[PDF] Chapitre 1 - Intégration et calcul de primitives

Chapitre 1

Integration et calcul de primitives

1.1 Denitions

Denition 1.1.1.

Sia { positive :Rb af(x)dxest l'aire (en unite d'aire) de la surface limitee par les droites d'equationsy=0;x=aetx=bet la courbe representative de la fonctionfsur[a;b] { de signe quelquonqueRb af(x)dxest l'aire algebrique de cette m^eme surface.

Sia>bRb

af(x)dx:=Rb af(x)dx

Examples 1.1.2.

R1

2xdx=1+12

=12 {R1

2jxjdx=1+12

=32

1.2 Proprietes

Propriete 1.2.1(Linearite de l'integrale).

Sif;gfonctions continues sur[a;b]etk2RalorsRb

af(x)dx=Rb af(x)dx+kRb ag(x)dx

Propriete 1.2.2(Relation de chasles).

Siffonction continue surIcontenanta;betcalorsRb

af(x)dx=Rc af(x)dx+Rd cf(x)dx

1.3 Notion de primitive

Denition 1.3.1.

SoientfetFdeux fonctions denies surIintervalle, on suppose, de plus queFest derivable surI.Fest une primitive def

surIsi8x2I,F0(x)=f(x) Remarque 1.3.2.Fprimitive defsurIalors pour tout reelc,F+cest une primitive defsurI. Theoreme 1.3.3(Lien entre integrale et primitive).

Soientfcontinue surIintervalle eta2I

1. La fonctionFdenie surIparF(x)=Rx

af(t)dtest une primitive defsurI

2. SoitGune primitive defsurIalors8x2I;Rx

af(t)dt=G(x)G(a) Consequences 1.3.4.1. Toute fonction continue admet une primitive sur un intervalle.

2. Si on connait une primitive defalors le calcul deRb

af(t)dtse fait a l'aide de cette primitive. En particulier, sigest derivable sur[a;b],Rb ag0(x)dx=g(b)g(a)

Remarque 1.3.5.

{x7!Rx af(t)dtest la primitive defsurIqui s'annule ena. {Rf(x)dxdesignera une primitive def 1

1.4 Tableau de primitives usuelles

Par lecture inverse du tableau des deriveesFff

0x+c10

x n+1n+1x nsurRnx n1;n1 1n11x n1+c;n11 x nsur] 1;0[ou]0;+1[n1x n+1;n1lnjxj+c1 x sur] 1;0[ou]0;+1[ 1x 2e x+ce xsurRe x1

1+x+1+cx

sur]0;+1[x1sin x+ccos x surRsin xcos x+csin x surRcos x

Primitive et composition :

fF u

0(x)exp(u(x))exp(u(x))u

0(x)u(x)lnju(x)ju

0(x)1p

u(x)2 pu(x)u

0(x)(u(x))n(u(x))n+1n+1::::u

0(x)g(u(x))G(u(x))ou G primitive de gExercices d'application :

Calculer les integrales suivantes :

1.R2

1(x+3)dx

2.R2 1x2dx 3.R 2 cos xdx 4. R2

111+xdx

5.R2

11px+1dx

6. R1

02e2x1dx

7.R

02cos(2x)dx

1.5 Methodes de calculs de primitives

1.5.1 Formule d'integration par parties

On se donneIun intervalle contenantaetb,uetvfonctions de classeC1surI

La formule d'integration par parties est donc :

R b a(uv)0(x)dx=[uv]baRb a(u0v)(x)dx =(uv)(b)(uv)(a)Rb a(u0v)(x)dx

Remarque 1.5.1.

On note que la formule provient simplement du fait que(uv)0=u0v+uv0 on a

Ruv0dx=uvRu0vdx

Examples 1.5.2.

R

0xsin xdx=[xcos x]

0R

0cos xdx

= +[sin x] 0= avecu=x u0=1 v

0=sin x v=cos x

Exercices d'application courant :

{ CalculerR1

0x2exdx.

{ CalculerR 2

Ocos xexdx.

1.5.2 Formule de changement de variable

On se donneIun intervalle contenantaetb,ude classeC1surI,fcontinue surJ=u(I)alors Z b a f(u(x))u0(x)dx=Z u(b) u(a)f(t)dt Demonstration.SiFdesigne une primitive defalorsFuest une primitive de(fu)u0donc Z b a f(u(x))u0(x)dx=F(u(b))F(u(a))=Z u(b) u(a)f(t)dt Remarque 1.5.3.Dans le cas particulier ouu(x)=ax+bla primitive dex7!f(u(x))=f(ax+b)estx7!1a

F(ax+b)

Examples 1.5.4.

R 4

0tan xdx=R

4

0sin xcos x

dx=R 4 0cos

0xcos x

dx =Rcos4 cos0dtt =Rp2 2 1dtt =R1p2 2 dtt =ln1ln(p2 2 =0ln(1p2 )=ln22

1.6 Integrale generalisee

Denition 1.6.1.

1. Soitfune fonction continue sur[a;+1[.

On poseI(T) :=RT

af(x)dx. SilimT!1I(T)existe alorsR+1 af(x)dx=limT!+1I(T).

2. Sifest continue sur] 1;a],Ra

1f(x)dx=limR!1R

a

Rf(x)dx.

3. Sifest continue surR, soita2RalorsR+1

1f(x)dx=limT!+1RT

af(x)dx+limP!1R a

Pf(x)dx(independant dea).

Exercice d'application :CalculeR+1

0exp(2x)dx

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