[PDF] Chapitre 24 SOMMES DE RIEMANN Enoncé des exercices

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Chapitre 24

SOMMES DE RIEMANN

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 24.1Soit(un)n?N?la suite définie par

u n= n? k=1 n n2+k2

Déterminer sa limite.

Exercice 24.2Déterminerlimn→+∞2n-1

k=n 1 n+k.

Exercice 24.3Calculer la limite deun=1n2n

k=1 ?n2+k2?1 n.

Exercice 24.4Déterminer la limite deun=

n ?(2n)! n!nn.

Exercice 24.5Déterminer la limite deun=1n

n-1? k=0 k⎷4n2-k2.

2Les techniques

Exercice 24.6Déterminer la limite deun=

2n? k=1 k n2+k2.

Exercice 24.7Soitx?R?{-1,1},on posef(x) =?

2π 0 ln?x2-2xcost+ 1?dt.

1. DéterminerDf.

2. Factoriser surCle polynômeX

n-1.

3. Calculerf(x)à l"aide de ses sommes de Riemann.

Exercice 24.8Soit

u n= n? k=1

1?(k+n)(k+ 1 +n)

déterminer la limite de(u n)n?N.(Indication : il y a un1de trop! ).

3. LES EXOTIQUESCHAPITRE 24. SOMMES DE RIEMANN

Exercice 24.9SoitSn=

n? k=1 1 n+ketUn= n? k=1 (-1)k-1 k

1. Nature et limite de la suite(S

n)n.

2. Nature et limite de la suite(U

n)n. (On pourra comparerU2netSn) Exercice 24.10Soitfcontinue sur[0,1],déterminer la limite de1n n? k=0 (n-k)? k+1 n k n f(x)dx.

Exercice 24.11

1. Montrer que pourx??0,π

2 ?,on ax-x3

2. Déterminer la limite de la suiteu

n= n? k=1 sin?kn? sin?kn2

Exercice 24.12Déterminerlimn→∞an

?1 0 x2nsin?πx2? dxoùan= n? k=1 sin?πk2n? Exercice 24.13(D"après Mines Douai 2009). On définitfet?surR2[X]parf:P?-→12? P?X2? +P?X+ 12?? et?:P?-→P(1).

1. Vérifier quef? L(R

2[X])et que?? L(R2[X],R).

2. Montrer que?P?R

2[X],?n?N?, fn(P) =12n2

n-1? k=0

P?X+k2n

3. En déduire que?(f

n(P))-----→n→+∞ ?1 0

P(t)dt.

3Les exotiques

Exercice 24.14Déterminer la limite deun=n-12?

1+1n??112233···nn?1

n2. Exercice 24.15On désire déterminer la limite de S n= n? k=1 n-k n2+nk+ 2009

1. S"agit-il d"une somme de Riemann?

2. Simplifier

1

1 +kn-

2009n2

1 +k n??

1 +kn+2009n2

3. Conclure.

-2/??-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 24. SOMMES DE RIEMANN4. LE GRENIER

4Le grenier

Exercice 24.16Déterminer pourx?= 0,limn→+∞n k=1 n n2+k2x2 rép : on a n? k=1 n n2+k2x2=1n n? k=1 n 1 +x2 ?k n?

2est une somme de Riemann pourf(t) =11 +x2t2. La somme converge

vers 1 0 f(t)dt=arctanxx.

Exercice 24.17Calculer la limite de1⎷n2+ 8n+1⎷n2+ 16n+1⎷n2+ 24n+···+1⎷9n2

rép : c"est n? k=1

1⎷n2+ 8knqui est une somme de Riemann, converge vers?

1

0dx⎷1 + 8x=12

Exercice 24.18Déterminerlimn→∞n

k=1 1 +? k(n-k) n2

Réponse

: On va utiliser l"inégalité suivante,?x >0, x-x 2 la formule de Taylor-Lagrange. NotonsΠ nle produit à étudier etun= ln(Πn). Alors on a n? k=1 ?k(n-k) n2-12n2n k=1 k(n-k) n? k=1 ?k(n-k) n2 mais n? k=1 ⎷k(n-k) n2=1 nn k=1f?k n ?oùf(x) =?x(1-x)est une somme de Riemman qui converge vers?1

0?x(1-x)dx

et n? k=1k(n-k)n2=1 nn k=1g?k n ?oùg(x) =x(1-x)est une somme de Riemman qui converge. Par encadrement, on en déduit que(u n)nconverge vers?1

0?x(1-x)dx. La valeur de cette intégrale est l"aire du demi disque de centre?0,1

2 et de rayon 1 2. lim n→∞n k=1 1 +? k(n-k) n2 =e 8 -3/??-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

4. LE GRENIERCHAPITRE 24. SOMMES DE RIEMANN

-4/??-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

Chapitre 24

MATRICES

Solution des exercices

1Les basiques

Exercice 24.1On a

u n= n? k=1 n n2+k2= n? k=1 1 n11 +k 2 n2 =1n n? k=1 1 1 +k 2 n2

on a donc une somme de Riemann pour la fonction continue sur[0,1]définine parf(x) =11 +x2,on sait queun

converge alors vers? 1 0 f(x)dx=? 1 01

1 +x2dx= [arctanx]1

0=π4

Exercice 24.2Un changement d"indice donne

2n-1? k=n 1 n+k=j=k-nn-1 j=0 1 j+ 2n=1n n-1? j=0 1 2 +jn qui est une somme de Riemann pour la fonction continuef(x) =1

2 +xsur[0,1], ainsi

2n-1? k=n 1 n+k-----→n→+∞ ?1 0dx

2 +x= ln32

Remarque :

1 n n-1? j=0 1

2 +jnest aussi une somme de Riemann de la fonctiong(x) =1

xsur l"intervalle[2,3]car de la forme 3-2 n j-1? j=0 1

2 +k(3-2)n. On a bien

?3 2dt t= ln32

Exercice 24.3On aun>0et

lnu n=-2lnn+1n n? k=1 ln?n2+k2?=-2lnn+1 n n? k=1 ln? n2? 1 +k2 n2 =-2lnn+1 n n? k=1

2lnn+ ln?

1 +k2 n2 =-2lnn+ 2lnn+1 n n? k=1 ln? 1 +k 2 n2

2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 24. MATRICES

est une somme de Riemann à pour la fonction continuef(x) = ln?1 +x2?entre0et1. Ainsi lnu n-----→n→+∞ ?1 0 ln?1 +x2?dx

On intègre par parties (on dériveln?1 +x

2?) pour obtenir,

1 0 ln?1 +x2?dx= ln2-?1 02x2 x2+ 1dx= ln2-? 1

02?x2+ 1-1?

x2+ 1dx 1

2π+ ln2-2

d"où u n-----→n→+∞2e 2-2

Exercice 24.4On aun=?(2n)!n!nn

?1 n=?lnun=1n(ln(2n)!-lnn!-nlnn). Or ln(2n!) = 2n? k=1 lnketlnn! = n? k=1 lnk nlnn= 2n? k=n+1 lnn d"où lnu n=1n 2n? k=n+1 lnkn=j=k-n 1 n n? j=1 ln?n+jn? =1n n? j=1 ln?

1 +jn?

-----→n→+∞ ?1 0 ln(1 +x)dx= 2ln2-1 d"où u n-----→n→+∞ 4 e

Exercice 24.5On aun=1n

n-1? k=0 k n?

4-?kn?

2-----→n→+∞

?1

0xdx⎷4-x2=?-⎷4-x2?1

0= 2-⎷3

2Les techniques

Exercice 24.6On aun=1n

2n? k=1 k n

1 +?kn?

2,il ne s"agit pas d"une somme de Riemann! En revanche, si on considère

la somme v p=2p p? k=1 2k p

1 +?2kp?

2=b-ap

p? k=0 f?k(b-a)p? où b= 2,a= 0,f(t) =x 1 +x2 Alors v p-----→p→+∞ ?2 0x

1 +x2dx=12ln5

-6/??-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 24. MATRICES2. LES TECHNIQUES

Donc u n=v2n-----→n→+∞ 1 2ln5 Exercice 24.71. On ax2-2xcost+1 = (x-cost)2+1-cos2t= (x-cost)2+sin2t≥0. De plusx2-2xcost+1 =

0???x= cost

sin

2t= 0???x=±1

t= 0 (π)ce qui est exclus par hypothèse.

On en déduit que la fonctionln?x

2-2xcost+ 1?est définie et continue sur[0,2π].AinsiDf=R?{-1,1}.

2. On aX

n-1 = n-1? k=0

X-e2ikπ

n

3. Calculerf(x)à l"aide de ses sommes de Riemann.

La somme de Riemann à gauche defest

S n=2πn n-1? k=0 ln? x2-2xcos?2kπn? + 1?quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

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