[PDF] Asservissement des syst`emes linéaires `a temps continu Cours et

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Asservissement des syst`emes

lin´eaires `a temps continu

Cours et Exercices

Formation d"Ing

´enieurs en Partenariat - 1`ereann´ee

´Ecole Nationale Sup´erieure de Physique de Strasbourg

Universit

´e de Strasbourg

Edouard Laroche (laroche@unistra.fr)

Houssem Halalchi (Houssem.Halalchi@lsiit.u-strasbg.fr) http://eavr.u-strasbg.fr/ ~laroche/student

2009-2010

Table des mati`eres1 Introduction7

1.1 Notion de syst`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Propri´et´es des syst`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Syst`emes ´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Syst`eme du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.2 Syst`eme du deuxi`eme ordre . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Objectif de l"asservissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Mod´elisation15

2.1 Transform´ee de Laplace, fonctions de transfert . . . . . . . .. 15

2.1.1 Transform´ee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Propri´et´es des syst`emes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1 Stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.2 Gain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3 D´epassement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.4 Rapidit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Analyse fr´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1 R´egime harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2 Diagramme de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.3 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3.4 Diagramme de Black-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.3.5´Etude du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Repr´esentation d"´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.2´Equivalence avec la fonction de transfert . . . . . . . . 34

2.4.3 Propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

4TABLE DES MATI`ERES

2.5.1 Approche temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.2 Approche fr´equentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Asservissements analogiques 43

3.1 Introduction aux asservissements . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.2 Boucle ouverte ou boucle ferm´ee? . . . . . . . . . . . . 44

3.1.3 Principes g´en´eraux sur la synth`ese de correcteurs en

boucle ferm´ee (feedback) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.4 Lieu d"Evans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.5 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Analyse des syst`emes asservis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.1 Stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2.2 Rapidit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.3 Pr´ecision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.4 D´epassement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.5 Rejet de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3 M´ethodes de synth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.1 Les diff´erentes d´emarches . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.2 Correcteur proportionnel (P) . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.3 Correcteur proportionnel int´egral (PI) . . . . . . . . . 61

3.3.4 Correcteur proportionnel d´eriv´e (PD) . . . . . . . . . . 65

3.3.5 Correcteur PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.6 Correcteur `a avance de phase . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.7 Correcteur `a retard de phase . . . . . . . . . . . . . . . 67

A D´ecomposition en ´el´ements simples 69

Liste des exercices

1 Transform´ee de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Fonctions de transfert d"un moteur `a courant continu . . . . .. . 20

3 Crit`ere de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 D´epassement d"un syst`eme du second ordre . . . . . . . . . . . . 24

5 Temps d"´etablissement de syst`emes du premier ordre . . . . . . . 26

6 Diagramme de Bode d"un syst`eme du premier ordre . . . . . . . . 29

7 Trac´e du diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8 Gain du second ordre `a la r´esonance . . . . . . . . . . . . . . . . 33

TABLE DES MATI`ERES5

9 Fonction de transfert d"un syst`eme d"´etat . . . . . . . . . . . . . . 34

10 Mod`ele d"un moteur `a courant continu . . . . . . . . . . . . . . . 35

11 Syst`eme masses-ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

12 Identification d"un syst`eme du second ordre amorti . . . . . . . .39

13 Identification d"un syst`eme du second ordre oscillant . . . . . .. 39

14 Identification fr´equentielle d"un syst`eme du premier ordre . . . . . 41

15 Identification fr´equentielle d"un syst`eme du second ordre. . . . . 41

16 Correcteur TOR `a hyst´er´esis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

17 Variateur de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

18 Marge de phase et d´epassement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

19 Correction prop. d"un syst`eme du premier ordre . . . . . . . . . .60

20 Correcteur prop. d"un syst`eme du second ordre . . . . . . . . . . 61

21 Correcteur PI pour syst`eme du premier ordre . . . . . . . . . . . 62

22 Asservissement PI d"un syst`eme du second ordre . . . . . . . . . . 62

23 Correction PI d"un syst`eme `a retard . . . . . . . . . . . . . . . . 63

24 Correcteur PD et syst`eme du second ordre . . . . . . . . . . . . . 65

25 Correction `a avance de phase pour int´egrateur double . . .. . . . 66

26 D´ecomposition en ´el´ements simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6TABLE DES MATI`ERES

"C"est le rˆole essentiel du professeur d"´eveiller la joiede travailler et de connaˆıtre." (Albert Einstein)

Chapitre 1Introduction1.1 Notion de syst`eme

Consid´erons un syst`eme sur lequel on mesure le signaly(t) appel´esignal de mesureet sur lequel on peut fixer arbitrairement le signalu(t) appel´e signal de commande. Dans le cas pr´esent, les signaux sont `atemps con- tinu. Il existe ´egalement des syst`emes `a temps discret faisant intervenir les signaux ´echantillonn´esuk=u(kTe) etyk=y(kTe) o`uTeest la p´eriode d"´echantillonage. Les syst`emes `a temps continu sont mod´elis´es par une´equation diff´erentielle liantu(t) ety(t) alors que les syst`emes `a temps discret sont mod´elises par une ´equation aux r´ecurrences de la formeyk=f(yk-1,yk-2,···,uk,uk-1,···).

1.2 Propri´et´es des syst`emes

Consid´erons dans un premier temps que l"entr´eeu(t) est constante.

D´efinition (Point d"´equilibre)

Le syst`eme est dans un ´etat d"´equilibre si, plac´e dans cet´etat, il ne quitte pas. La valeur du signal de mesure est alors constante.

D´efinition (Stabilit´e)

Un ´etat d"´equilibre est stable si, lorsqu"on ´eloigne le syst`eme de cet ´etat, il finit par y revenir. Dans le cas contraire, le point d"´equilibre est instable. 7

8CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Dans certain cas, cette propri´et´e de stabilit´e n"est valable que si l"´eloigne- ment est faible; on parle alors destabilit´e locale. Si au contraire le syst`eme retourne dans son ´etat d"´equilibre quelque soit l"amplitude de la perturbation, on parle alors destabilit´e globale.

Propri´et´e (Stabilit´e d"un syst`eme)

Un ´equilibre globalement stable est unique. On dit alors quele syst`eme est stable. Si le syst`eme avait deux´equilibres globaux, vers lequel irait il si on le d´epla¸cait de l"un des points d"´equilibre?

Propri´et´e (Lin´earit´e)

Un syst`eme est lin´eaire s"il v´erifie les conditions de lin´earit´e suivantes. Soit y

1(t)la trajectoire de la sortie pour une commandeu1(t); soity2(t)la tra-

jectoire de la sortie pour une commandeu2(t); soity3(t)la trajectoire de la sortie pour une commandeu3(t) =λu1(t)et soity4(t)la trajectoire de la sortie pour une commandeu4(t) =u1(t) +u(2). Les conditions de lin´earit´e sont : y

3(t) =λy1(t) (1.1)

y

4(t) =y1(t) +y2(t) (1.2)

1.3 Syst`emes ´el´ementaires

1.3.1 Syst`eme du premier ordre

Soit un syst`eme du premier ordre r´egit par une ´equation diff´erentielle de la forme

τy(t) +y(t) =Ku(t) (1.3)

La r´eponse `a un ´echelonu(t) `a partir d"une condition initiale nulle est : y(t) =K(1-exp(-t/τ)) (1.4) Il s"agit d"une exponentielle partant de 0 `at= 0 et se stabilisant `ay(t) =K. Son d´epassement est nul; le temps de mont´e `a 5 % est ´egal `a 3τ(ln(0.05)≂= -3,0).

1.3. SYST`EMES´EL´EMENTAIRES9

1.3.2 Syst`eme du deuxi`eme ordre

Soit un syst`eme du deuxi`eme ordre r´egit par une ´equation diff´erentielle de la forme : ¨y(t) + 2ξω0y(t) +ω20y(t) =ω20Ku(t) (1.5) o`uω0(rad/s) est appel´ee pulsation propre,ξ(sans unit´e) est appel´e amor- tissement etK(unit´es [y]/[u] d´ependant des unit´es deuet dey) est le gain statique. L"´equation associ´ee s"´ecrit : r

2+ 2ξω0r+ω02= 0 (1.6)

Le discriminent r´eduit s"´ecrit :

Δ = (ξω0)2-ω02= (ξ2-1)ω02(1.7)

Les racines de (??) sont alors r´eelles si˜Δ≥0, c"est-`a-dire siξ≥1; elles sont

imaginaires dans le cas contraire.

Deuxi`eme ordre amorti

Dans le cas o`u les racines sont r´eelles et s"´ecrivent : r

1=-ξω0+?

ξ2-1ω0,(1.8)

r

2=-ξω0-?

ξ2-1ω0,(1.9)

la solution g´en´erale de l"´equation sans second membre s"´ecrit alors : y

1(t) =λexp(r1t) +μexp(r2t) (1.10)

Notons quer1etr2sont toutes deux n´egatives; l"exponentielle tend donc vers z´ero. Une solution particuli`ere constante de l"´equation sans secondmembre peut ˆetre facilement trouv´ee : y

0(t) =K(1.11)

En additionnant la solution particuli`ere et l"´equation g´en´erale de l"´equation sans second membre, on obtient la solution g´en´erale de l"´equation compl`ete : y(t) =λexp(r1t) +μexp(r2t) +K(1.12)

10CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Cherchons maintenant la solution v´erifiant les conditions initiales suivantes : y(0) = 0 (1.13) y(0) = 0 (1.14)

La d´eriv´ee de la solution s"´ecrit :

y(t) =λr1exp(r1t) +μr2exp(r2t) (1.15)

Les C.I. s"´ecrivent alors :

λ+μ+K= 0 (1.16)

λr

1+μr2= 0 (1.17)

Dont les solutions sont :

λ=Kr2

r1-r2(1.18)

μ=-Kr1

r1-r2(1.19)

La solution s"´ecrit alors :

y(t) =K(1 +r2 r1-r2exp(r1t)-r1r1-r2exp(r2t)) (1.20)

Sa d´eriv´ee est :

y(t) =Kr1r2 r1-r2(exp(r1t)-exp(r2t)) (1.21) et y(t) est alors positive pourt≥0, ce qui signifie quey(t) est croissante. La r´eponse `a un ´echelon est donc une courbe croissante qui se stabilise `a la valeurK. Cette courbe a un point d"inflexion pour ¨y(ti) = 0. Avec :

¨y(t) =Kr1r2

r1-r2(r1exp(r1t)-r2exp(r2t)),(1.22) on observe que la d´eriv´ee seconde n"annule entiv´erifiant : r

1exp(r1t)-r2exp(r2t),(1.23)

soit t i=1 r1-r2lnr2r1.(1.24)

1.3. SYST`EMES´EL´EMENTAIRES11

Deuxi`eme ordre oscillant

Dans le cas o`u les racines sont complexes conjug´ees et s"´ecrivent : r

1=-a+jω1,(1.25)

r

2=-a-jω1,(1.26)

avec a=ξω0(1.27) 1=?

1-ξ2ω0,(1.28)

o`uω1est la pseudo-pulsation de la r´eponse, li´ee `a la p´eriode des oscillations T c=2π ω1. La solution g´en´erale de l"´equation sans second membre s"´ecrit alors : y

1(t) = exp(-at)(λcos(ω1t) +μsin(ω1t)) (1.29)

Notons queaest positif; l"exponentielle tend donc vers z´ero. Une solution particuli`ere constante s"´ecrity0(t) =K. La solution g´en´erale de l"´equation est donc : y(t) =K+ exp(-at)(λcos(ω1t) +μsin(ω1t)) (1.30) Reste `a d´eterminer les constantesλetμd"apr`es les conditions initiales (1.13-

1.14). On a :

y(t) =-aexp(-at)(λcos(ω1t) +μsin(ω1t)) (1.31) +ω1exp(-at)(-λsin(ω1t) +μcos(ω1t)) (1.32) = exp(-at)((-aλ+ω1μ)cos(ω1t)-(ω1λ+aμ)sin(ω1t))(1.33)

Les conditions initiales s"´ecrivent alors :

y(0) =K+λ= 0 y(0) =-aλ+ω1μ= 0(1.34) ce qui donne :

λ=-K(1.35)

μ=-Ka

ω1(1.36)

12CHAPITRE 1. INTRODUCTION

ce qui donne comme solution finale : y(t) =K?

1-exp(-at)?

cos(ω1t) +a

ω1sin(ω1t)??

(1.37)

La vitesse s"´ecrit alors :

y(t) =Ka2+ω21

ω1exp(-at)sin(ω1t) (1.38)

Elle est du signe du terme sin(ω1t). Elle est d"abord positive det= 0 `a t

1=π

ω1puis n´egative det1`a2πω1. Le signal atteint donc un maximum `at1en : y(t1) =K?

1 + exp?

?1-ξ2?? (1.39) soit un d´epassement relatif (y(t1)-y(∞))/(y(∞)-y(0)) de :

D= exp?

?1-ξ2? (1.40)

1.4 Objectif de l"asservissement

Un syst`eme dynamique peut ˆetre caract´eris´e par diff´erentes qualit´es : sa rapidit´e, le fait d"ˆetre plus ou moins amorti. Le but de l"asservissement est de contraindre le syst`eme `a se comporter d"une mani`ere particuli`ere. Il n"est pas possible physiquement d"obtenir d"un syst`eme qu"il r´eponde de mani`ere instantan´ee. On peut cependant le contraindre `a r´epondreplus rapidement.

On peut aussi limiter son d´epassement.

Dans le choix de laloi de commande, il faudra ´egalement s"assurer que le syst`eme asservi poss`ede un niveau derobustessesuffisant. Par robustesse, on entend la capacit´e `a garder certaines propri´et´es malgr´e des variation de l"environnement. Typiquement, en automatique, le comportement du syst`eme est connu avec une pr´ecision limit´ee; de plus, son comportemetpeu ´evoluer en fonction de condition ext´erieure ou de son vieillissement.Il importe que les performances du syst`eme asservi ne se d´egrade pas trop en pr´esence de ces variations de comportement.

1.4. OBJECTIF DE L"ASSERVISSEMENT13

0510150

0.5 1 1.5 Réponse à un échelon unitaire de 1/(p2+2 ξ p+1)

Temps (s)

Fig.1.1 - R´eponse temporelle de syst`emes du second ordre (ξ= 0.25, 0.5,

0.707, 1 et 2)

14CHAPITRE 1. INTRODUCTION

Chapitre 2Mod´elisation

Dans cette partie, on s"int´eresse `a la d´etermination de mod`eles math´ema- tique pour des syst`emes lin´eaires stationaires (on parle ausside syst`emes lin´eaire `a temps invariant, not´es LTI en anglais). Les mod`eles peuvent ˆetre abord´es sous trois formes `a peu pr`es ´equivalentes : l"´equation diff´erentielle, la fonction de transfert et le mod`ele d"´etat.

2.1 Transform´ee de Laplace, fonctions de trans-

fert

2.1.1 Transform´ee de Laplace

D´efinition

Pour un signal `a temps continux(t), on d´efinit sa transform´ee de Laplace par le signalX(s) o`usest appel´ee variable de Laplace1, avec :

X(s) =?

0 x(t)exp(-st)dt(2.1) A partir deX(s), on revient au signal de d´epart par une transform´ee de

Laplace inverse :

x(t) =1

2jπ?

j∞ s=-j∞X(s)exp(st)ds(2.2)

1La variable de Laplace est not´essoupsuivant les conventions.

15

16CHAPITRE 2. MOD´ELISATION

h(t) H(s)

δ(t)1

u(t) 1 s u(t-T) exp(-Ts) s tu(t) 1 s2 t n n!u(t) 1 sn+1 exp(-at)u(t) 1 s+a (1-exp(-at))u(t) a s(s+a) sin(ωt)u(t) s2+ω2 cos(ωt)u(t) s s2+ω2 sinh(at)u(t) a s2-a2 cosh(at)u(t) s s2-a2 exp(-at)sin(ωt)u(t) (s+a)2+ω2 exp(-at)cos(ωt)u(t) s+a (s+a)2+ω2quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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