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Intégration Pascal Lainé

1

Intégration

Exercice 1.

Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse On considère la fonction ݂ǣݔհݔ ܫ 1. Est une somme de Riemann associe à ݂ sur ܫ 2. Est une somme de Riemann associe à ݂ sur ܫ 3. Est une somme de Riemann associe à ݂ sur ܫ 4. Est une somme de Riemann associe à ݂ sur ܫ

Allez à : Correction exercice 1

Exercice 2.

Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse

7. Si une fonction ݂ est telle que pour tout ݔא

strictement négative.

Allez à : Correction exercice 2

Exercice 3.

Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse

Allez à : Correction exercice 3

Exercice 4.

Répondre par vrai ou faux en justifiant votre réponse

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2 1.

2. décroissante.

3.

Allez à : Correction exercice 4

Exercice 5.

escalier ߯

Allez à : Correction exercice 5

Exercice 6.

Soit ݂ la fonction indicatrice de Է.

On rappelle que tout intervalle ouvert non vide de Թ contient des rationnels et des irrationnels. Soit ݊ un

entier strictement positif. Pour ݅ൌ-ǡǥǡ݊, on pose ܽ

2. On considère les deux subdivisions pointées

On rappelle que

3. En déduire que ݂

Allez à : Correction exercice 6

Exercice 7.

1. Montrer que le produit de deux fonctions en escalier est une fonction en escalier.

2. La composée de deux fonctions en escalier est toujours une fonction en escalier. Est-ce vrai ou faux ?

(Justifier).

Allez à : Correction exercice 7

Exercice 8.

Montrer que si ݂ est intégrable, alors ȁ݂ȁ est également intégrable.

On rappelle le théorème

Intégration Pascal Lainé

3

Si pour tout ߳

g

Alors ݂ est Riemann-intégrable.

Allez à : Correction exercice 8

Exercice 9.

vers Թ.

Allez à : Correction exercice 9

Exercice 10.

Calculer la limite, si elle existe, des suites suivantes :

Allez à : Correction exercice 10

Exercice 11.

Calculer, si elle existe

Allez à : Correction exercice 11

Exercice 12.

Soit ܫ௡ൌ׬

1. Établir une relation de récurrence entre ܫ௡ et ܫ

2. Calculer ܫ

3. En déduire que

Allez à : Correction exercice 12

Exercice 13.

Soit ܫ௡ൌ׬

1. Établir une relation de récurrence entre ܫ௡ et ܫ

4. En déduire que ܫ௡ܫ׽

Intégration Pascal Lainé

4

5. Calculer ݊ܫ௡ܫ

6. Donner alors un équivalent simple de ܫ

Allez à : Correction exercice 13

Exercice 14.

Soit ܫ௡ൌ׬

2. Calculer ܫ௡൅ܫ

Allez à : Correction exercice 14

Exercice 15.

On pose pour tout ݊൒-

1. Calculer ܫ଴ et ܫ

2. Pour tout ݊൒ͳ trouver une relation entre ܫ௡ et ܫ௡ିଵ et pour tout ݊൒- en déduire une relation entre ܫ

et ܫ

3. Déterminer ܫ

Allez à : Correction exercice 15

Exercice 16.

Calculer par récurrence :

Allez à : Correction exercice 16

Exercice 17.

Calculer par récurrence :

Allez à : Correction exercice 17

Exercice 18.

Soit ݂ une fonction continue sur Թ, -ߨ

On pose

1. ݑൌെݐ calculer

3. Calculer

Allez à : Correction exercice 18

Exercice 19.

Soit ܨ

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5

1. -Lagrange montrer que pour tout ݐ൐- :

2. En déduire que pour tout ݔא

Puis

3. Calculer, pour tout ൐ͳǡ ܨ

4. En déduire que pour tout ݔ൐ͳ, ܨ

Allez à : Correction exercice 19

Exercice 20.

Première partie

Dans cette partie on ne cherchera pas à exprimer ݂ plus simple possible. 3. a) Montrer que pour tout ݐܫא On pourra utiliser la formule de Taylor Lagrange entre ͳ et ݐ. b)

Deuxième partie

2. Exprimer la fonction ݂

Allez à : Correction exercice 20

Exercice 21.

Soit ܨ

1. Montrer que ܨ

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6

4. En déduire que

5. Montrer que pour tout ݔא

6. En déduire la limite de ܨ

Allez à : Correction exercice 21

Exercice 22.

Soit ܨ

2. En déduire que ܨ est de classe ܥ

4. Montrer que ܨ

5. Déterminer les variations de ܨ

Allez à : Correction exercice 22

Exercice 23.

et on pose ߣൌ׬

1. Montrer que ܨ et ܩ sont de classe ܥଵ sur ܫ

2. Montrer que pour tout ݔܽ, ܫא൅ܩ

4. En déduire l'inégalité

Allez à : Correction exercice 23

Exercice 24.

1. Montrer que ݃ est dérivable.

2. Calculer ݃Ԣ et en déduire ݃.

Allez à : Correction exercice 24

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7

Exercice 25.

1. Montrer que

On pourra utiliser le changement de variable ݔൌଵ

2. En déduire la valeur de ܫ

Allez à : Correction exercice 25

Exercice 26.

a) bon changement de variable ».

Allez à : Correction exercice 26

Exercice 27.

1. Montrer que ݂ est définie, continue et dérivable sur Թ. On admettra que ݂ est impaire.

2. Calculer la dérivée de ݂ et en déduire les variations de ݂.

Et montrer que ଵ

3. Donner le développement limité de ݂

4. Encadrer ଵ

5. Montrer que -൑ଵ

௧ల, puis montrer que

6. Tracer sommairement le graphe de ݂ sur Թ.

Allez à : Correction exercice 27

Exercice 28.

Soit ܨ

1. Montrer que ܨ

2. ݑൌെݐ, étudier la parité de ܨ

3. Montrer que pour tout ݔ൐- :

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8

En déduire la limite de ܨ

4. Calculer la dérivée de ܨ et résoudre ܨ

Allez à : Correction exercice 28

Exercice 29.

Soit ܨ

1. Montrer que pour tout ݔ്-, ܨ

2. a) ݐאԹ il existe אܿ que : b) En déduire que pour tout ݐא c) Trouver un encadrement de ܨ et en déduire que ܨ

3. Pour tout ݔ്-, calculer la dérivée ܨԢ de ܨ. ܨ

4. Etudier les variations de ܨ

5. Montrer que pour tout ݐ൒ͳ, ௘ష೟

௧൑݁ି௧, en déduire une majoration de ܨ

En déduire la limite de ܨ

7. ܨ

Allez à : Correction exercice 29

Exercice 30.

3. Déterminer le signe de ܨ

Allez à : Correction exercice 30

Exercice 31.

Soient ܫൌ׬

଴ et ܫఌǡ௔ൌ׬

1. Calculer ׬

2. ݐൌξͳെݔ calculer ׬

3. :

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9

Où ܭ

4. Montrer que ܫ

5. Montrer que ܫ

6. ͳ, au voisinage de -, de ݔ՜ξͳെݔ :

7. Calculer ܫఌǡ௔. En déduire la valeur de ܫ

Allez à : Correction exercice 31

Exercice 32.

1.

Où אܽԹାכ

2.

Montrer que

On pourra poser

Et montrer que ces deux intégrales tendent vers -.

Allez à : Correction exercice 32

Exercice 33.

Soit la fonction réelle définie sur R par: ೣమ pour x non nul et pour tout entier naturel nN , soit un la fonction réelle définie par : ೣమ pour ݔ non nul

Première partie

1. Prouver que:

2. Montrer que ߮

Montrer que la dérivée ߮

x non nul

En déduire la relation

x réel (1)

3. Etudier les variations de ߮

d'inflexion éventuels.

Deuxième partie

Soit ݂ la fonction réelle définie sur Թ par:

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10

4. Montrer que ݂ est impaire.

5. Montrer que pour ݔ൐-, on a :

ೣమ (2)

6. En déduire que ݂ est continue sur Թ.

8. En utilisant (1), montrer que pour tout ݔ൒-, on a la relation:

଴ (3) ௫య lorsque ݔ tend vers -. (On pourra appliquer la règle de

En déduire le développement limité de

f

à l'ordre 3 en 0.

Allez à : Correction exercice 33

CORRECTIONS

Correction exercice 1.

Remarque :

Si ܽൌ-, ܾ

De plus

1. Cela ne semble pas être bon, vérifions le

Cette somme ne tend pas vers -݂ sur ܫ

2. Vu ainsi cela ne ressemble pas à la remarque préliminaire, pourtant, en utilisant le 1°), la somme est

équivalente à celle-ci-dessus diviser par ݊ et donc tend vers - somme de Riemann de ݂ sur ܫ -݊ partie égale 3.

Donc -σ௜

௡మ௡௜ୀଵ ݂ sur ܫ

Remarque :

On aurait aussi pu calculer la limite de -σ௜

4. Oui, voir la remarque préliminaire.

Allez à : Exercice 1

Correction exercice 2.

Intégration Pascal Lainé

11

1. Le résultat du cours est :

଴൒-, ce qui équivaut à െ׬ 2. 3. On fait le changement de variable ݑൌെݐ֞ݐൌെݑ֜

La première égalité est le changement de variable, la seconde vient du fait que ݂ est impair, la troisième

bornes et muette » (on peut lui donner

4. Prenons la fonction constante égale à -.

5. Prenons la fonction constante égale à ଷ

6. 7.

Car ݔ՜ݔଷ

8. ݔא

9. ݔא

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12

Cela ne marche pas. On va chercher un contre-exemple, cherchons un truc simple, la fonction constante

égale à ௬

négatif.

Allez à : Exercice 2

Correction exercice 3.

1.

Pour que ܨ

Le problème est en ଵ

Si ݔ tend vers ଵ

Lorsque ݔ tend vers ଵ

donc la limite ne peut pas être égale à ͳ. (on aurait pu faire le même raisonnement sur ቂ-ǡଵ

3. Soit ܨ

Ces fonctions ne sont même pas définies en -, donc certainement pas continues.

Allez à : Exercice 3

Correction exercice 4.

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13

Remarque :

pose un problème cela voudrait que toutes les fonctions continues sont de classes ܥ trouvons un contre-exemple. - sont différentes donc ܨ continue.

Allez à : Exercice 4

Correction exercice 5.

1. Car ȁ݂ᇱȁ est continue donc intégrable.

Par conséquent

Comme On a 2.

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14

Les valeurs de ߯

Et

Par conséquent

Car une somme finie de termes qui tendent vers - tend vers -.

3. Pour tout ߳൐-, il existe une fonction en escalier ߯

Comme Pour le ߳ choisit ci-dessus, il existe אܰԳ tel que pour tout ݊൐ܰ or Donc

Cela montre bien que

Allez à : Exercice 5

Correction exercice 6.

2. 3.

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15

Allez à : Exercice 6

Correction exercice 7.

Soient ݔ଴ǡݔଵǡǥǡݔ௡ିଵ et ݕ଴ǡݕଵǡǥǡݕ௠ିଵ

On définit deux fonctions en escalier

Et peu importe les valeurs de ݂ pour ݔൌܽ௜ et de ݃ pour ݔൌܾ

signifie que ܽ௜బܦב or ܽ௜బܦאଵܾܦؿ௝బ entre deux ܿ

donc

Mais ݂ ݔൌ-.

Allez à : Exercice 7

Correction exercice 8.

݂ est intégrable (donc bornée), pour tout ߳൐-, il existe une fonction en escalier ߯

Donc

Ce qui entraine que pour tout ߳

Ce qui montre que ȁ݂ȁ est intégrable.

Allez à : Exercice 8

Correction exercice 9.

Remarque :

Intégration Pascal Lainé

16 Une combinaison linéaire de fonctions continues et nulle en ܽ

Une combinaison linéaire de fonction en escalier est évidemment une fonction continues par morceaux

donc ࣟ଴ est un sous-des fonctions continues par morceaux sur ce qui justifie la question 1. part.

2. On appelle ܧ

Remarque :

sont de dimension infini.

On va montrer que toute fonction ݂ dans ܧ

Comme

On aura bien

Allez à : Exercice 9

Première partie

Soit

݄ est une fonction en escalier, ݄ܧא

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17

Pour ܿൌܽ ou ܿൌܾ

Allez à : Exercice 9

Deuxième partie

On considère maintenant une fonction discontinue en deux points ܿ Et ݄ ue ݂ൌ݃൅݄. Faire cela pour ݊ points de discontinuités me parait bien compliqué à écrire, alors je vais faire une récurrence

Allez à : Exercice 9

Troisième partie

Et ݂௜

Toutes ces fonctions sont continues par morceaux.

݂ଵ est une fonction continue par morceaux, avec un seul point de discontinuité en ܿ

une fonction continue par morceaux, ݂௞ାଵ est discontinue en ܿ௞ିଵ et en ܿ

݃௞൅݂௞ାଵ ݃௞ାଵ continue sur pplique à ݇ൌ݊൅ͳ

Intégration Pascal Lainé

18

Soit ܪ

Comme

On a bien

Allez à : Exercice 9

Correction exercice 10.

Remarque préliminaire, si ݂ est intégrable ଵା௫ donc

Dans cet exercice ݇ ne varie pas de - (ou ͳ) à ݊െͳ (ou ݊), il faut faire attention.

On pose ݇ᇱൌ݇െ݊֞

݇ᇱ en ݇.

Intégration Pascal Lainé

19

Dans cet exercice ݇ ne varie pas de - (ou ͳ) à ݊െͳ (ou ݊), il faut faire attention.

Allez à : Exercice 10

Première méthode :

௡ቁ dans la ௡ et la somme va de - (ou ͳ) à -݊െͳ (ou -݊ ௕ି௔ ௡ » devant la somme devient ௕ି௔

Allez à : Exercice 10

Deuxième méthode

forme de cette somme :

Le " ௕ି௔

௡ » devant la somme devient ௕ି௔

On fait le changement de variable.

Intégration Pascal Lainé

20 On décompose cette fraction en éléments simples

Une petite ruse permet de ne pas se fatiguer

Et enfin

Allez à : Exercice 10

Correction exercice 11.

Pour ݐא

technique.

Pour tout ߳

Dans la première intégrale on majore ݐ௡ par ቀͳെఢ ௡, ݁௧ par ݁ et au dénominateur on minore ݐ௡൅ͳ par ͳ.

Dans la seconde intégrale on majore ݐ௡ par ͳ, ݁௧ par ݁ et au dénominateur on minore ͳ൅ݐ௡ par ͳ

Ensuite on choisit ݊ telle que

Intégration Pascal Lainé

21
Ensuite on choisit אܰԳ telle que pour tout ݊൐ܰ

On reprend les majorations et pour tout ߳൐-, il existe ܰ, tel que pour tout ݊൐ܰ

Allez à : Exercice 11

Correction exercice 12.

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