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Travaux dirigés feuille 1 : intégrales de Riemann
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Intégrale de Riemann Sommes de Riemann 1) 2) π 3) Exercice 8
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Pascal Lainé Intégrales généralisées. Suites et séries numériques
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Intégrale de Riemann - Théorie et pratique avec exercices corrigés
1 févr. 2014 1.3 Propriétés générales de l'intégrale de Riemann . ... Tous les exercices et problèmes proposés sont corrigés en détail et nous.
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Intégrales Généralisées
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Exercice 1 En utilisant la définition d'une fonction intégrable au sens de Riemann montrer les propriétés suivantes : 1 Si f et g sont Riemann-intégrables
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EXERCICES SUR L'INTEGRALE DE RIEMANN 1 a) Si f est une fonction en escalier montrez que f est aussi en escalier b) Si f et g sont en escalier
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Intégrale de Riemann
1 Rappel
Soientfune fonction bornée ets=fa0=a2 Propriétés de l"intégrale de Riemann
Exercice 1En utilisant la définition d"une fonction intégrable au sens de Riemann, montrer les propriétés suivantes :
1. Si fetgsont Riemann-intégrables sur[a;b], alorsf+gest Riemann-intégrable sur[a;b]. 2. Si fest Riemann-intégrable sur[a;b]etl2R, alorslfest Riemann-intégrable sur[a;b]. 3. Si fetgsont deux fonctions Riemann-intégrables sur[a;b]telles que, pour toutt2[a;b],f(t)6g(t), alorsRb af(t)dt6Rb ag(t)dt. 4. Une limite uniforme de fonctions Riemann-intégrables sur [a;b]est Riemann-intégrable sur[a;b]. Exercice 2Montrer qu"une fonctionmonotonesur[a;b]est Riemann-intégrable sur[a;b]. Montrer qu"une fonctioncontinuesur[a;b]est Riemann-intégrable sur[a;b]. 11.Montrer que la fonction f:[0;1]!Rdéfinie par :
f(x) =1 six2Q0 six2RnQ
n"est pas Riemann-intégrable sur[0;1]. 2.Montrer que la fonction g:[0;1]!Rdéfinie par :
g(x) = 1q six=pq avecpetqpremiers entre eux0 six2RnQoux=0
est Riemann-intégrable sur[0;1]. On dit qu"une partieAdeRestnégligeablesi, pour tout nombre réele>0, il existe une suite(In)n2N d"intervallesIn=]an;bn[telle que : A[ n2NI netå n2N(bnan)6e: 1. Montrer qu"une réunion dénombrable d"ensembles négligeables est un ensemble négligeable. 2.Montrer qu"une fonction bornée f:[a;b]!Rest intégrable au sens de Riemann sur[a;b]si et seulement
si l"ensemble des points oùfn"est pas continue estnégligeable.Exercice 6Pour toutn2N, on définitfn:]0;1]!Rpar :fn(x)=nenx. Montrer que la suite(fn)n2Rconverge simplement
vers une fonctionfsur]0;1]mais que Z 10limn!+¥fn(x)dx6=limn!+¥Z
10fn(x)dx:
Vérifier que la convergence de(fn)n2Nversfn"est pasuniformesur]0;1]. Exercice 7Montrer que, sif:[a;b]!Rest une fonction intégrable au sens de Riemann, on a : 1baZ b af(t)dt=limn!+¥1n nå k=1f a+kbanEn déduire les limites suivantes :
a)limn!+¥1n nå k=1tankn b)limn!+¥nå k=1nn2+k2c)limn!+¥nå
k=1lognn+k 1n 21.Montrer que si f:[a;b]!Rest Riemann-intégrable, alors
Z b af(x)dx=Z b af(a+bx)dx: 2. Calculer (en utilisant 1.) les intégrales sui vantes: a)Z p0xsinx1+cos2xdx b)Z
p40log(1+tanx)dx:
Rappel :tan(ab) =tan(a)tan(b)1+tan(a)tan(b)
Correction del"exer cice1 N1.Soit e>0 donné. Puisquefest Riemann-intégrable sur[a;b], il existe une subdivisions1=fa0=
afa0;:::;an;b0;:::;bngpar ordre croissant, puis en identifiant les points qui apparaissent plusieurs fois
(on obtient une subdivision de[a;b]enqintervalles avecmaxfn;pg6q6n+p). Puisques1[s2est une subdivisionplus fineques1, on a :S s1[s2f6S s1fetSs 1f6Ss1[s2f:(1)
De même,S
s1[s2g6S s2getSs 2g6Ss1[s2g:(2)
De plus, sur un intervalle]ck1;ck[donné, on a : +supfg(x);x2]ck1;ck[g:De même :
+inffg(x);x2]ck1;ck[g:On en déduit que :S
s1[s2f+g6S s1[s2f+S s1[s2g;(3) et Ss1[s2f+Ss
1[s2g6Ss
1[s2f+g:(4)
En utilisant les inégalités (
1 2 3 ) et ( 4 ), il vient alors :S s1[s2f+g6S s1f+S s2g6Ss 1f+Ss2g+e6Ss
1[s2f+g+e:
D"après le théorème rappelé en introduction, on en déduit quef+gest Riemann-intégrable sur[a;b]. De
plus, de l"inégalité Ss 1f+Ss 2g6Ss1[s2f+g;
on déduit que sup s 1;s2 Ss 1f+Ss 2g 6sup s1;s2Ss
1[s2f+g:
Or sup s 1;s2 Ss 1f+Ss 2g =sup s 1Ss1f+sup
s 2Ss 2g=Z b af(x)dx+Z b ag(x)dx et sup s1;s2Ss
1[s2f+g=sup
sSs f+g=Z b a(f(x)+g(x))dx: Ainsi Zb af(x)dx+Z b ag(x)dx6Z b a(f(x)+g(x))dx:De même, l"inégalitéS
s1[s2f+g6S s1f+S s2g implique Rb a(f(x)+g(x))dx6Rb af(x)dx+Rb ag(x)dx. Enconclusion,Rb a(f(x)+g(x))dx=Rb af(x)dx+Rb ag(x)dx. 42.Pourl=0 il n"y a rien a démontrer.
Sifest Riemann-intégrable sur[a;b]etl>0, alors pour tout subdivisions=fa0=a<En conclusion,lfest Riemann-intégrable etRb
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