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Polynésie, S

13 juin 2014 4 heures

Exercice 1 5 points

Commun à tous les candidats

Dans un repère orthonormé de l"espace, on considère les points A(5;¡5;2), B(¡1;1;0), C(0;1;2), et D(6;6;¡1) 1. Dé terminerla n aturedu tr iangleBC Det calcul erson air e. 2. a)

M ontrerq uel ev ecteur

¡!n0

@¡2 3 11 A est un vecteur normal au plan (BCD). b) D éterminerune équ ationcar tésiennedu p lan(BC D). 3. Dé terminerunereprésentationparamétriquedeladroiteDorthogonaleauplan(BCD)etpassantpar le point A. 4. Dé terminerles coor donnéesdu point H, int ersectionde la dr oiteDet du plan (BCD). 5.

Dé terminerle v olumedu t étraèdreABC D.

On rappelle que le volume d"un tétraèdre est donné par la formuleVAE13

B£h, oùBest l"aire d"une

base du tétraèdre et h la hauteur correspondante. 6.

O nadmet qu eAB AEp76 et ACAEp61.

Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l"angle

Exercice 2 5 points

Candidats n"ayant pas suivi l"enseignement de spécialité

On considère la suite

(un)définie par u

0AE0 et, pour tout entier natureln,unÅ1AEunÅ2nÅ2.

1.

C alculeru1etu2.

2. O ncon sidèrel esd euxalgor ithmessuiv ants: Algorithme 1Algorithme 2

Variables :nest un entier naturelVariables :nest un entier natureluest un réeluest un réelEntrée :Saisir la valeur denEntrée :Saisir la valeur denTraitement :uprend la valeur 0Traitement :uprend la valeur 0Pouriallant de 1 àn:Pouriallant de 0 àn¡1 :uprend la valeuruÅ2iÅ2uprend la valeuruÅ2iÅ2Fin PourFin Pour

Sortie :AfficheruSortie :AfficheruDecesdeuxalgorithmes,lequelpermetd"afficherensortielavaleurdeun,lavaleurdel"entiernaturel

nétant entrée par l"utilisateur? 1

3.À l"aidedel"algorithme,onaobtenuletableauetlenuagedepointsci-dessousoùnfigureenabscisse

etunen ordonnée.nu n00 12 26
312
420
530
642
756
872
990
10110
11132
12156
xy

0123456789101112020406080100120140160

a) Q uelleconject urepeu t-onfair equant au sens de v ariationd ela suite (un)?

Démontrer cette conjecture.

b)

L afor mep araboliquedu nuage de p ointsamèn eà con jecturerl "existencede t roisréels a,betc

tels que, pour tout entier natureln,unAEan2ÅbnÅc. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs dea,betcà l"aide des informations four- nies. 4. O ndéfin it,pou rt oute ntierna tureln, la suite(vn)par :vnAEunÅ1¡un. a) E xprimervnen fonction de l"entier natureln. Quelle est la nature de la suite(vn)? b)

O ndéfin it,pou rt outen tierna tureln, SnAEnX

kAE0v kAEv0Åv1Å¢¢¢Åvn. Démontrer que, pour tout entier natureln, SnAE(nÅ1)(nÅ2). c) Dé montrerq ue,pour tou tent iern atureln, SnAEunÅ1¡u0, puis exprimerunen fonction den.

Exercice 2 5 points

Candidats ayant suivi l"enseignement de spécialité

Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du

mois de naissance, le rang du mois dans l"année.

Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro du

mois de naissance est 5.

Partie A

Lors d"une représentation, un magicien demande aux spectateurs d"effectuer le programme de calcul (A)

suivant :

"Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de

naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de

votre anniversaire».

Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : "Votre anniversaire tombe le

1 eraoût!». 2

1.Vér ifierqu ep ourune person nen éel e1

eraoût, le programme de calcul (A) donne effectivement le nombre 308. 2. a) P ourun sp ectateurdonn é,on not ejle numéro de son jour de naissance,mcelui de son mois de naissance etzle résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A). Exprimerzen fonction dejet demet démontrer quezetmsont congrus modulo 12. b) R etrouveralor sl adate d el "anniversaired "unspec tateurayant obt enul en ombre474 en app li- quant le programme de calcul (A).

Partie B

Lors d"une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spec-

tateur dont le numéro du jour de naissance estjet le numéro du mois de naissance estm, le magicien

demande de calculer le nombrezdéfini parzAE12jÅ31m.

Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d"anniversaire

du spectateur. 1.

P remièremét hode:

On considère l"algorithme suivant :Variables :jetmsont des entiers naturelsTraitement :Pourmallant de 1 à 12 faire :Pourjallant de 1 à 31 faire :zprend la valeur 12jÅ31mAfficherzFin Pour

Fin Pour

Modifier cet algorithme afin qu"il affiche toutes les valeurs dejet demtelles que 12jÅ31mAE503. 2.

D euxièmemét hode:

a) D émontrerque 7 metzont le même reste dans la division euclidienne par 12. b) P ourmvariant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de 7mpar 12. c) E ndéduir el ad atede l "anniversaired "unspec tateuray anto btenule n ombre50 3av ecle pr o- gramme de calcul (B). 3.

T roisièmem éthode:

a) D émontrerque le couple ( ¡2 ; 17) est solution de l"équation 12xÅ31yAE503. b)

E nd éduireq uesi un cou pled "entiersr elatifs( x;y) est solution de l"équation 12xÅ31yAE503,

alors 12(xÅ2)AE31(17¡y). c)

Dé terminerl "ensemblede tou sl escou plesd "entiersr elatifs( x;y), solutions de l"équation 12xÅ

31yAE503.

d) D émontrerqu "ilexist eun uniqu ec oupled "entiersr elatifs( x;y) tel que 16y612. de calcul (B).

Exercice 3, 5 points

Commun à tous les candidats

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

Une réponse non justifiée n"est pas prise en compte. Une absence de réponse n"est pas pénalisée.

3

1.Z oése r endà son t ravailà pied ou en v oiture.L ào ùel leha bite,il p leutun jou rsur q uatre.

Lorsqu"il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80% des cas.

Lorsqu"il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6.

Affirmation n

o1 : "Zoé utilise la voiture un jour sur deux.» 2.

D ansl "ensembleE des issues d "uneexp ériencealéat oire,on c onsidèredeux év énementsA et B.

Affirmation n

o2 : "Si A et B sont indépendants, alors A etB sont aussi indépendants.» 3.

O nmodéli sele temp sd "attente,expr iméen minutes ,à u ngui chet,p aru nev ariableal éatoireT q ui

suit la loi exponentielle de paramètre 0,7.

Affirmation n

o3 : "La probabilité qu"un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est 0,7 environ.»

Affirmation n

o4 : "Le temps d"attente moyen à ce guichet est de sept minutes.» 4. O nsait que 39 %de la pop ulationf rançaisee stdu gr oupesan guinA+ . On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang. On interroge 183 donneurs de sang et parmi eux, 34% sont du groupe sanguin A+.

Affirmation n

o5 :

" On ne peut pas rejeter, au seuil de 5%, l"hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du

Exercice 4 5 points

Commun à tous les candidats

Soientfetgles fonctions définies sur?par

f(x)AEexetg(x)AE2ex2 ¡1 On noteCfetCgles courbes représentatives des fonctionsfetgdans un repère orthogonal. 1. Dé montrerque les cou rbesCfetCgont un point commun d"abscisse 0 et qu"en ce point, elles ont la même tangente¢dont on déterminera une équation. 2. É tudede la position r elativede l acou rbeCget de la droite¢

Soithla fonction définie sur?parh(x)AE2ex2

¡x¡2.

a)

D éterminerla l imited ela f onctionhen¡1.

b)

J ustifierque ,pour t outré elx,h(x)AExÃ

ex2 x 2

¡1¡2x

En déduire la limite de la fonctionhenÅ1.

c) O nnot eh0la fonction dérivée de la fonctionhsur?. Pour tout réelx, calculerh0(x) et étudier le signe deh0(x) suivant les valeurs dex. d) D resserl et ableaude v ariationsd el af onctionhsur?. e)

E ndédu ireque ,pour t outrée lx, 2ex2

¡1>xÅ1.

f) Q uepeut-on en dédu irequant à la position r elativede l acou rbeCget de la droite¢? 3. É tudede la position r elativedes cour besCfetCg a) P ourt outré elx, développer l"expression³ ex2

¡1´

2. b) D éterminerla position r elativedes courbes CfetCg. 4.

C alculer,en unit éd "aire,l "airedu domaine compr isen treles c ourbesCfetCget les droites d"équa-

tions respectivesxAE0 etxAE1. 4quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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