[PDF] Polynésie-Juin-2014. La forme parabolique du nuage

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Polynésie-Juin-2014.

Exercice 25 points

On considère la suite(un)définie par : u0=0 et pour tout entier naturel n, un+1=un+2n+2

1 . Calculer u1 et u2.

2 . On considère les deux algorithmes suivants :

De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie la valeur deun, la valeur de l'entier naturel n étant

entrée par l'utilisateur ?

3 . A l'aide de l'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où figure n en abscisse etun

en ordonnée. a . Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite(un)?

Démontrer cette conjecture.

b . La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l'existence de trois réels a, b et c tels que,

pour tout entier naturel n, un=an2+bn+c.

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Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l'aide des informations fournies.

4 . On définit, pour tout entier naturel n, la suite(vn)par : vn=un+1-un

a. Exprimer vnen fonction de n. Quelle est la nature de la suite(vn)? b. On définit, pour tout entier naturel n, Sn=∑k=0k=n vk=v0+v1+...+vn. Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn=(n+1)(n+2) c. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

Sn=un+1-u0, puis exprimerunen fonction de n.

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Correction :

1 . u1=u0+2×0+2=0+0+2=2

u2=u1+2×1+2=2+2+2=6

2 . Pour l'algorithme 1,

La première valeur de i est 1

u prend la valeur 0+2×1+2=4 or u1=2 Donc l'algorithme 1 ne permet pas d'afficher la valeur de un pour tout entier naturel n.

Pour l'algorithme 2,

La première valeur de i est 0

u prend la valeur : 0+2×0+2=2= u1Donc l'algorithme 2 permet d'afficher en sortie la valeur un. remarque Il faut préciser que n est un entier naturel non nul.

3 . a. Conjecture : La suite

(un)est croissante.

Justification :

Pour tout entier naturel n

un+1-un=2n+2 2 > 0 donc la suite(un)est strictement croissante b. Si on suppose qu'il existe des nombres réels a, b et c tels que pour tout entier naturel n : un=an2+bn+cAlors : pour n=0, u0=0=a×0+b×0+csoit c=0 pour n=1, u1=2=a×12+b×1+csoit a+b+c=2 pour n=3, u2=6=4×22+b×2+csoit 4a+2b+c=6

On obtient :

c=0 et a+b=2 et 2a+b = 3

Donc a=1 et b=1 et c=0

S'il existe des réels a, b et c tels que pour tout entier naturel n : un=an2+bn+c, alors pour tout entier naturel n on a : un=n2+n.

4 . On considère la suite(vn)définie pour tout entier naturel n par : vn=un+1-un

a. Pour tout entier naturel n on a : un+1-un=2n+2donc vn=2n+2 (vn)est la suite arithmétique de premier termev0=2 et de raison r=2. b. Pour tout enter naturel n

Sn=∑k=0k=n

vk=v0+v1+ ...+ vk+...+vn

Sn est la somme des n +1 premiers termes de la suite arithmétique de premier termev0et de raison2

Donc, Sn=1

2(n+1)(v0+vn)

Or,v0=2 et

vn=2n+2

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Sn=1

2(n+1)(2+2+2n)

Sn=( n +1)( n +2)

c. Sn=v0+v1+v2+...+vn

Sn=(u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2)+...+

(un+1-un)Après simplification on obtient :

Sn=-u0+un+1

Or,u0=0

Donc, Sn=un+1

On a donc,

Sn=(n+1)(n+2)=un+1Conséquence :

Pour tout entier naturel n :

un=n(n+1)=n2+nOn a donc démontré la conjecture.quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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