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IPP - Méthode et conseils

On cherche à calculer une intégrale ou à déterminer une primitive (la fonction à intégrer ressemble souvent à un produit)

Notation :

Si f est une fonction définie en a et b, on note [f(x)]b a = f(b) - f(a).

En particulier,

⌡⌠ab f(x)dx = F(b) - F(a) = [F(x)]ba avec les conditions et notations habituelles. Théorème : si u et v sont 2 fonctions dérivables sur [a ;b], alors ⌡⌠ab u"(x).v(x)dx = [u(x).v(x)] b a - ⌡⌠ab u(x).v"(x)dx Corollaire : (autre façon de formuler un théorème) Si f est une fonction s"écrivant f = u".v avec u et v 2 fonctions dérivables sur I, Alors pour tout x de I (on suppose aussi a є I), l"unique primitive de f qui s"annule en a est :

F(x) = ⌡⌠a x f(t) dt = [u(t).v(t)]x

a - ⌡⌠a x u(t).v"(t) dt.

Preuve :

Puisque u et v sont dérivables, on a (u.v)" = u".v + v".u soit u".v = (u.v)" - v"u. Or :

L"unique primitive de u".v qui s"annule en a est

⌡⌠a x u"(t).v(t)dt L"unique primitive de (u.v)" qui s"annule en a est u.v(x) - u.v(a) = [u.v(x)] b a

L"unique primitive de u".v qui s"annule en a est

⌡⌠a x u"(t).v(t)dt D"où le résultat.

Remarque :

le choix de u est à priori multiple, en tant que primitive de u" ; mais une autre primitive de u" serait du type u + c.

Exercice : prouver que cette primitive n"influe pas sur le résultat. On choisit en pratique c = 0.

Application :

calculer ⌡⌠1 2 x.ln(x) dx.

Conseils : la difficulté de l"IPP réside dans le choix de u et v. Il est indispensable d"écrire leurs valeurs ainsi que celles de

leurs dérivées.

Ici on a 2 possibilités " évidentes » :

Soit u"(x) = x et v(x) = ln(x) u(x) = 1 2 x² et v"(x) = 1 x

Alors :

⌡⌠1 2 x.ln(x)dx = [1

2x².ln(x)]2

1 - ⌡⌠1 2 1

2 x dx = 2ln 2 - [ 1 4 x²]21 = 2 ln2 - 3 4 Inversement, v a été bien choisie car sa dérivée est plus que la fonction elle - même Soit u"(x) = ln (x) et v(x) = x u(x) = ??? et v"(x) = 1 On est bloqué... : le choix de u impose que l"on en connaisse une primitive facilement.

Autre exemple :

calculer ⌡⌠ ln(x)dx. Indication : c"est bien une IPP ! Face à ce type (relativement courant) de problème, la

solution vient en écrivant ln(x) = 1.ln(x) A partir de ce résultat, vous pouvez essayer de reprendre le calcul précédent.

EXERCICE :

il n"y a pas seulement des IPP. A = ⌡?⌠1 3 2 ln x x² dx B = ⌡⌠0 π (x - 1) sin(3x) dx C = ⌡⌠ln 2ln 3 t.e t dt D = ⌡⌠-10 (-2x + 1)e -xdx ⌡⌠ (x

3 - 6x² + x)

x - 1 ln (x - 1)dx

Les astucieuses et donc faciles

E =

⌡⌠0π sin²(x) dx (f.trigo.) F = ⌡⌠-55 sin(x)5cos(x)18 dx (parité) G = ⌡⌠0 1 1

x - 2dx H = ⌡⌠0 2π tan (t) dt

Doubles IPP :

I = ⌡⌠0 1 x²e

xdx J = 4 3π 4 ex cos(x) dx

Avec des suites :

· L

n = ⌡⌠0 π 2 e - nx cos(x) dx et Mn = ⌡⌠0 π 2 e - nx sin(x) dx. Prouver que : Mn = 1 - n.Ln et Ln = e - n. π

2 + n Mn. En

déduire L n et Mn en fonction de n

· K

n 1 = ⌡⌠1 e (ln x)n dx. Prouver que Kn = e - nKn - 1 . On ne demande pas plus

Volumes de solides de révolution

Un solide de révolution est un solide engendré par la rotation d"une courbe autour d"un axe.

Le volume d"un solide de révolution déterminée par la courbe représentant Cf entre a et b peut se calculer en " empilant des

disques » : V = π ⌡⌠a b f ²(x) dx

Calculer les volumes engendrés par les courbes représentant les fonctions suivantes : interpréter géométriquement.

f(x) = R² - x² sur [-R ;R] g(x) = R sur [o ;h] h(x) = -1 2 x + 3 sur [0 ; 6] i(x) = e-x cos(x)

Réponses :

A = 2 3ln(2 3 ) + 1

3 B = π

3 - 2 3

C = 3 ln(3) - 2 ln(2) - 1 D = e + 1

Δ = -2 ln(x - 1)² + 2x

3 - 15x² - 24x + 37

6 ln (x - 1) - x

3

9 + 13x²

12 + 37x

6 E = π

2 (linéariser sin²(x))

F = 0 car

⌡⌠-5 0 .. = - ⌡⌠0 5 .. car la fonction est impaire G = -ln (2) attention au domaine de définition

H n"existe pas (tan pas continue sur [0 ; 2π]) I = e - 2 J = 0 M n = 1 - n.e - n π 2

1 + n² Ln = n + e

- n. π 2

1 + n²

V f = 4

3πR3 (volume d"une sphère : rotation d"un demi cercle de rayon R).

V g = π r².h (volume d"un cylindre, obtenu par rotation d"un segment autour d"un axe). V h = 18π (volume d"un cône) Vi = π 8 ( 3 - e -π ) voir L et M.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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