[PDF] [PDF] EXERCICES SUR LINTEGRALE DE RIEMANN - F2School

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EXERCICES SUR L"INTEGRALE DE RIEMANN

1.a) Sifest une fonction en escalier, montrez que|f|est aussi en escalier.

b) Sifetgsont en escalier, montrer quef+getfgsont en escalier.

2.On rappelle les notations suivantes, valables pour toutes fonctions?etψ:

-max(?,ψ)est la fonction qui àxassociemax(?(x),ψ(x)), -min(?,ψ)est la fonction qui àxassociemin(?(x),ψ(x)), -?+= max(?,0)et?-= max(-?,0). a) Montrer que, pour tous réelsαetβ, l"on a max(α,β) =1

2(|α-β|+α+β),

et trouver une formule analogue pourmin(α,β). b) En déduire que sifetgsont en escalier (resp. intégrables), alorsmax(f,g),min(f,g),f+,f- sont en escalier (resp. intégrables).

3.On noteE(x)la partie entière du nombrex. Calculer, poura >0, l"intégralea

0

E(x)dx.

4.Soitfl"application de[0,1]dansRdéfinie parf(x) =x. Soitε >0. Construire deux

fonctions en escaliergetGde[0,1]dansR, telles que 0

5.Soitfune application en escalier de[a, b]dansR. On pose, pourxdans[a, b],

F(x) =x

a f(t)dt. a) Montrer queFest continue sur[a, b].

b) Soitcdans]a, b[. On suppose quelimx→c+f(x)?= limx→c-f(x). Montrer queFn"est pas dérivable

au pointc. 1 alorsb? a a g(x)dx.

7.SoientmetMdeux réels tels que0< m < M, et soitfune application intégrable de[a, b]

dans[m, M]. Montrer que1/fest intégrable sur[a, b].

8.Soitfune fonction bornée définie sur[a, b]à valeurs dansR, et continue sur]a, b].

Montrer quefest intégrable sur[a, b].

Plus généralement montrer qu"une fonction bornée définie sur[a, b]à valeurs dansRcontinue

sauf en un nombre fini de points est intégrable au sens de Riemann.

9.Montrer que le produit de deux fonctions Riemann-intégrables est Riemann-intégrable.

10.Soitfla fonction définie sur[0,1]par

0six= 0

oùE(u)désigne la partie entière deu. a) Montrer quefest intégrable sur[0,1]. b) Calculer 1 0 f(x)dxsachant quelimn→+∞n k=1(-1)k+1 k= ln2.

11.Soitfune application décroissante de[0,+∞[dansRqui tend vers zéro à l"infini. Cal-

culerlimn→+∞n 2? n f(t)eitdt.

12.Pour tout réelλ, et toute fonction Riemann-intégrablefde[a, b]dansRon pose

I(λ) =b

a f(x)eiλxdx. a) Sifest en escalier, montrer queI(λ)admet0pour limite lorsqueλtend vers+∞. b) En déduire le résultat dans le cas général (Théorème de Riemann-Lebesgue).

c) Sifest décroissante et positive, montrer que la fonction qui àλassocieλI(λ)est bornée au

voisinage de l"infini. 2 d) Montrer que ce dernier résultat est encore vrai sifest de classeC1.

13.Soitfune application intégrable de[a, b]dansC. Démontrer l"inégalité

?b a f(x)dx?????? a |f(x)|dx,(1) par la méthode suivante :

on montre tout d"abord (1) lorsquefest en escalier, puis on traite le cas général par passage à

la limite. 3

Corrigé

1.Sifest une fonction en escalier, et si(x0,x1,...,xn)est une subdivision adaptée àf, avec

f(x) =λipourxdans]xi-1, xi[, alors on a dans le même intervalle|f(x)|=|λi|, donc|f|est aussi en escalier.

Remarque : il en est de même pourφ◦f, lorsqueφest une application numérique définie sur

l"image def, puisque, pourxdans]xi-1, xi[, on aφ◦f(x) =φ(λi). Soientfetgdeux fonctions en escalier. Si(x0,x1,...,xn)est une subdivision adaptée àfet

(x?0,x?1,...,x?p)est une subdivision adaptée àg. L"ensemble formé des points de ces deux subdi-

visions donne une nouvelle subdivision(x??0,x??1,...,x??q)qui est une subdivision plus fine que les deux premières. (Remarque :x0=x?0=x??0, etxn=x?p=x??q).

Sur]x??i-1, x??i[, on a

f(x) =λietg(x) =μi, alors (f+g)(x) =λi+μiet (fg)(x) =λiμi, ce qui prouve que les fonctionsf+getfgsont en escalier.

2.a) Siα≥β, on a|α-β|=α-βet

1

2(|α-β|+α+β) =12((α-β) +α+β) =α= max(α,β).

1

2(|α-β|+α+β) =12((-α+β) +α+β) =β= max(α,β).

Puisque l"on amax(α,β) + min(α,β) =α+β, on en déduit min(α+β) =1

2(-|α-β|+α+β).

b) Sifetgsont en escalier (resp. intégrables), il en est de même def+gdef-g, puis de|f-g|, et donc, des combinaisons linéaires(|f-g|+f+g)/2et(-|f-g|+f+g)/2, c"est-à-dire de max(f,g)et demin(f,g). En particulier, puisque0est en escalier et intégrable, il en est de même demax(f,0)et de max(-f,0)c"est-à-dire def+etf-. Alors(0,1,...,n,a)est une subdivision adaptée à la fonctionE, et l"on a nsix?]n, a[. 4

On a donca?

0

E(x)dx=n?

i=1(i-1)(i-(i-1)) +n(a-n). Mais n? i=1(i-1)(i-(i-1)) =n? i=1(i-1), est la somme des entiers de0àn-1et vaut doncn(n-1)/2, donc a 0

E(x)dx=n(n-1)

2+n(a-n).

Que l"on peut écrire encore

a 0

E(x)dx=E(a)(E(a)-1)

2+ E(a)(a-E(a)).

4.Soitn >1/ε, et soitientre1etn. On pose, sixappartient à[(i-1)/n, i/n[

g(x) =i-1 netG(x) =in, avecg(1) =G(1) = 1. Alors dans[(i-1)/n, i/n[

Les inégalités précédantes sont donc vraies pour toutxde[0,1]. Par ailleurs dans[(i-1)/n, i/n[,

on a

G(x)-g(x) =1

n.

Alors on obtient

1 0 (G(x)-g(x))dx=n? i=11 n? in-i-1n? =n? i=11n2=1n< ε. (L"intégrale est l"aire dencarrés de côté de longueur1/n).

5.Si(x0,x1,...,xn)est une subdivision adaptée àfet sif(x) =λisur]xi-1, xi[, on a, pour

xdans[xp-1, xp[,

F(x) =x

0 f(t)dt=p-1? i=1λ i(xi-xi-1) +λp(x-xp-1), et sixse trouve dans[xp, xp+1[,

F(x) =x

0 f(t)dt=p? i=1λ i(xi-xi-1) +λp+1(x-xp). 5 on a lim x→x-pF(x) = lim x→x-p? p-1? i=1λ i(xi-xi-1) +λp(x-xp-1)? =p? i=1λ i(xi-xi-1) =F(xp), et lim x→x+pF(x) = lim x→x+p? p? i=1λ i(xi-xi-1) +λp+1(x-xp)? =p? i=1λ i(xi-xi-1). (sip=netp= 0une seule des limites existe). La fonctionFest continue enxp. Elle est donc continue sur[a, b]. b) En dérivant, on trouve pourxdans]xp-1, xp[, F ?(x) =λp=f(x).

Au pointc=xp, la fonctionF?possède des limites à droite et à gauche distinctes, et il en résulte

queFn"est pas dérivable enc.

6.Siφest une fonction en escalier minorantfelle minore aussig, donc l"ensemble des fonctions

en escalier minorantfest inclus dans l"ensemble des fonctions en escalier minorantg. Il en résulte

que I -(f) = sup

φ?E( [a, b] )

φ?E( [a, b] )

Mais puisque les fonctionsfetgsont Riemann-intégrables, leurs intégrales sont égales à leurs

intégrales inférieures, et donc b a a g(x)dx. b a (G(x)-g(x))dx < m2ε. PosonsG1= min(G,M), etg1= max(g,m). Ce sont encore des fonctions en escalier (ex 2). G et donc b? a a (G(x)-g(x))dx.

D"autre part,

6 - siG(x)≥M, on aG1(x) =M≥f(x),

Alors1/G1et1/f1sont aussi en escalier, et

1

D"autre part

1 donc b? a? 1 g1(x)-1G1(x)? a (G1(x)-g1(x))dx < ε.

Il en résulte que1/fest intégrable.

8.Soitαdans]a, b[, etε >0. Par hypothèse, il existeMetm(que l"on peut supposer

b (G(x)-g(x))dx <ε 2. On définit alors deux fonctions en escalier sur[a, b]en posant G

1(x) =?G(x) six?[α, b]

Msix?[a, α[etg1(x) =?g(x) six?[α, b]

msix?[a, α[ b a (G(x)-g(x))dx=α a (G(x)-g(x))dx+b 2. Il suffit d"avoir choisiαtel quea < α < a+ε

2(M-m), pour que

b a (G(x)-g(x))dx < ε.

Il en résulte quefest Riemann-intégrable.

La démonstration est la même si la continuité a lieu sur[a, b[. Dans le cas général, on peut

écrire l"intervalle comme réunion d"un nombre fini d"intervalles fermés, oùfn"a une discontinuité

7 qu"en une des deux bornes. On a donc une subdivisiona=a0< a1<···< an=b, etfest a i? a i-1(Gi(x)-gi(x))dx <ε n. On définitGetgen posant respectivementG(x) =Gi(x)etg(x) =gi(x)sixappartient à b a (G(x)-g(x))dx=n? i=1a i? a i-1(Gi(x)-gi(x))dx < ε.

Il en résulte quefest Riemann-intégrable.

9.Soitfetgdéfinies sur[a, b]Riemann-intégrables et positives. En particulier les fonctions

existe des fonctions en escalier,fε,Fε,gε,Gε, telles que f avec b? a

M+Netb

a

Posons

ε= sup(0,fε), ψε= sup(0,gε),Φε= inf(M,Fε),Ψε= inf(N,Gε). Ce sont des fonctions en escalier et l"on a encore

Par ailleurs

donc on a aussi b a

M+Netb

a Les fonctionsφεψεetΦεΨεsont en escalier, et l"on a l"encadrement

Alors,

8 et donc

Finalement

b a a

ε-ψε)(x)dx+Nb

a

ε-φε)(x)dx,

ce qui donne enfin b a

M+N+NεM+N=ε.

Cela montre quefgest Riemann-intégrable.

Si maintenantfetgsont quelconques, on écrit

f=f+-f-etg=g+-g- où les notations sont celles de l"exercice 2. Les fonctionsf+,f-,g+,g-sont positives et Riemann- intégrables. Alors fg=f+g++f-g--f+g--f-g+, est une combinaison linéaire de fonctions Riemann-intégrables donc l"est également.

10.Sur]0,1]la fonction qui àxassocieE(1/x)possède des discontinuités uniquement aux

Pour tout entiern >0notonsfnetFnles fonctions définies sur[0,1]par f [0,1/n[et0sur[1/n,1], donc 1 0 (Fn(x)-fn(x))dx=2 n.

Alors, dès quen≥2/ε, on a

1? 0 et ceci montre quefest Riemann-intégrable. De plus 1 0 f 0 0 F n(x)dx. 9 1 Âćela permet de calculer l"intégraleInsuivante : I n=1

1/nf(x)dx=n-1?

k=11/k?

1/(k+1)f(x)dx=n-1?

k=1(-1)k?1 k-1k+ 1?

Transformons cette somme

I n=n-1? k=1? (-1)k k+(-1)k+1k+ 1? n-1? k=1(-1)k k+n-1? k=1(-1)k+1k+ 1 n-1? k=1(-1)k k+n? k=2(-1)kk = 2 n? k=1(-1)k k+ 1-(-1)nn.

On a donc

I n=-2n? k=1(-1)k+1 k+ 1 +(-1)n+1n, et la suite(In)converge vers-2ln2 + 1. Alors 1 0 f n(x)dx=In-1 net1 0 F n(x)dx=In+1n, et ces deux expressions ont pour limite-2ln2 + 1. De plus 0 0 (Fn(x)-fn(x))dx=2 n. Il résulte alors du théorème d"encadrement que lim n→+∞1 0 (f(x)-fn(x))dx= 0, d"où l"on déduit que 1? 0 f(x)dx= limn→+∞1 0 f n(x)dx=-2ln2 + 1.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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