[PDF] 1 Expérience aléatoire BCPST 1.2. Lycée

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BCPST 1.2Lycee Pierre de Fermat

Annee 2010-2011ToulouseChapitre 5

Espaces probablis

es finis1 Experience aleatoire

1.1 Denition

On designe parexperience aleatoiretoute experience dont le resultat est soumis au hasard. Toutes les issues

possibles sont connuesa priorimais l'experience peut conduire a des resultats dierents quand on la repete de la

m^eme maniere.

L'une des experiences aleatoires les plus simples est de lancer une piece de monnaie en l'air et d'observer sa face

visible lorsqu'elle retombe. Cette experience n'a que deux issues :pileouface. Generalement, nous tirons a pile

ou face pour departager deux adversaires car nous sommes convaincus d'avoir autant de chances de gagner que de

perdre. Mais que signie cette phrase? Lui donner un sens est justement l'objectif de la theorie des probabilites.

Parmi les experiences aleatoires, citons les jeux de hasard (loto, roulette du casino, le poker...) ou

bien encore des situations de la vie courante (le temps exact d'attente d'un metro n'est pas previsible...). Dans

l'esprit du joueur ou de l'usager des transports urbains naissent alors des questions du type : quelles sont mes

chances de gagner avec ces cartes? Vais-je attendre le metro moins de 5 minutes? La theorie des probabilites

permet de repondre a ces questions en quantiant ces chances de succes par un nombre reel compris entre 0 et 1.

1.2 Univers

La premiere etape dans l'etude d'une experience aleatoire en mathematiques consiste a preciser l'ensemble des

resultats possibles.

Denition 1.On appelleuniversassocie a une experience aleatoireEl'ensemble des tous les resultats possibles

(appeles aussieventualites) deE. Traditionnellement, l'univers est note

Cette annee, on se limitera aux experiences comportant un nombre nis d'eventualites et, dans la suite,

designera un ensemble ni non vide.

Exemple 2.

Experience 1On eectue un lancer de pile ou face :

=fP;Fg.

Experience 2On lance un de a6faces :

Experience 3On lance un de et on regarde la parite : Experience 4On lance deux des et on regarde la somme : Experience 5On lance trois fois un de successivement et on note les resultats obtenus : =J1;6K3. Experience 6On choisit au hasard5cartes dans un jeu de32cartes. est l'ensemble des parties a5elements de l'ensemble des32cartes. 1.3

Evenements

Lorsque l'on eectue une experience aleatoire, certains faits lies a l'experience peuvent se produire ou non : on les

appelleevenements. Denition 3.On appelleevenementassocie a une experience aleatoireEd'univers toute partie de

Exemple 4.

Experience 2On lance un de a6faces.

est l'evenementA=f2;4;6g. est l'evenementB=f6g. est l'evenementC= est l'evenementD= Denition 5.SoitEune experience aleatoire d'univers

L'ensemble vide?est appeleevenement impossible.

L'univers

est appeleevenement certain.

Les singletonsf!g,!2

, sont appelesevenements elementaires. L'ensemble des evenements associes a une experience d'univers est doncP( On pourra ainsi utiliser le langage de la theorie des ensembles a bon escient. Remarque 6.On confond souvent l'evenement en tant que partie de et saphrase descriptive(traduction en

francais), que l'on notera entre guillemets. On utilisera alors plut^ot le langage de la logique :Phrase descriptivePartie de

correspondanteABOn notera toutefois le vocabulaire specique aux probabilites suivant :

Denition 7.SoitEune experience aleatoire d'univers , etA;B2P( )deux evenements associes.

SiA\B=?, on dit queAetBsontincompatibles.

SiAB, on dit que l'evenementAimpliquel'evenementB.

Exemple 8.

Experience 2On lance un de a6faces. Avec les m^emes notations que dans l'exemple??:

BimpliqueC.

BetDsont incompatibles.

Denition 9.SoitEune experience aleatoire d'univers

On appellesysteme complet d'evenements de

toute famille d'evenements(A1;:::;Am)(m2N) veriant : les evenements sont deux a deux incompatibles :8i;j2J1;mK;(i6=j=)Ai\Aj=?) m[ i=1A i=

On note alors

=mG i=1A i.

Exemple 10.

Experience 2On lance un de a6faces. Alors

=J1;6K=AtD=f2;4;6g t f1;3;5g.

Experience 4On lance deux des a6faces. Alors

=J1;6K2. Les evenementsA=,B=et C=forment un systeme complet d'evenements.

2 Espaces probabilises nis

2.1 Espace probabilisable

Denition 11.Soit

un ensemble ni etP( )l'ensembles des parties de

Le couple(

;P( ))est appeleespace probabilisable (ni).

Remarque 12.P(

)verie plusieurs proprietes fondamentales, qui garantissent l'usage des notions ensemblistes usuelles : 2P(

8 A2P(

);A2P(

Sik>1est un entier etA1;:::;Ak2P(

), alorsk[ i=1A k2P(

2.2 Probabilite

Denition 13.Soit(

;P( ))un espace probabilisable ni.

On appelleprobabilite sur (

;P( ))ou simplementprobabilite sur , toute applicationP:P( )![0;1] satisfaisant : P( ) = 1,i.e.la probabilite de l'evenement certain est egale a1;

8 (A;B)2P(

A\B=?=)P(A[B) =P(A)+P(B)

,i.e.la probabilite de l'union de deux evenements incompatibles est egale a la somme des probabilites de ces deux evenements.

Le triplet(

;P( );P)est appeleespace probabilise ni, et pour toute partieA2P( ),P(A)est appeleeproba- bilite de l'evenementA.

On a alors :

Corollaire 14.Soit(

;P( );P)un espace probabilise ni, etA;B2P( )deux evenements. Alors :

P(A) = 1P(A);

P(?) = 0,i.e.la probabilite de l'evenement impossible vaut0;

SiAB, alorsP(A)6P(B).

P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B).

Demonstration.Laissee en exercice.La generalisation a la reunion denevenements (n>2) imite ce qu'on a fait a propos des ensembles nis :

Theoreme 15(Crible de Poincare).

Soit( ;P( );P)un espace probabilise ni. Sin>1et siA1,A2,...,Ansont des evenements, alorsP n[ i=1A i! =nX i=1P(Ai) X

16i X

16i + (1)n+1P n\ i=1A i! ;ou avec une autre ecriture : P n[ i=1A i! =nX k=10 (1)k+1X

16i1 k\ j=1A ij1 A1 A Remarque 16.Si les evenementsA1,A2,...,Ansont deux a deux incompatibles, on aP n[ i=1A i! =nX i=1P(Ai):

Exercice 17.

Formule du crible pourn= 3:

Formule du crible pourn= 4:

Exercice 18.On dispose de trois bo^tes numerotees de1a3et de cinq jetons numerotes de1a5. On range au

hasard les jetons dans les bo^tes. Quelle est la probabilite qu'aucune bo^te ne soit vide?

2.3 Probabilite et evenements elementaires

SiA2P(

) est un evenement, on peut toujours exprimerP(A) en fonction des probabilites des evenements elementaires.

Exemple 19.

Experience 2On lance un de a6faces. On a

=J1;6K.

AlorsP(A) =P(f2;4;6g) =P(f2g) +P(f4g) +P(f6g).

Plus generalement :

Proposition 20.Si

=f!1;:::;!ngest ni, et siPest une probabilite sur , alors :

8 k2J1;nK;P(f!ig)>0.

8 A2P(

);P(A) =X kj!k2AP(f!kg):

En particulier :nX

k=1P(f!kg) = 1.

Reciproquement :

Proposition 21.Si

=f!1;:::;!ngest ni, et sip1;:::;pnsont des reels positifs tels quenP k=1p k= 1, alors il existe une et une seule probabilitePsur telle queP(f!kg) =pkpour toutk2J1;nK.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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