[PDF] Optique géométrique les intersections avec l'axe

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2011/2012Optique géométrique

Lucile Veissier

lucile.veissier@spectro.jussieu.fr

Table des matières

1 Systèmes centrés 2

1.1 Vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Eléments cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Plans focaux et foyers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Plans principaux et points principaux . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Points nodaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Formules de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Formules de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Formules de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Constructions à l"aide des trois rayons particuliers . . . . 5

1.4.2 Construction àl"aide des foyers secondaires . . . . . . . . . 6

1.5 Association de systèmes centrés - Formules de Gullstrand . . . . 7

2 Dioptres 8

2.1 Loi de Snell-Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Eléments cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 Relation de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Lentilles 11

3.1 Lentilles épaisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2 Lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.1 Vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.2 Eléments cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.3 Relations de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2.4 Constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Miroirs 14

4.1 Vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Eléments cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Relation de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.4 Constructions géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1

1 Systèmes centrés

Un système centré est formé de plusieurs surfaces réfringentes ou réfléchis- santes (dioptres ou miroirs), telles que l"ensemble présente une symétrie autour d"un axe de révolutionOz, l"axe optique (cela signifie que leurs axes sont confon- dus). Dans l"ensemble de ce cours, on se place bien sûr dans l"approximation de Gauss, ce qui signifie qu"on considère que les angles d"incidence des rayons sont

faibles et que leurs points d"incidence sont proches de l"axe optique.Figure1 - Système centré placé entre un milieu d"indicenet un milieu d"indice

n 0.

1.1 Vergence

La vergence est un paramètre qui caractérise les propriétés de focalisation d"un système centré. Il s"agit d"une grandeur algébrique, homogène à l"inverse d"une longueur, et elle s"exprime en dioptries (). SiV >0, le système est convergent. Un rayon arrivant parallèlement à l"axe optique émerge en se rapprochant de l"axe, pourvu qu"il émerge du même côté de l"axe optique que le rayon incident. SiV <0, le système est divergent. Un rayon arrivant parallèlement à l"axe optique émerge en s"éloignant de l"axe, pourvu qu"il émerge du même côté de l"axe optique que le rayon incident. Enfin siV= 0, le système est afocal. Un rayon arrivant parallèlement à l"axe

optique émerge toujours parallèle à l"axe.Figure2 - Système centré (a) convergent, (b) divergent, (c) afocal.

2

1.2 Eléments cardinaux

1.2.1 Plans focaux et foyers

Les plans focaux sont deux plans situés dans les espaces objet et image, dont les intersections avec l"axe optique sont les foyers principaux objetFet image F 0. Tout rayon incident, issu deF, émerge parallèlement à l"axe optique.

Tout rayon incident, parallèle à l"axe optique, émerge en convergent versF0.Figure3 - Foyers objet et image.

On définit les distances focales image et objet comme étant les quantités algébriques suivantes : f 0=n0V (1a) f=nV (1b) oùnetn0sont les indices des milieux situés avant et après le système. Si les deux milieux sont identiques, les distances focales sont opposées. SiV >0, on af0>0etf <0, alors que siV <0, on af0<0etf >0. En pratique, on utilise surtout la distance focale imagef0pour caractériser le système. Les plans focaux sont également l"ensemble des foyers secondaires objets et images,FSetF0S(aussi parfois notéset0). Ces foyers secondaires sont asso- ciés à des faisceaux de rayons lumineux parallèles entre eux mais non parallèles avec l"axe optique.Figure4 - Exemple d"un foyer secondaire image. 3

1.2.2 Plans principaux et points principaux

Les plans principaux ou unitaires sont des plans conjugués tels que le grandis- sement transversal est égal à l"unité. Le plan principal image est défini comme l"ensemble des points où se croisent les rayons incidents parallèles à l"axe avec les rayons émergents correspondants. Le plan principal objet est défini comme l"ensemble des points où se croisent les rayons émergents parallèles à l"axe avec les rayons incidents correspondants. Les intersections de ces plans avec l"axe optique sont notéesHetH0et obéissent aux relations suivantes :HF=f(2a)H

0F0=f0(2b)Figure5 - Points principaux objet et image.

1.2.3 Points nodaux

Il s"agit de deux points conjugués sur l"axe optique,NetN0, tel qu"un rayon

incident passant parNémerge deN0parallèlement à sa direction initiale.Figure6 - Points nodaux.

On a la relation suivantes :HN=H

0N0=f+f0(3)

Ainsi, si les deux milieux extrêmes sont de même indice, les points nodaux sont confondus avec les points principaux. 4

1.3 Formules de conjugaison

1.3.1 Formules de Descartes

On considère un système centré transformant un objetABsitué au point Aen une imageA0B0située au pointA0. La relation de Descartes, qui relie la position de l"objetp=HAà la position de l"image associéep0=H

0A0, est une

relation de conjugaison avec origine aux sommets. Elle s"écrit : n 0p 0np =V(4) Si les milieux extrêmes sont identiques, la relation se simplifie : 1p 01p =1f 0

Le grandissement transverse, défini comme

=A 0B0AB , s"exprime : =nn 0p 0p (5)

1.3.2 Formules de Newton

La formule de Newton est une relation de conjugaison avec origine aux foyers.

Elle relie les quantités=FAet0=F

0A0de la façon suivante :

0=ff0(6)

Si les milieux extrêmes sont identiques, elle se réduit à : 0=f02

Le grandissement s"écrit quand à lui :

=0f 0(7)

1.4 Constructions géométriques

La construction géométrique est indispensable pour visualiser et vérifier les résultats obtenus par le calcul.

1.4.1 Constructions à l"aide des trois rayons particuliers

On considère toujours un objetABavecAsur l"axe optique etBen dehors, son image associée seraA0B0. Pour diminuer les risques d"erreur, il est préférable de tracer les trois rayons particuliers suivants :

1. Le rayon issu du pointBparallèle à l"axe optique émerge à partir du plan

principal image à la même hauteur, en passant par le foyer imageF0. 5

2. Le rayon issu deBpassant par le foyer objetFémerge parallèlement à

l"axe optique, à partir du point du plan principal image situé à la même hauteur que l"intersection du rayon incident avec le plan principal objet.

3. Le rayon issu deBpassant par le point nodalNressort parallèlement à

lui-même à partir du point nodalN0.Figure7 - Construction géométrique de l"imageA0B0associée à l"objetAB

grâce aux trois rayons particuliers décrits ci-dessus.

1.4.2 Construction àl"aide des foyers secondaires

Lorsqu"on veut tracer l"évolution d"un rayon quelconque à travers un système optique, ou retrouver le rayon incident associé à un rayon émergent quelconque, les foyers secondaires images ou objets sont très utiles. Dans le cas où on cherche le rayon émergent associé à un rayon incident quelconque, on trace alors le rayon parallèle au rayon incident, mais passant par le point nodal objetN. Celui-ci émerge avec le même angle par rapport à l"axe optique à partir du point nodal imageN0, et croise le plan focal image au foyer secondaire imageF0S. Il est alors possible de tracer le rayon émergent à partir du plan principal image, à la même hauteur que le croisement entre le rayon

incident et le plan principal objet, et passant par le foyer secondaire imageF0S.Figure8 - Construction du rayon émergent associé à un rayon incident quel-

conque (en bleu), à l"aide du foyer secondaire image. On s"est placé dans le cas particulier où les milieux extrêmes sont de mêmes indices et où donc les points nodaux objet et image sont confondus avec les points principaux objet et image respectivement. Si on cherche le rayon incident associé à un rayon émergent quelconque, il s"agit de la même opération en sens inverse. On trace alors le rayon parallèle 6 au rayon émergent, mais passant par le point nodal imageN0. Celui-ci arrive sur le système avec le même angle par rapport à l"axe optique jusqu"au point nodal objetN, et croise le plan focal objet au foyer secondaire objetFS. Il est alors possible de tracer le rayon incident recherché arrivant sur le plan principal objet, à la même hauteur que le croisement entre le rayon émergent et le plan principal image, et passant par le foyer secondaire objetFS.

1.5 Association de systèmes centrés - Formules de Gull-

strand On considère l"association de deux systèmes centrés, indicés 1 et 2, séparés par un millieu d"indice n. On introduit la distance optique :e=H

01H2. La

vergence du système total s"exprime grâce à la formule de Gullstrand :

V=V1+V2en

V1V2(8)

Il en découle l"expression suivante pour la distance focale du système total : f

0=f1f2

(9) avec =F 01F2. 7

2 Dioptres

Un dioptre est une surface séparant deux milieux homogènes d"indices diffé- rents. Pour rappel, l"indice de réfraction d"un milieu est défini parn=cv oùcest la vitesse de la lumière dans le vide, etvcelle de la lumière dans le milieu en question. Par exemple, l"indice de l"air vaut pratiquement1, l"indice de l"eau est de1:33et celui du verre est de1:5.Figure9 - Dioptre sphérique de sommetSet de centreC.

2.1 Loi de Snell-Descartes

Au niveau du dioptre, on assiste à un phénomène de réfraction, ou bien dans certains cas, à un phénomène de réflexion totale interne. Ceci peut être calculé grâce à la loi de Snell-Descartes.Figure10 - Réfraction au niveau d"un dioptre. On considère un dioptre séparant un milieu d"indicen1d"un milieu d"indice n

2(voir figure 10). Un rayon incident formant un anglei1avec la normale au

dioptre, ressort avec un anglei2par rapport à la normale, selon la relation : n

1sini1=n2sini2(10)

On remarque que sin2> n1, alorsi2< i1.

Pour trouver l"expression de l"angle limite de réflexion totale, on posei2= 90
etn1> n2(d"après la remarque précédente, il ne peut y avoir réflexion totale que dans cette condition). On obtient alors : i lim1= arcsinn2n 1 (11) 8

2.2 Vergence

On considère un dioptre sphérique séparant un milieu d"un indicend"un second milieu d"indicen0. Ce dioptre a pour sommetSet pour centreC, et on définit le rayon de courbure du dioptre comme étant la grandeur alébrique : R=SC. La vergence est donnée par la formule suivante :

V=n0nR

(12)Figure11 - A gauche, schéma d"un dioptre convergent (V >0), à droite celui d"un dioptre divergent (V <0). On peut parler de dioptre convexe ou concave en considérant toujours le côté sur lequel arrivent les faisceaux lumineux. Un dioptre convexe est arrondi vers l"extérieur, alors qu"un dioptre concave est arrondi vers l"intérieur. Par exemple, sur la figure 11, le dioptre de gauche est convexe alors que le dioptre de gauche est concave. Cependant, un dioptre convexe n"est pas forcément convergent. En effet, si un dioptre convexeair/verreest convergent, un dioptreverre/air convexe est divergent. Les distances focales objet et image sont définies comme étant : f=nV (13a) f 0=n0V (13b) Ces expressions peuvent être retrouvées en appliquant la relation de conju- gaison à une image à l"infini dont l"objet associé estF, et à un objet à l"infini dont l"image associée seraF0. On remarque que les distancesfetf0ne seront jamais égales carnetn0 sont différents par définition même du dioptre. Dioptre planDans le cas du dioptre plan, le rayon de courbure est infini. Ainsi la vergence est nulle, et les foyers sont rejetés à l"infini. Le système est donc afocal. 9

2.3 Eléments cardinaux

Les points principaux,HetH0, sont confondus au sommetSdu dioptre. Ainsi, les distances focales objet et image correspondent aux distancesSFetSF

0respectivement.

On remarque également que les points nodaux,NetN0, sont confondus avec le centreCdu dioptre, ce qui signifie qu"un rayon passant parCgardera la même inclinaison par rapport à l"axe optique en tranversant le dioptre.

2.4 Relation de conjugaison

La relation de conjugaison de Descartes (voir 1.3.1) appliquée au dioptre sphérique s"écrit : n 0p 0np =n0nR (14) où icip=SAetp0=SA 0.

Le grandissement s"exprime toujours :

=nn 0p 0p (15) Cas du dioptre planLa relation de conjugaison devient : np =n0p 0 et le grandissement vaut : = 1.

2.5 Constructions géométriques

On considère un objetABavecAsur l"axe optique etBen dehors, son image associée seraA0B0. Les trois rayons particuliers à tracer dans le cas du dioptre sont :

1. Le rayon issu du pointBparallèle à l"axe optique émerge en passant par

le foyer imageF0.

2. Le rayon issu deBpassant par le foyer objetFémerge parallèlement à

l"axe optique.

3. Le rayon issu deBpassant par le centreCdu dioptre ressort parallèlement

à lui-même.

10

3 Lentilles

Une lentille est formée de deux dioptres sphériques qui délimitent un milieu d"indicen. Dans ce cours, nous considèrerons le cas de lentilles plongées dans l"air.Figure12 - Schéma d"une lentille d"indicencomposée de deux dioptres de sommetsS1etS2.

Il existe 6 types de lentilles, différenciées par les formes des deux faces.Figure13 - Les différents types de lentilles. 1 : lentille biconvexe, 2 : lentille

convexe-plan, 3 : ménisque convergent, 4 : lentille biconcave, 5 : lentille plan- concave, 6 : ménisque divergent.

3.1 Lentilles épaisses

Lors de l"étude d"une lentille épaisse, on la considère comme l"association de deux dioptres,air/verre, puisverre/air, de rayons de courburesR1etR2. On utilise donc la relation de conjugaison de Descartes pour le dioptre deux fois, en faisant attention à la distance séparant les deux sommets des dioptres, notée généralemente=S

1S2. On peut également calculer la vergence de la lentille

grâce à la formule de Gullstrand et trouver la position des éléments cardinaux de celle-ci.

3.2 Lentilles minces

Une lentille est considérée mince lorsque son épaisseur est petite devant lesquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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