Optique géométrique
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Optique géométrique
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OPTIQUE GEOMETRIQUE UE GEOMETRIQUE : COURS ET
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Relation de conjugaison de Descartes et de grandissement
La formule de conjugaison de Descartes permet de déterminer la distance qui sépare l'image de l'objet du centre optique O : avec les distances en mètres
Comment prouver la relation de conjugaison ?
La position de l'objet AB sur l'axe optique principal est notée A et celle de l'image A'B' est notée A'. Ces deux positions sont déterminées respectivement par les valeurs algébriques et . L'objet AB se trouvant avant le centre optique O, est négatif. Au contraire, l'image se situant après O, est positif.Comment calculer la distance focale avec la relation de conjugaison ?
Pour trouver la distance focale à partir de la position obtenue, il faut revenir sur la relation de conjugaison de Descartes : 1/OA' - 1/OA = 1/OF'. Si on cherche à avoir OA' = -OA ; cela revient à avoir, d'après la relation de Descartes OA = - 2 f ' et OA' = 2 f ' .Quel est l'objectif de l'optique géométrique ?
L'optique géométrique constitue l'outil le plus flexible et le plus efficace pour traiter les systèmes dioptriques et catadioptriques. Elle permet d'expliquer la formation des images produites par ces systèmes.- L'optique géométrique repose sur la notion de rayon lumineux qui est une notion très abstraite et idéalisée car sa matérialisation est expérimentalement impossible. Le rayon lumineux correspond à la direction de propagation de l'énergie (direction du vecteur de Poynting). Ce rayon est normal aux surfaces d'onde.
Sébastien ForgetSébastien Forget
Laboratoire de Physique des LasersLaboratoire de Physique des Lasers Université Paris Nord/13Université Paris Nord/13Sommaire
Optique des lasers & faisceaux gaussiens
A Introduction : les résonateurs ouverts................................................................................1
A.I Intérêt et description des résonateurs ouverts................................................................1
A.I.1 Pourquoi un résonateur ouvert ?............................................................................................1
A.I.2 Description des résonateurs....................................................................................................2
A.II Modes spectraux et modes longitudinaux.....................................................................3
B Stabilité des cavités laser....................................................................................................5
B.I Structure périodique des cavités lasers............................................................................5
B.II Matrices de transfert et loi ABCD......................................................................................6
B.II.1 Les matrices de transfert..........................................................................................................6
B.II.2 La loi ABCD................................................................................................................................9
B.III Stabilité d'une cavité..........................................................................................................9
B.III.1 Étude générale.........................................................................................................................9
B.III.2 Exemple d'application..........................................................................................................10
B.III.3 Cavités instables.....................................................................................................................12
C Les faisceaux gaussiens....................................................................................................13
C.I Équation d'onde paraxiale et onde sphérique............................................................13
C.II Onde sphérique gaussienne...........................................................................................14
C.III Propriétés des faisceaux gaussiens...............................................................................18
C.IV Adaptation et focalisation des faisceaux gaussiens................................................20
D Mode fondamental Gaussien et cavité laser..................................................................23
D.I Loi ABCD appliquée aux faisceaux gaussiens..............................................................23
D.II Cavité à deux miroirs........................................................................................................24
D.II.1 Géométrie de la cavité........................................................................................................24
D.II.2 Fréquence des modes TEM00 dans la cavité...................................................................25
D.III Autres cavités....................................................................................................................26
E Les modes d'ordre supérieur.............................................................................................28
E.I Modes Hermite-Gaussiens.................................................................................................28
E.I.1 Structure du champ électromagnétique............................................................................28
E.I.2 Spectre de fréquence pour une cavité classique à deux miroirs .................................30
E.II Modes Laguerre-Gaussiens..............................................................................................30
E.III Propagation des faisceaux multimodes et facteur M²..............................................31
F Conclusions.........................................................................................................................32
Exercices sur les faisceaux gaussiens
A Question 1 : transformation de faisceau laser................................................................33
B Question 2 : caractéristique d'un faisceau laser.............................................................33
C Question 3 : stabilité..........................................................................................................34
D Question 4 : énergie .........................................................................................................34
E Question 5 : répartition spectrale des modes longitudinaux.........................................35
Optique Gaussienne : Étude de cas
A Étude préliminaire de la cavité hémisphérique..............................................................36
A.I Stabilité de la cavité..........................................................................................................36
A.II Structure du faisceau dans la cavité.............................................................................38
B Cavité réelle.......................................................................................................................40
B.I Optimisation de la cavité..................................................................................................40
B.II Faisceau en sortie...............................................................................................................41
B.III Effet de lentille thermique................................................................................................43
C Modes longitudinaux.........................................................................................................44
Table des illustrations
Optique des lasers & faisceaux gaussiens................................................................................
Figure 1 : Cavité linéaire et cavité en anneau...........................................................................................2
Figure 2 : modes longitudinaux dans une cavité résonante.....................................................................3
Figure 3 : répartition spectrale des modes d'un laser. ...............................................................................4
Figure 4 : dépliement d'une cavité à deux miroirs.....................................................................................6
Figure 5 : définition des paramètres (h, ).....................................................................................................7
Figure 6 : paramètres pour la démonstration de la loi ABCD....................................................................9
Figure 7 : conditions de stabilité pour une cavité linéaire à deux miroirs et exemple de cavités
Figure 8 : Cercles de Deschamps...............................................................................................................12
Figure 9 : exemple de cavité instable hémisphérique.............................................................................13
Figure 10 : profil d'intensité gaussien..........................................................................................................17
Figure 11 : propriétés d'un faisceau gaussien...........................................................................................18
Figure 12 : évolution de la longueur de Rayleigh et de la divergence sur la figure 12 pour unelongueur d'onde de 1 µm...........................................................................................................................19
Figure 13 : relations de conjugaison pour les faisceaux gaussiens.........................................................20
Figure 14 : évolution de la position du waist image en fonction de la position du waist objet(pour
différentes tailles du waist objet)................................................................................................................21
Figure 15 : évolution de la taille du waist image en fonction de la position du waist objet (pourdifférentes tailles du waist objet)................................................................................................................22
Figure 16 : géométrie de la cavité utilisée pour la démonstration.........................................................24
Figure 17 : différents exemples de cavités laser.......................................................................................27
Figure 18 : exemple de cavité laser complexe.........................................................................................27
Figures 19 et 20 : répartition spatiale de l'énergie dans les modes d'ordre supérieurs à symétrie
Figure 21 : répartition spatiale de l'énergie dans les modes d'ordre supérieurs à symétrie
Exercices sur les faisceaux gaussiens.......................................................................................
Optique Gaussienne : Étude de cas..........................................................................................
Figure 1 : schéma global du laser..............................................................................................................36
Figure 2 : schéma de la cavité ..................................................................................................................37
Figure 3: cavité dépliée...............................................................................................................................37
Figure 4 : caractéristiques du faisceau laser dans la cavité...................................................................39
Figure 5 : évolution du waist avec L...........................................................................................................41
Figure 6 : miroir de sortie..............................................................................................................................41
Figure 7 : position des modes longitudinaux.............................................................................................44
Sébastien ForgetSébastien Forget Cours Optique des Laser & faisceaux gaussiensCours Optique des Laser & faisceaux gaussiens
Optique des lasers & faisceaux gaussiens
A Introduction : les résonateurs ouverts
Les lasers sont par nature des résonateurs optiques. Ils sont principalement constitués de trois éléments essentiels :Un milieu amplificateur de lumière
Un système de pompage
Une cavité résonante
Les deux premiers points sont traités en détail dans une autre partie du cours (Grain "laserset applications»), L'objectif de ce cours est de traiter le troisième point, à savoir d'expliquer
comment agit une cavité résonante placée autour d'un milieu amplificateur et quelles sont les
propriétés du rayonnement laser liées à la présence de cette cavité. A.I Intérêt et description des résonateurs ouvertsLe rôle de la cavité laser est de permettre l'amplification répétée de l'onde optique grâce à un
système réfléchissant (la plupart du temps des miroirs). C'est aussi la cavité qui permet, via ses
pertes (un des miroirs utilisé n'est que partiellement réfléchissant), d'extraire le faisceau laser utile.
Enfin la géométrie de la cavité détermine en grande partie les caractéristiques spatiales et spectrales
du rayonnement laser émis.A.I.1 Pourquoi un résonateur ouvert ?
Le résonateur le plus simple que l'on puisse imaginer est une boite parallélépipédique(fermée, donc) dont toutes les parois sont métallisées. Cette cavité possède un certains nombre de
modes susceptibles d'osciller, et ces modes sont définis par les conditions aux limites sur les parois
pour les vecteurs d'ondes (un mode est associé à un vecteur d'onde kmnqavec
kx=m/a,ky=n/b,kz=q/det a, b, d les dimensions du parallélépipède).Si on insère un milieu amplificateur dans une telle cavité, les modes vont se mettre à osciller
et on aura amplification. Cependant, pour que l'onde produite soit cohérente, il faut que le nombre
de modes susceptibles d'osciller, c'est à dire compris dans la bande spectrale d'amplification du milieu amplificateur, soit faible. Si on calcule le nombre de modes dans cette bande de fréquence , on trouve qu'il estproportionnel au volume de la cavité et inversement proportionnel à la longueur d'onde au carré.
Numériquement, si la longueur d'onde vaut 10 cm (domaine des micro-ondes), alors une dizaine de modes sont susceptibles d'osciller dans une bande de 1GHz et une cavité de dimensionsraisonnables (10 cm de côté). Par contre, si la longueur d'onde appartient au domaine optique (par
exemple 1µm), alors on trouve pour cette cavité environ 1011 modes dans la même bande spectrale.
C'est pour cela que de tels résonateurs sont très bien adaptés pour réaliser des MASERS (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation) mais ne sont pas utilisables avecde la lumière visible : un trop grand nombre de modes vont osciller simultanément, ou, en d'autres
11Sébastien ForgetSébastien Forget Cours Optique des Laser & faisceaux gaussiensCours Optique des Laser & faisceaux gaussiens
termes, la taille de la cavité nécessaire pour obtenir un fonctionnement quasi-monomode est micrométrique.NB : avec la technologie actuelle, ce type de micro-cavité est réalisable - ce qui n'était pas le cas
en 1960 - néanmoins, le milieu amplificateur est dans ce cas trop petit pour espérer réaliser des
sources puissantes.Il est donc nécessaire de modifier la géométrie du résonateur : l'idée proposée et développée,
entre autre par Schallow et Townes dans les années 50, consiste à utiliser un résonateur quasi-
linéaire où une seule direction d'oscillation est permise : c'est le résonateur ouvert, constitué dans sa
forme la plus simple de deux miroirs face à face dans une configuration d'interféromètre de Fabry-
Pérot.
En première approche, les modes d'un tel résonateurs sont similaires à ceux décrits pour la
cavité fermée si on fait l'hypothèse que d>>a, b. Une telle structure réduit considérablement le
nombre de modes susceptibles d'osciller, comme on s'en rend compte avec le Fabry-Perot : tous lesrayons qui présentent un angle trop important par rapport à l'axe de la cavité vont rapidement sortir
de cette dernière. Dans le cas du Fabry-Perot, néanmoins, le moindre défaut de parallélisme va faire
sortir tout faisceau de la cavité après quelques aller-retours seulement. Pour qu'un laser fonctionne
efficacement, et que la cavité joue son rôle de filtre spatial et spectral, il faut que certains rayons
restent dans la cavité assez longtemps : on a besoin de cavité stables, nous y reviendrons.A.I.2 Description des résonateurs
La cavité la plus simple pouvant être stable est la cavité linéaire constituée de deux miroirs
face à face, de rayons de courbure R1 et R2, distants d'une distance d, et de diamètres respectifs D1 et
D2 (voir figure 1). Dans ce type de cavité, une onde stationnaire est formée. Elle peut également
contenir divers éléments optiques (des lentilles, des éléments polarisants, des composants actifs...) :
on appelle " cavité passive » la cavité sans son milieu amplificateur, par opposition à la cavité
active où le milieu amplificateur est présent. Figure 1 : Cavité linéaire et cavité en anneau 22Sébastien ForgetSébastien Forget Cours Optique des Laser & faisceaux gaussiensCours Optique des Laser & faisceaux gaussiens
NB: ce qui nous intéressera par la suite est le chemin optique [d] parcouru par la lumière lors d'un
aller-retour dans la cavité, Ce chemin optique est défini comme le produit de la distance parcourue
par l'indice de réfraction rencontré par la lumière.NB : un autre type de cavité répandu est la cavité en anneau (voir figure 1), où la lumière ne revient
pas sur elle-même mais forme une onde progressive. Dans ce cours, on se limitera en général à la
cavité linéaire, mais les raisonnements et les méthodes utilisées sont valables pour tout résonateur.
A.II Modes spectraux et modes longitudinaux
On peut définir les modes d'un résonateur ouvert en utilisant expressions bien connues pourles résonateurs fermés : dans le cas du parallélépipède définit par les longueurs de ses trois côtés a,
b et d, les fréquences mnqsont données par mnq=c2[m
a2 n b2 q d2 ]1/2 où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Dans le cas d'un résonateur ouvert, d>>(a,b) et en prenant a=b pour simplifier l'expression , on obtientmnq=qc2d[1n2m2
a2 d2 q2]1/2ou encore après développement limité
mnq≈qc2dm2n2cd
4qa2. On a ainsi une expression des fréquences des modes TEMmnq Les modes longitudinaux sont les modes TEM00q. Leur fréquences valentq=qc2det on
les appellent aussi parfois " modes spectraux » (voir figure 2). Figure 2 : modes longitudinaux et transverses dans une cavité résonante. 33Sébastien ForgetSébastien Forget Cours Optique des Laser & faisceaux gaussiensCours Optique des Laser & faisceaux gaussiens
Deux modes longitudinaux sont donc séparés de q=c2dsoit pour d=10 cm un écart
fréquentiel de 1,5 Ghz. Lorsqu'on parlera d'un laser " monomode longitudinal », on fera référence à
un laser ayant une fréquence bien définie (q fixé). Un seul mode longitudinal sera autorisé à
osciller, ce qui conférera au susnommé laser une grande pureté spectrale ainsi qu'une longueur de
cohérence importante. Les modes transverses sont les modes TEMmnq avec m et/ou n différents de zéro (et presquetoujours inférieurs à 10, rappelons que c'est le but du résonateur ouvert d'avoir un nombre de
mode réduit). Un laser est dit " monomode transverse » lorsque seuls les modes TEM00q lasent. L'intervalle spectral entre deux modes transverses de n et q fixés vaut m=2m1cd 4qa2 La répartition spectrale des modes longitudinaux et des premiers modes transverses est donnée sur la figure 2. On note que les modes m²+n²=constante sont dégénéré.NB : cette analyse est valable dans le cadre d'une approche " ondes planes ». On verra par la suite
que les expressions sont différentes pour des faisceaux gaussiens. Figure 3 : répartition spectrale des modes longitudinaux d'un laser. Ordres de grandeur : exemple d'application numérique. Quelle est la largeur spectrale d'un laser faiblement multimode ? Et d'un laser monomode ? 44Sébastien ForgetSébastien Forget Cours Optique des Laser & faisceaux gaussiensCours Optique des Laser & faisceaux gaussiens
Considérons une cavité de 15 cm de longueur optique. L'écart entre deux modes consécutifs est c/
(2L), soit ici 1 GHz. Si on considère que 5 modes sont susceptibles d'osciller (cas de la figure 3) on
obtient une largeur spectrale en fréquence de 5 GHz, ou encore en passant en longueur d'onde de17 pm. C'est bien inférieur à la résolution de la plupart des spectromètres : le laser apparaît
monochromatique (même si en toute rigueur il n'est pas monomode).Pour certaines applications (métrologie...) on a besoin de lasers plus fins spectralement : on peut
alors forcer le comportement monomode (par exemple en diminuant les pertes pour un seul des modes susceptibles d'osciller). La largeur spectrale obtenue est alors la largeur naturelle d'uneseule raie laser, qui dépend beaucoup du type de milieu laser employé (gaz, solide...), et dont
l'ordre de grandeur peut varier de quelques Hz au MHz et plus.B Stabilité des cavités laser
Nous allons décrire ici une approche simple fondée sur l'optique géométrique avant d'aborder la description plus exacte basée sur les équations de Maxwell (faisceaux gaussiens, paragraphe C).Nous considérerons des cavités passives, les cavités réelles pouvant en général au premier
ordre y être ramenées (en modélisant par exemple les effets thermiques dus à l'échauffement - créé
par l'absorption de la pompe - dans le milieu amplificateur par une simple lentille). Comme decoutume en optique géométrique, la propagation de la lumière sera donc décrite en termes de
" rayons » définis en chaque point d'une onde comme la normale au front d'onde. C'est aussi ladirection de propagation de l'énergie (colinéaire au vecteur de Poynting).Enfin on se limitera aux
systèmes centrés à symétrie axiale : la plupart des cavités réelles peuvent en première
approximation s'y ramener. On travaillera avec des rayons paraxiaux, c'est à dire quasi - parallèles à
l'axe optique Oz de la cavité. On pourra travailler en projection dans le plan yOz, les raisonnements
pouvant se répéter à l'identique dans xOz. B.I Structure périodique des cavités lasersConsidérons la cavité déjà décrite figure 1. Un rayon faisant des aller-retours dans cette
cavité peut être " déplié » selon Oz. Autrement dit, le trajet de la lumière peut être représenté
comme une succession d'allers simples de M1 à M2 puis de M2 à M1 etc. Il suffit pour cela dequotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] formulaire optique ondulatoire
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