Séries numériques
Montrer que la suite de terme général converge et calculer sa somme. Allez à : Correction exercice 15. Exercice 16. Etudier la convergence des séries de
Séries
Cette série est-elle convergente ? Si c'est possible calculer la somme S et les restes Rn. 2. Mêmes questions avec ?k?0(?1)
SERIES NUMERIQUES
Exercice 2. Calculer le nombre 0297297 …
Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques
ou complexes et éventuellement
Séries numériques Somme dune série
Calculer alors sa somme. Convergence ssi a = ?2 b =1; S = ?1. Exercice 3. Justifier l'égalité :.
Les séries de Fourier
d'une fonction périodique pour calculer la somme d'une série numérique. l'on a une décomposition de s(t) en somme de fonctions trigonométriques :.
Chapitre 3 - Séries de Fonctions
spécifiques et l'on peut résumer l'étude d'une série numérique par Autrement dit
Séries numériques
29?/04?/2014 Le fait de calculer la somme d'une série à partir de n = 0 est purement conventionnel. On peut toujours effectuer un changement d'indice ...
L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques
Montrer par comparaison avec une intégrale
Séries
connaissant la nature de la série de terme général un puis en calculer la somme en cas de convergence. Correction ?. [005698]. Exercice 12 ****.
[PDF] [PDF] Séries - Exo7 - Cours de mathématiques
Le fait de calculer la somme d'une série à partir de k = 0 est purement conventionnel On peut toujours effectuer un changement d'indice pour se ramener à
[PDF] Séries numériques - Licence de mathématiques Lyon 1
Montrer que la suite de terme général converge et calculer sa somme Allez à : Correction exercice 15 Exercice 16 Etudier la convergence des séries de
[PDF] Séries numériques
29 avr 2014 · On dit que la série ? un converge vers s si la suite des sommes partielles converge vers s qui est appelée somme de la série +? ? n=0 un =
[PDF] Calcul numérique de sommes de séries
Quand la série converge suffisament rapidement il suffit de calculer Sn = ? de (uk)k?N telle que ?uk converge ait même somme (éventuellement à une
[PDF] L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques
Exercices corrigés sur les séries numériques Exercice 3 Calculer la somme des séries Exercice 6 (1) Montrer que la série de terme général un = n
[PDF] Séries numériques Somme dune série
Séries numériques Somme d'une série Exercice 1 Calculer les sommes partielles des séries ? un En déduire leur nature et leur somme si elle existe :
[PDF] SERIES NUMERIQUES
Soient ? un et ? vn deux séries convergentes La série somme ? (un + vn) est convergente et on a ? n = 0
[PDF] Sommaire 1 Convergence des Séries Numériques
Il est quand même rare de savoir calculer facilement la somme exacte d'une série numérique Ce qui fait l'importance du calcul approché de ces sommes 7 1
[PDF] Séries numériques (résumé de cours)
On peut définir de même la notion de convergence de la série ?n?p un si un n'est définie La série (? un) est convergente ssi a < 1 et la somme
Comment calculer la somme d'une série numérique ?
Lorsqu'une telle série est convergente, on note ? n = n 0 + ? u n ou sa somme ? n = n 0 + ? u n (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite ( ? k = n 0 n u k ) quand tend vers .Comment calculer la somme d'une série convergente ?
A partir d'une suite, les mathématiciens définissent sa somme partielle, l'addition des k premiers termes de la suite : pour la suite (un), la somme partielle vaut ?kn=0un.Comment calculer la somme partielle d'une série numérique ?
La convergence de la série de Riemann de terme général 1/ns (s > 0) s'établit facilement, pour s supérieur à 1, par comparaison à l'intégrale de la fonction f : x ? 1/xs = x-s sur l'intervalle [1,+?[. f décroît strictement et on a pour tout p : . L'aire correspondant à la somme de la série est indiquée en jaune.
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1 UE7 - MA5 : Analyse
SERIES NUMERIQUES
réelles ou complexesI. Généralités
Définition 1
Etant donnée une suite (u
n ) de nombres réels ou complexes, on appelle série de terme général un la suite (S n ) définie par : (1) S n = u 0 + u 1 + ... + u n k = 0n uk est appelée somme partielle d'indice n (ou de rang n , ou d'ordre n) de la série.Notation
On note généralement
n 0 u n ou u n la série de terme général u n Exemples de séries déjà considérées : Séries géométriques ; suites définies par des relations de récurrence S n = S n-1 + u n ; écriture décimale (éventuellement illimitée) d'un réel.Définition 2 ,
de la convergenceOn dit que la série
u n converge si la suite (S n ) définie en (1) converge.Dans ce cas, la limite de la suite (S
n) est appelée somme de la série et notée S = n = 0& u nQuand la suite (S
n ) ne converge pas, on dit que la série diverge.Remarque 1
Si on considère seulement (u
n) pour n n 0 > 0 , on peut, pour n n 0 , poser S n k = n 0 n uk et appeler alors série de terme général u n la nouvelle suite (S nCette série est alors notée
n n 0 u n 2 Il est aisé de vérifier que la convergence de n 0 u néquivaut à celle de
n n 0 u n , mais en général n = 0& u n n'est pas égal à n = n 0 u n quand la série converge.Définition 3
Pour une série convergente,
n 0 u n , de somme S et de sommes partielles S n , on appelle reste d'ordre (ou de rang n) la différence R n = S - S n R n est aussi la somme de la série convergente p n + 1 u p , c'est-à-dire R n p= n + 1& u pExemple
Si u n = 1 n(n + 1) pour n 1 , on obtient u n = 1 n , S n = 1 - 1 n + 1 et la série n1 1 n(n + 1) converge et a pour somme 1.Exemple
Si u n = (-1) n pour n 0 , S n = 1 si n est pair alors que S n = 0 si n est impair, et la série (-1) n diverge.Théorème 1
Si la série
u n converge, alors le terme général u n tend vers 0 quand n tend vers + & .Attention : la réciproque de ce théorème est fausse et il existe des séries dont le terme général tend
vers 0 et qui sont divergentes (voir 1 n ci-dessous).Remarque 2
Le théorème précédent est utile sous la forme contraposée : si (u n ) ne tend pas vers 0, la série u n diverge. On dit alors que la série est grossièrement divergente. 3 Exemple de référence : séries géométriquesLa série
n 0 a n où a ' Â est convergente si et seulement si ...a... < 1 et sa somme est alors S = 1 1 - a n = 0& a n Attention : la somme change si la série ne commence pas à n = 0 ; par exemple si ...a... < 1 , n = 2& a n = a 2 1 - a Le résultat qui suit permet de munir l'ensemble des séries convergentes d'une structure d'espace vectoriel :Théorème 2
Soient
u n et v n deux séries convergentes.La série somme
(u n + v n ) est convergente et on a n = 0& (u n + v n n = 0& u n n = 0& v nSi ¬ est un scalaire, la série
(¬ u n ) est convergente et on a n = 0& (¬ u n n = 0& u nOn en déduit alors le résultat suivant :
Corollaire
Si u n converge et v n diverge, alors la série (u n + v n ) diverge. En utilisant le résultat classique pour des suites réelles ou complexes selon lequel une suite (S n ) est convergente si et seulement si c'est une suite de Cauchy, on obtient : Théorème 3 (critère de Cauchy pour les séries)Pour que la série de terme général u
n soit convergente, il faut et il suffit que : ⬧ > 0 , ¡N ' , ⬧n N , ⬧m n , ... k = nm u k ou encore ⬧ > 0 , ¡N ' , ⬧n N , ⬧p 0 , ... k = nn + p u kRemarque 3
Ce résultat est important et il sera utilisé par la suite car il permet de démontrer la 4 convergence ou la divergence de certaines séries sans que l'on ait besoin de chercher, en même temps, leur somme.Exemple
La série harmonique
n 1 1 n diverge : il suffit de remarquer que S 2n - S n = 1 n + 1 ... + 1 2n est, pour tout n , minoré par 12(n termes supérieurs à 1
2n ) .
Le résultat suivant peut être utile pour étudier une série à terme général u n complexe :Proposition
u n converge si et seulement si les deux séries Re u n et Im u n convergent et on a : n = 0& u n n = 0& Re u n + i n = 0& Im u nExercice 1
1) Ecrire sous forme décimale illimitée le nombre 3/7.
2) Ecrire sous la forme p / q avec p et q entiers le nombre 2,
%&%&%& ... où le bloc 136 est répété indéfiniment.Exercice 2
Calculer le nombre 0,297297 ...
| 3,3636 ...Exercice 3
Montrer que la série de terme général u
n converge et calculer sa somme dans les cas : (a)u n = n ((( ))) 1 - 1 n 2 2(b)u n = 1 n(n + 1)(n + 2) (c)u n = (n + 1) 1 n + 1 - n 1 n (d)u n = n n 2 + 2n + 1 nquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34[PDF] somme double i/j
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