[PDF] Correction 1 ( 4 points ) On considère la suite (un) définie par u0 = 0

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TS. Évaluation 1 -Correction|

1( 4 points )On considère la suite(un)définie par u0AE0et, pour tout entier naturel n,unÅ1AEunÅ2nÅ2.

1.Calculer u1et u2.

u

1AEu0Å2£0Å2AE2 etu2AEu1Å2£1Å2AE62.On considère les deux algorithmes suivants :Algorithme 1Algorithme 2

Variables :nest un entier naturelVariables :nest un entier natureluest un réeluest un réelEntrée :Saisir la valeur denEntrée :Saisir la valeur denTraitement :uprend la valeur 0Traitement :uprend la valeur 0Pouriallant de 1 àn:Pouriallant de 0 àn¡1 :uprend la valeuruÅ2iÅ2uprend la valeuruÅ2iÅ2Fin PourFin Pour

Sortie :AfficheruSortie :AfficheruDe ces deux algorithmes, lequel permet d"afficher en sortie la valeur de u

n, la valeur de l"entier naturel n étant entrée par l"utilisateur?

Le second affiche en sortie la valeur deun, la valeur de l"entier naturelnétant entrée par l"utilisateur.

En effet, pournAE1, le premier algorithme affiche une valeur erronéeu1AE0Å2£1Å2AE4.

3.À l"aide de l"algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et unen

ordonnée.nu n00 12 26
312
420
530
642
756
872
990
10110
11132

a.Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite(un)? Démontrer cette conjecture.

La suite

(un)semble être croissante.

Démonstration :

u

nÅ1¡unAEunÅ2nÅ2¡unAE2nÅ2 nombre strictement positif, pour toutn2?b.La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l"existence de trois réels a,b et c

tels que, pour tout entier naturel n, u nAEan2ÅbnÅc.

Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a,b et c à l"aide des informations fournies.

8 :u

0AEa£02Åb£0ÅcAE0

u

1AEa£12Åb£1ÅcAE2

u

2AEa£22Åb£2ÅcAE6()8

:aÅbAE2

4aÅ2bAE6

cAE0()8 :aÅbAE2

2aÅbAE3

cAE0()8 :aAE1 bAE1 cAE04.On définit, pour tout entier naturel n, la suite(vn)par : vnAEunÅ1¡un. a.Exprimer vnen fonction de l"entier naturel n. Quelle est la nature de la suite(vn)? v nAEunÅ1¡unAE2nÅ2C"est une suite arithmétique de raisonrAE2 et de premier termev0AE2. b.On définit, pour tout entier naturel n, SnAEnX kAE0v kAEv0Åv1Å¢¢¢Åvn. Démontrer que, pour tout entier naturel n, SnAE(nÅ1)(nÅ2). S nest la somme desnÅ1 premiers termes d"une suite arithmétique : S nAEnX kAE0v

AE(nÅ1)£2Å2nÅ22

AE(nÅ1)(nÅ2)c.Démontrer que, pour tout entier naturel n, SnAEunÅ1¡u0puis exprimer unen fonction de n.

S

n¡1AEun¡u0()unAESn¡1Åu0AEn(nÅ1)Å0AEn(nÅ1)2( 4 points )Soit la suite numérique(un)définie sur l"ensemble des entiers naturels?par u0AE2et, pour tout entier

naturel n,unÅ1AE15 unÅ3£0,5n. 1. a .Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n non nul on a un>154

£0,5n.

SoitP(n)lapropriété:"un>154

nnon nul.

²Initialisation :on au1AE15

£2Å3£0,50AE175

AE3,4 doncu1>154

£0,51.

La propriété est vraie pournAE1.P(1) est vraie, avec154

£0,5AE1,875.

²Hérédité :supposons qu"il existen2?tel que :un>154

£0,5nje suppose la proposition vraie au rang n

u n>154

£0,5n(HR)

Alors,en multipliant par15

:15 un>34

£0,5n

puis, en ajoutant membre à membre3£0,5n:15 unÅ3£0,5n>34

£0,5nÅ3£0,5nc"est-à-dire :

u nÅ1>154

£0,5n

Or, pour tout entier natureln, 0,5n>0,5nÅ1, on en déduit donc u nÅ1>154

£0,5nÅ1

finalementalors la proposition est vraie au rang nÅ1 et la propriétéP(n) est donc héréditaire. ²Conclusion :la proposition est vraie pournAE1 , elle est héréditaire £0,5nb.En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, unÅ1¡un60.

Pour tout entier naturelnnon nul :

u nÅ1¡unAE15 unÅ3£0,5n¡un

AE3£0,5n¡45

un AE 45
154
D"après la question précédente, cela entraîne queunÅ1¡un60 c.Démontrer que la suite(un)est convergente.

D"après la question précédente la suite (un) est décroissante à partir d"un certain rang.

De plus, pour tout entier naturelnnon nul,un>154

£0,5nÈ0, la suite est donc minorée.

On en déduit, d"après le théorème de convergence des suites monotones, que la suite (un) est convergente.

2.On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite(un).

Soit (vn)la suite définie sur?par vnAEun¡10£0,5n. a.Démontrer que la suite(vn)est une suite géométrique de raison15

On précisera le premier terme de la suite

(vn). Soitn2?, alors :vnÅ1AEunÅ1¡10£0,5nÅ1 AE 15 unÅ3£0,5n¡10£0,5£0,5n AE 15 un¡2£0,5n AE 15

¡un¡10£0,5n¢

AE 15 vn. La suite (vn) est donc géométrique de raison15 . Son premier terme vautv0AEu0¡10£0,50AE2¡10AE¡8. b.En déduire, que pour tout entier naturel n, unAE¡8£µ15 n

Å10£0,5n.

La suite (vn) étant géométrique, on a, pour tout entier natureln:vnAE¡8µ15 n

On en déduit que¡8£¡15

nAEun¡10£0,5n()unAE¡8£µ15 n Å10£0,5nc.Déterminer la limite de la suite(un) lim n!Å1µ 15 n

AE0 car¡1Ç15

Ç1 de même : limn!Å10,5nAE0 car¡1Ç0,5Ç1

On en déduit par somme sur les limites que

l im

n!Å1unAE03.Compléter sur l"annexe2, les lignes(1),(2)et(3)de l"algorithme, afin qu"il affiche la plus petite valeur de n telle que

u n60,01.

AlgorithmeEntrée :netusont des nombresInitialisation :nprend la valeur 0uprend la valeur 2Traitement :Tant queuÈ0,01(1) nprend la valeurnÅ1(2) uprend la valeur15

uÅ3£0,5n¡1(3)Fin Tant que

Sortie :Affichern3( 2 points )QC M- Répondre au questionnaire de l"annexe1,en cochantpour chaque question,la bonne réponse.Des points négatifs pourront être affectés à de mauvaises réponses.

Annexe 1 - Ex 2.À r estituera vecv otreco pie

NOM :QuestionsRéponses

1.Parmi les formules suivantes, qui donnentunen fonction den,

laquelle décrit une suite arithmétique?r

3unAEnunAEn2unAEu0Årn2.Si une suite numérique est croissante, alors :elle tend versÅ1elle ne peut pas tendre vers 0r

3elle peut tendre vers¡13.Si une suite numérique tend versÅ1, alors :elle est croissanter

3il existe un certain rang à partir duquel

tous les termes sont positifsun>0 pour toutn2?4.On sait qu"une certaine suite géométrique tend vers¡1.

Dans ce cas :r

3sa raison est nécessairement strictement

supérieure à 1sa raison est nécessairement négativeon ne peut rien dire sur sa raison5.Le graphique ci-dessous représente le tracé en "escargot»

d"une suite géométrique :¡3¡2¡1123

¡3¡2¡1123

xy v

0On peut en déduire que :sa raisonqvérifieq>1r

3sa raisonqvérifieqÇ¡1sa raisonqvérifie¡16qÇ06.On sait que (vn) est géométrique et que tous ses termes sont

positifs. On sait aussi quev7AE5,8 et quev9AE20,938. Alors :r

3v8AE11,02la raison vautqAE2la suitevconverge vers 07.Une suiteuest dite convergente vers un réel`lorsque :il existe un rang N2?tel que

pour tout intervalle I centré en`, on a pour toutnÈN :un2Iquel que soit l"intervalle I centré en`, u n2I pour toutn2?r

3quel que soit l"intervalle I centré en`,

les termes de la suiteuappartiennent à I

à partir d"un certain rang8.Une suite dont tous les termes sont strictement positifs :ne peut pas tendre vers 0r

3ne peut pas tendre vers¡1peut tendre vers¡1

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