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1S:CDm 2Correction Devoir maison 22014-2015

EXERCICE 1:

On considère la suite (un) définie par

u

0= 0 et, pour tout entier natureln,un+1=un+ 2n+ 2.

1. u1=u0+ 2×0 + 2 =u0+ 2 = 2etu2=u1+ 2×1 + 2 = 2 + 4 = 6

2. On considère les deux algorithmes suivants :

Algorithme 1Algorithme 2

Variables :nest un entier naturelVariables :nest un entier naturel uest un réeluest un réel Entrée :Saisir la valeur denEntrée :Saisir la valeur den Traitement :uprend la valeur 0Traitement :uprend la valeur 0

Pouriallant de 1 àn:Pouriallant de 0 àn-1 :

uprend la valeuru+ 2i+ 2uprend la valeuru+ 2i+ 2

Fin PourFin Pour

Sortie :AfficheruSortie :Afficheru

Il suffit de " faire tourner l"algorithme à la main » et utiliserun tableau de valeurs prises par les variables :

n u i 2 0 1 2 4 2

2 10 fin

On trouve 10 pouru2

n u i 2 0 0 2 2 1

2 6 fin

On trouve 6 pouru2

C"est donc l"algorithme de droite qui convient, pusqu"il donne la valeur deu2calculé à la question 1. En fait, cette

question s"appuie sur une erreur faite par l"élève dans le calcul des termes d"une suite définie par récurrence. En

effet, dansun+1=un+2n+2,ndoit être remplacé par le rang deunet non celui du termeun+1que l"on calcule.

3. (a)

La suite semble croissante.

En effet, pour toutn?N, un+1-un= 2n+ 2 et 2n+ 2>0 pour toutn?N. Commeun+1-un>0, la suite (un)n?Nest croissante.

(b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l"existence de trois réelsa,betctels que,

pour tout entier natureln,un=an2+bn+c.

Encore un problème d"identification et en utilisant par exemple les trois premiers termesu0,u1etu2, on

obtient :???u

0= 0 =a×02+b×0 +c

u

1= 2 =a×12+b×1 +c

u

2= 6 =a×22+b×2 +c????c= 0

a+b= 2

4a+ 2b= 6????c= 0

a= 1 b= 1 On obtient donc la conjecture suivante : pour toutn?N, un=n2+n

4. On définit, pour tout entier natureln, la suite (vn) par :vn=un+1-un.

(a) ?n?N, vn=un+1-un=un+ 2n+ 2-un= 2n+ 2 (b) Pour tout entier natureln, Sn=n?k=0v k=v0+v1+···+vn.

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?n?N, Sn=v0+v1+...+vk+...+vn= (2×0 + 2) + (2×1 + 2) +...+ (2×k+ 2) +...+ (2×n+ 2) = 2(0 + 1 +...+k+...+n) + 2 + 2 +...+ 2 +...+ 2 (n+1)termeségauxà 2 = 2×n(n+ 1)

2+ 2(n+ 1)

=n(n+ 1) + 2(n+ 1) S n= (n+ 1)(n+ 2) (factorisation)

Si l"on utilise le symbole de sommation

?, cela donne : ?n?N, Sn=n?k=0v k=n?k=0(2×k+ 2) = 2 n?k=0k+n? k=02 = 2×n(n+ 1)

2+ 2(n+ 1)

=n(n+ 1) + 2(n+ 1) S n= (n+ 1)(n+ 2) (factorisation) (c) n? ?n?N, Sn=v0+v1+...+vk+...+vn = (u1-u0) + (u2-u1) +...+ (uk+1-uk) +...+ (un+1-un) =un+1-u0(somme"télescopique") On a donc, grâce aux questions précédentes, pour toutn,Sn=un+1-0 = (n+ 1)(n+ 2) ?un+1= (n+ 1)(n+ 1 + 1), soit en remplaçantn+ 1 parn: ?n?N?, un=n(n+ 1) =n2+n etu0= 0, la conjecture est démontrée pour toutn.

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EXERCICE 2:

1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentativeC1de la fonctionf. Sur l"une d"entre

elles, la courbeC2de la fonction dérivéef?est tracée convenablement. Laquelle?

Si l"on noteβ(-1< β <0) la valeur en laquelle le minimum defest réalisé, on peut dresser le tableau de

variations def, x Signe def?(x)

Variations

def 0+ tsts f(β)f(β) tsts •Dans lasituation 3, siC2est la courbe def?, on aurait par exemple f ?(-2)>0. Or le tableau de variations précédent est en contradiction avec cette valeur puisquef?(x)<0 sur l"intervalle ]- ∞;β[ (β >-1>-2). on

élimine donc la situation 3.

•Dans lasituation 2, siC2est la courbe def?, on aurait par exemple f ?(-1) = 0. Or le tableau de variations précédent est encore en contradic- tion avec cette valeur puisquef?(x)<0 sur l"intervalle ]- ∞;β[ (β >-1). on élimine donc la situation 2. •Par élimination, c"est dans la situation 1 quefetf?sont représentées. En particulier,f?(0) = 1.

Situation 3

123456789

1 2 3-1-2-3

C1 C2 O

Situation 2 (C2est une droite)

123456789

-1 -21 2 3 4-1-2-3 C1 C2 O

Situation 1

123456789

-1-21 2 3 4-1-2-3 C1 C2 O? AΔ

Δ :y=f?(0)(x-0) +f(0)?Δ :y=x+ 2

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EXERCICE 3:

On considère la suite numérique (un) définie surNpar : u

0= 2 et pour tout entier natureln, un+1=-1

2u2n+ 3un-32.

Partie A : Conjecture

1.

•u1=-1

2u20+ 3u0-32=52

•u2=-1

2u21+ 3u1-32=238

2. u

3≈2,99219 etu4≈2,99997 arrondies à 10-5près

3. (un)n?0semble croissante et tendre vers 3 lorsquentend vers +∞.

Partie B : Validation des conjectures

1. vn+1=un+1-3 =-1

2u2n+ 3un-32-3

=-1

2u2n+ 3un-92

=-1

2(u2n-6un+ 9)

=-1

2(un-3)2

=-1 2v2n 2.

Pour tout entier natureln, vn+1-vn=-1

2v2n-vn=-vn?12vn+ 1?

(b) ?n?N,-1?vn?0 1

2?12vn?0

1

2+ 1?12vn+ 1?1

1

2?12vn+ 1?1

?n?N, vn?[-1;0] doncvnest négatif et donc-vn?0 et-vn?1

2vn+ 1?

?0?vn+1-vn?0, ce qui prouve que la suite (vn)n?0est croissante.

3. On note?la limite de la suite (vn). On admet que?appartient à l"intervalle [-1 ; 0] et vérifie l"égalité :?=-1

2?2. ?=-12?2??+12?2= 0???

1 +12??

??= 0 ou?=-2. Comme la valeur?=-2 n"est pas dans l"intervalle [-1,0] donc?= 0.

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EXERCICE 4: 101 p 129 (Odyssée 1S - Hatier)

a.hest la hauteur de la boîte etxla longueur d"un côté de la base carrée de l"emballage. h×x2= 1000?h=1000 x2

b. Le patron est un rectangle de dimensions 4xparh+ 2×x2+ 2×0,8 =h+x+ 1,6. En utilisant la question

précédente, on peut écrireh+x+ 1,6 =1000 x2+x+ 1,6. Ainsi, l"aire du patron est égale à 4x×?1000 x2+x+ 1,6? =4000x+ 4x2+ 6,4x

c. La fonctionfn"est autre que la fonction qui exprime l"aire du patron précédemment calculée en fonction dex.

fest une somme de fonctions dérivables sur ]0;+∞[ doncfest dérivable sur ]0;+∞[. f= 4u+32

5v+4000wdoncf?= 4u?+325v?+4000w?avecu:x?→x2,v:x?→xetw:x?→1xdont les dérivées

sontu?:x?→2x,v?:x?→1 etw?:x?→ -1 x2

Ainsi,?x >0, f?(x) = 8x+32

quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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