Chapitre 1 - Intégration et calcul de primitives
F primitive de f sur I alors pour tout ré`el c F + c est une primitive de f sur On note que la formule provient simplement du fait que (uv) = u v + uv.
Tableaux des primitives usuelles Toutes les primitives de ces
29 avr. 2010 Tableau des primitives des fonctions usuelles. Fonction f ... f = uv'. F (x) = ? a x u t v ' t d t = [u t v t ]a.
Fiche : Dérivées et primitives des fonctions usuelles - Formulaire
En particuliersi u > 0 : ?a ? R
cours integrale IPP.pdf
On cherche à calculer une intégrale ou à déterminer une primitive (la L'unique primitive de (u.v)' qui s'annule en a est u.v(x) – u.v(a) = [u.v(x)] ba.
Primitives
retrouver la fonction primitive qui était à l'origine de nos calculs. (uv) = u v + uv donc uv est une primitive de u v + uv qui est continue sur [a
FORMULAIRE DERIVEES ET PRIMITIVES USUELLES
u v ? uv v2. 2) Dérivées et primitives des fonctions usuelles. Le tableau suivant donne les domaines de dérivabilité et les dérivées des fonctions usuelles
Chapitre 7 Calcul de primitive
Exemples : La fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur Or uv est une primitive de (uv) sur [a
Primitives et intégration
b a u v + uv = [uv]b a et avec la linéarité on obtient la formule voulue. Exemple. Calculer ? x. 0 t sin t dt. Solution :.
Intégration sur un segment
Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I. Commençons par remarquer que u v et uv sont continues comme produit de fonctions ...
Compléments sur lintégration et les primitives
27 févr. 2017 Il faut parfois penser à la dérivation du produit : (uv)? = u?v + uv?. Soit la fonction définie sur R par f(x) = sin x + x cos x.
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29 avr 2010 · Toutes les primitives de ces tableaux s'obtiennent à partir de la connaissance parfaite des formules de dérivation et les résultats se
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Formulation mnémotechnique : ? u dv = uv ? ? v du 1 1 Deux techniques d'intégration a) Intégration par parties Exemple 1 2 (Polynôme-
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fonctions u v et uv le sont également et poss`edent donc des primitives sur I Puisque uv est dérivable de dérivée (uv) = u v + uv la fonction uv est
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Théor`eme Soient u et v deux fonctions dérivables sur l'intervalle I Si u v admet une primitive alors uv admet une primitive et on a
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CHAPITRE 7 CALCUL DE PRIMITIVE Or uv est une primitive de (uv) sur [a b] donc b a (uv) (x)dx = [u(x)v(x)]b a On a donc la propriété suivante :
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1 mai 2009 · Les primitives de la fonction x x sont les fonctions x uV – vU V 2 U V "J'ai toujours pensé qu'il n'avait pas assez
Quel est la primitive de UV ?
Re: primitive de la forme uv
Ma fonction est (x^2/2)*e^x.Comment intégrer UV ?
Cette méthode consiste à "transporter" le calcul d'une primitive sur une autre fonction. Soient u et v deux fonctions 2 fois dérivables sur un intervalle I ( condition suffisante ) . u'v + uv' ( qui est dérivable, donc admet une primitive ) on a donc : d'où le résultat en utilisant la linéarité de l'intégrale.Quelle est la primitive de 1 sur U ?
L'intégrale de 1u par rapport à u est ln(u) . La réponse est la dérivée première de la fonction f(u)=?1u f ( u ) = - 1 u .- Autrement dit la dérivée de 2/3 x^(3/2) c'est ?x. ? nous dit donc que F(x) = 2/3 x^(3/2) est une primitive racine de x.
Chapitre 1
Integration et calcul de primitives
1.1 Denitions
Denition 1.1.1.
Sia { positive :Rb af(x)dxest l'aire (en unite d'aire) de la surface limitee par les droites d'equationsy=0;x=aetx=bet la courbe representative de la fonctionfsur[a;b] { de signe quelquonqueRb af(x)dxest l'aire algebrique de cette m^eme surface. Sia>bRb
af(x)dx:=Rb af(x)dx Examples 1.1.2.
R1 2xdx=1+12
=12 {R1 2jxjdx=1+12
=32 1.2 Proprietes
Propriete 1.2.1(Linearite de l'integrale).
Sif;gfonctions continues sur[a;b]etk2RalorsRb
af(x)dx=Rb af(x)dx+kRb ag(x)dx Propriete 1.2.2(Relation de chasles).
Siffonction continue surIcontenanta;betcalorsRb
af(x)dx=Rc af(x)dx+Rd cf(x)dx 1.3 Notion de primitive
Denition 1.3.1.
SoientfetFdeux fonctions denies surIintervalle, on suppose, de plus queFest derivable surI.Fest une primitive def
surIsi8x2I,F0(x)=f(x) Remarque 1.3.2.Fprimitive defsurIalors pour tout reelc,F+cest une primitive defsurI. Theoreme 1.3.3(Lien entre integrale et primitive).Soientfcontinue surIintervalle eta2I
1. La fonctionFdenie surIparF(x)=Rx
af(t)dtest une primitive defsurI2. SoitGune primitive defsurIalors8x2I;Rx
af(t)dt=G(x)G(a) Consequences 1.3.4.1. Toute fonction continue admet une primitive sur un intervalle.2. Si on connait une primitive defalors le calcul deRb
af(t)dtse fait a l'aide de cette primitive. En particulier, sigest derivable sur[a;b],Rb ag0(x)dx=g(b)g(a)Remarque 1.3.5.
{x7!Rx af(t)dtest la primitive defsurIqui s'annule ena. {Rf(x)dxdesignera une primitive def 11.4 Tableau de primitives usuelles
Par lecture inverse du tableau des deriveesFff
0x+c10
x n+1n+1x nsurRnx n1;n1 1n11x n1+c;n11 x nsur] 1;0[ou]0;+1[n1x n+1;n1lnjxj+c1 x sur] 1;0[ou]0;+1[ 1x 2e x+ce xsurRe x11+x+1+cx
sur]0;+1[x1sin x+ccos x surRsin xcos x+csin x surRcos xPrimitive et composition :
fF u0(x)exp(u(x))exp(u(x))u
0(x)u(x)lnju(x)ju
0(x)1p
u(x)2 pu(x)u0(x)(u(x))n(u(x))n+1n+1::::u
0(x)g(u(x))G(u(x))ou G primitive de gExercices d'application :
Calculer les integrales suivantes :
1.R21(x+3)dx
2.R2 1x2dx 3.R 2 cos xdx 4. R2111+xdx
5.R211px+1dx
6. R102e2x1dx
7.R02cos(2x)dx
1.5 Methodes de calculs de primitives
1.5.1 Formule d'integration par parties
On se donneIun intervalle contenantaetb,uetvfonctions de classeC1surILa formule d'integration par parties est donc :
R b a(uv)0(x)dx=[uv]baRb a(u0v)(x)dx =(uv)(b)(uv)(a)Rb a(u0v)(x)dxRemarque 1.5.1.
On note que la formule provient simplement du fait que(uv)0=u0v+uv0 on aRuv0dx=uvRu0vdx
Examples 1.5.2.
R0xsin xdx=[xcos x]
0R0cos xdx
= +[sin x] 0= avecu=x u0=1 v0=sin x v=cos x
Exercices d'application courant :
{ CalculerR10x2exdx.
{ CalculerR 2Ocos xexdx.
1.5.2 Formule de changement de variable
On se donneIun intervalle contenantaetb,ude classeC1surI,fcontinue surJ=u(I)alors Z b a f(u(x))u0(x)dx=Z u(b) u(a)f(t)dt Demonstration.SiFdesigne une primitive defalorsFuest une primitive de(fu)u0donc Z b a f(u(x))u0(x)dx=F(u(b))F(u(a))=Z u(b) u(a)f(t)dt Remarque 1.5.3.Dans le cas particulier ouu(x)=ax+bla primitive dex7!f(u(x))=f(ax+b)estx7!1aF(ax+b)
Examples 1.5.4.
R 40tan xdx=R
40sin xcos x
dx=R 4 0cos0xcos x
dx =Rcos4 cos0dtt =Rp2 2 1dtt =R1p2 2 dtt =ln1ln(p2 2 =0ln(1p2 )=ln221.6 Integrale generalisee
Denition 1.6.1.
1. Soitfune fonction continue sur[a;+1[.
On poseI(T) :=RT
af(x)dx. SilimT!1I(T)existe alorsR+1 af(x)dx=limT!+1I(T).2. Sifest continue sur] 1;a],Ra
1f(x)dx=limR!1R
aRf(x)dx.
3. Sifest continue surR, soita2RalorsR+1
1f(x)dx=limT!+1RT
af(x)dx+limP!1R aPf(x)dx(independant dea).
Exercice d'application :CalculeR+1
0exp(2x)dx
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