[PDF] Dénombrement BCPST 1.2. Lycée

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BCPST 1.2 Lycee Pierre de Fermat

Annee 2010-2011ToulouseFiche n

o4 D

enombrementExercice 1.Un enfant dispose de 7 crayons de couleurs dierentes et doit colorier un dessin compose de 5

zones numerotees de 1 a 5. 1. Com bieny a t -ild em anieresd ec olorierl ed essin? 2.

Com bieny a t -ild em anieresd ec olorierl ede ssind es orteq uec haquezon eai tu necou leurdi erente

des autres? Exercice 2.Une urne contient 20 boules numerotees de 1 a 20. 1. O nt ire,su ccessivement,et s ansre mise,8 b oulesd ecet teur ne. (a)

Com bieny a t- ild et irages?

(b) C ombieny a t -ild et iragesc ommencantpar l ab oulen umero1 ? (c) Com bieny a t -ilde t iragesse t erminantp arla b oule20 ? (d) C ombieny a t -ild et iragesc ommencantpar l ab oule1 e tse t erminantpar l ab oule20 ? (e) Com bieny a t -ilde t iragesco mmencantp ar20 ;19;18;17? (f) C ombieny a t -ild et iragesn ec omportantq uede sb oulesp aires? (g) Com bieny a t- ild et iragescomp ortantl ab oulen umero1 ? (h) C ombieny a t -ild et iragesn ec omportantpas l ab oulen umero1 ? 2.

M ^emesq uestionsp ouru nt iragea vecre mise.

Exercice 3.On preleve 5 cartes d'un jeu de 32 cartes. 1.

Com bieny a t -ild em ainsdi erentes?

2. Com bieny a t -ild em ainscon tenantl er oide co eur? 3. Com bieny a t -ild em ainscon tenantl er oide co euret l ad amed ec oeur? 4. Com bieny a t -ild em ainscon tenantex actementu nr oi? 5. Com bieny a t -ild em ainsne con tenantau cunr oi? 6. Com bieny a t -ild em ainscon tenantau moi nsun r oi? 7. Com bieny a t -ild em ainsne con tenantq ued esc oeurs? 8. Com bieny a t -ild em ainscon tenantex actement2 c oeurs? 9. Com bieny a t -ild em ainscon tenantau moi ns2 co eurs? 10. Com bieny a t- ild em ainsne con tenantau cunc oeur?

Exercice 4.Pour sortir, Monsieur Dupont choisit une paire de chaussures (noires ou marron), un pantalon

(bleu, beige, ou rouge), une veste (en velour ou en toile) et un chapeau (de feutre ou en cuir). 1. Com biende t enuesd ierentesmon sieurD upontp eut-ilc hoisir? 2. Q uandM onsieurD upontsor ta vecMad ameD upont,i le stex cluq u'ilp ortele sc haussuresmar rona vec le pantalon rouge. Combien de tenues dierentes Monsieur peut-il alors porter?

Exercice 5.

1. O nc onsiderenpaires de chaussettes que l'on veut ranger dansrtiroirs numerotes de 1 ar.

Quel est le nombre de repartitions possibles, sachant qu'on ne dissocie pas les deux chaussettes d'une

paire, et que chaque tiroir a la capacite de contenir toutes les chaussettes? 2.

D ansce tteq uestion,n= 8 etr= 4.

(a) Q uele stl en ombred er epartitionsp ourl esquellesl et iroir1 es tv ide? (b) Q ueles tl en ombrede r epartitionsp ourl esquellesl est iroirs1 e t2 son tvi des? (c) Q ueles tle nom bred er epartitionsp ourl esquellesl est iroirs1, 2 et 3 s ontv ides? (d) Q uele stl en ombred er epartitionsp ourle squellesauc unt iroirn 'estvi de?O np ourrau tiliserl a formule du crible de Poincare, en posantAil'ensemble des repartitions pour lesquelles le tiroiri est vide (quel est alors le cardinal a calculer?).

Exercice 6.

1. Com bieny a t -ild ef aconsd ep lacerh uitp ersonnesc^ ote ac^ otes uru ner angeed eh uitc haises? 2.

Com bieny a t- ild ef aconsde pl acerh uitp ersonnesaut ourd' unet abler ondeen ne s' occupantq ued e

leur position relative? 3. Com bieny a t -ilde fa consde pl acerq uatrehom mese tqu atrefe mmesau tourd' unet abler ondee n respectant l'alternance 1 homme-1 femme, et en ne s'occupant que de leur position relative? Exercice 7.Soientm;n2N. Combien y a t-il d'applications strictement croissantes deJ1;nKdansJ1;mK?

Exercice 8.SoitEun ensemble ni de cardinaln.

Combien existe t-il de couples (A;B) de parties deEtels queAB? Exercice 9.Un ensemble contient 9 consonnes et 6 voyelles toutes deux a deux distinctes.

Combien peut-on former de mots de 7 lettres deux a deux distinctes prises dans cet ensemble, comportant

4 consonnes et 3 voyelles?

Exercice 10.SoitEun ensemble de cardinaln+ 1, (avecn2N) et soitp2Ntel que 0pn. Soit x

0un element deE. En remarquant que l'ensemble des parties apelements deEest la reunion disjointe

de l'ensemble des parties apelements deEcontenantx0et de l'ensemble des parties apelements deEne contenant pasx0, retrouver la relation de Pascal :n+ 1 p+ 1 =n p+ 1 +n p Exercice 11.Soitn2N. Determiner le nombre de solutions (x;y;z)2N3de l'equation :x+y+z=n.

Reponse :

(n+1)(n+2)2 Exercice 12.Soitnetpdeux entiers non nuls. Soienta1, ...,apdes entiers tels quepX i=1a i=n:

Calculer le nombre d'applications deJ1;nKdansJ1;pKtelles que toutideJ1;pKait exactementaiantecedents.

Reponse :

n a 1 na1 a 2 n(a1++ap) a p =n!a

1!a2!ap!.

Exercice 13. Une autre preuve de l'egaliteCardP(E) = 2CardE.

SoitEun ensemble ni de cardinaln.

Pourk2J0;nK, on notePk(E) l'ensemble des parties deEde cardinalk. 1.

Q uele stl ec ardinald ePk(E)?

2. M ontrerq ueP(E) est la reunion disjointe desPk(E). 3. En u tilisantl afor muled ub in^omed eNe wton,c onclureq uantau car dinalde P(E).

Exercice 14.

Ecrire la formule du crible pour 4 ensembles.

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