Correction n o5. Soit(a;b)2R2. Resoudre dansR2le systeme :

S:cosxcosy=a+b(1)

sinxsiny=ab(2)

Le systeme est equivalent a :

cosxcosy+ sinxsiny= 2a(1) + (2) cosxcosysinxsiny= 2b(1)(2) Donc, en utilisant les formules de trigonometrie :

S()cos(xy) = 2a(1) + (2)

cos(x+y) = 2b(1)(2) On constate que sij2aj>1 ou sij2bj>1, alors le systeme n'a pas de solution. Ainsi :

1er cas :sia =2[12

;12 ] oub =2[12 ;12 l'ensemble des solutions est;.

2eme cas :sia2[12

;12 ] etb2[12 ;12 Il existeetdeux reels tels que 2a= coset 2b= cos. Ainsi,

S()cos(xy) = cos

cos(x+y) = cos()xy[2] ouxy [2] x+y[2] ouxy [2] Ainsi, le systeme (S) est equivalent a l'un des quatre systemes suivants : S

1:xy[2]

x+y[2]S2:xy [2] x+y[2]S3:xy[2] x+y [2]S4:xy [2] x+y [2]

Detaillons la resolution deS1:xy=+ 2k; k2Z;

x+y=+ 2k0; k02Z: en faisant la somme et la dierence de ces deux lignes, on obtient le systeme equivalent suivant : S

1()2x=++ 2(k+k0); k2Z; k02Z;

2y=+ 2(k0k); k2Z; k02Z:

On divise par 2 et on posen=k+k0etm=k0kk.netmprennent toutes les valeurs possible deZ. On obtient : S 1()8 :x=+2 +n; n2Z; y=2 +m; m2Z:()8 :x+2 y2

On fait de m^eme pourS2,S3etS4. On obtient :

S()8 :x+2 y2 []:ou8 :x+2 y+2 []:ou8 :x2 y2 []:ou8 :x2 y+2

L'ensemble des solutions est donc :

8>>>><

+2 +n;2 +m ;+2 +n;+2 +m ;(n;m)2Z22 +n;2 +m ;2 +n;+2 +m9 >>>;Correction n o6.Correction n o7.Correction n o8.

Montrer que, pour toutz2C,jRe(z)j+jIm(z)jp2

jzj jRe(z)j+jIm(z)j. L'inegalite de droite s'obtient par inegalite triangulaire en ecrivant :z= Re(z) +iIm(z). D'oujzj jRe(z)j+jiIm(z)j, puis le resultat.

L'inegalite de gauche est plus delicate.

Remarquons au brouillon qu'elle est equivalente a :(jRe(z)j+jIm(z)j)22jzj2, donc, en developpant le carre et en remplacantjzjpar sa denition :jRe(z)j2+ 2jRe(z)jjIm(z)j+jIm(z)j22(Im(z)2+ Re(z)2). C'est encore equivalent a0 jRe(z)j22jRe(z)jjIm(z)j+jIm(z)j2. Ceci est toujours vrai car c'est0 (jRe(z) jIm(z)j)2. Nous allons donc partir de cette inegalite. Nous savons que 0(jRe(z)jIm(z)j)2. Donc, en developpant : 0 jRe(z)j22jRe(z)jjIm(z)j+jIm(z)j2. D'ou 2jRe(z)jjIm(z)j jRe(z)j2+jIm(z)j2. AjoutonsjRe(z)j2+jIm(z)j2a chacun des membres de cette inegalite : 2jRe(z)jjIm(z)j+jRe(z)j2+jIm(z)j22(jRe(z)j2+jIm(z)j2). D'ou (jRe(z)j+jIm(z)j)22jzj2.

Puis, en appliquant la fonction racine carree qui est croissante surR+, et en remarquant quejRe(z)j+jIm(z)j

etjzjsont des quantites positives :jRe(z)j+jIm(z)j p2jzj. On en deduit la seconde inealite.Correction n

o12. Soient(z;z0)2C2. Montrer l'egalite suivante, appelee identite du parallelo- gramme : jz+z0j2+jzz0j2= 2(jzj2+jz0j2): Utilisons l'expression du module a l'aide des conjugues : jz+z0j2= (z+z0)(z+z0) =zz+zz

0+z0z+z0z

0.

De m^eme,jzz0j2= (zz0)(zz0) =zzzz

0z0z+z0z

0.

Ainsi,jz+z0j2+jzz0j2= 2(zz+z0z

0) = 2(jzj2+jz0j2).

Interpretation geometrique : la somme des carres des c^otes d'un parallelogramme est egale a la somme des

carres de ses diagonales.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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