[PDF] Séries numériques Somme dune série

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Universit´e Lille I 2008-2009

Math218Feuille n◦2

S´eries num´eriques

Somme d"une s´erie

Exercice 1

Calculer les sommes partielles des s´eriesPun. En d´eduire leur nature, et leur somme si elle existe : a)un=ein;b)un= (1/⎷ n)-(1/⎷ n+ 1), n>1 ;c)un= sinn; d)un=1 (n-1)(n+ 2), n>2 ;e)un= lnµ 1-1 n , n>2 ;f)un=2n-1 n

3-4n, n>3.

a) Divergence; b) 1; c) divergence; d) 11 18 ; e)-ln2; f)89 96

Exercice 2

D´eterminer les r´eelsaetbpour que la s´erieP n>0und´efinie par u n=⎷ n+a⎷ n+ 1 +b⎷ n+ 2 soit convergente. Calculer alors sa somme.

Convergence ssia=-2,b= 1;S=-1.

Exercice 3

Justifier l"´egalit´e :1

1 +x= 1-x+x2+···+ (-1)nxn+ (-1)n+1xn+1

x+ 1.

En d´eduire

ln2 =+∞X n=0(-1)n n+ 1.

Exercice 4

SoitP n>0unla s´erie de terme g´en´eralun=(-1)n

2n+ 1, n>0.

1. On d´esigne parsnla somme desnpremiers termes de la s´erie. A l"aide du d´eveloppement

limit´e de 1

1+x2, calculer

s n-Z 1 01

1 +x2dx.

2. En d´eduire la somme

+∞X n=0(-1)n

2n+ 1.

Faire comme dans l"exercice 3.S=π

4 1

´Etude de la nature d"une s´erie

Exercice 5

´Etudier la nature des s´eriesPun:

a)un=(n+ 1)(n+ 2) n!an, a >0 ;b)un= (1-thn)n;c)un=n! a n, a >0 ; d)un=an n

α, a >0, α?R;e)un=n!

n n;f)un=(-1)n thn g)un=(n!)2 (2n)!;h)un=1 +an n

3, a>0 ;i)un= lnn2+n+ 1

n

2+n-1;

j)un= sin1 n -lnµ 1 +1 n ;k)un=1 n

2-cos1

n ;l)un=µ cos1 n n m)un=nlnn (lnn)n;n)un=n1 n -1 ;o)un=n1 n 2-1 ; p)un=n1 n -n1 n+1. a) Convergence. b) Convergence. c) Divergence. d)a <1 : Convergence.a >1 : Divergence.a= 1 : Convergence ssiα >1. e) Convergence. f) Divergence. g) Convergence. h) Convergence ssia61. i) Convergence. j) Convergence. k) Divergence. l) Divergence m) Convergence. n) Divergence. o) Convergence. p) Convergence.

Exercice 6

´Etudier suivant les valeurs des param`etresa,b,cla nature des s´eriesPun: a)un= ln2n+ 1 n+ 3-asin1 n +bn

2n+ 3;b)un=e1

n -a-b n c)un=anlnµ 1 +1 n -bcos1 n +csin1 n ;d)un=3⎷ n

3+an-⎷

n

2+ 1 ;

e)un=ean2³ 1-a n n3 ;f)un=2 + sinn n a.

Convergence ssi

a)b=-2ln2,a=-5 2 +3 2 ln2; b)a=b= 1; c)a=betc=a 2 ; d)a=3 2 ; e)a?= 0; f)a >1.

Exercice 7

´Etudier la nature des s´eriesPun:

a)un= (-1)nlnn n

2;b)un=(-1)n+ 1

n

2;c)un= (-1)nlnn

n d)un= (-1)n(⎷ n

2+ 1-n) ;e)un=s

1 + (-1)n n -1 ;f)un= (-1)ne-(1+1 2 +···+1 n g)un=(-1)n p n+ (-1)n, n >1 ;h)un=1 n+ (-1)n⎷ n , n >1 ;i)un=(-1)n n 2 3 + (-1)nn1 3 j)un=(-1)n n-lnn;k)un=cosn n

2;l)un=e-ancosn.

a) Convergence. b) Convergence. c) Convergence. d) Convergence. e) Divergence. f) Conver- gence. g) Convergence. h) Divergence. i) Divergence. j) Convergence. k) Convergence. l) Diver- gence 2

Exercice 8

1. En utilisant la r`egle de Cauchy, ´etudier la nature de la s´eriePund´efinie par :

u 2n=1 2 n, u2n+1=1 2 n+2.

La r`egle de D"Alembert permet-elle de conclure?

2. Mˆeme question pour la s´erie

Pund´efinie parun=1

2 n+(-1)n.

1) Convergence. 2) Convergence.

Exercice 9

1. Montrer que la suite de terme g´en´eralxnet la s´erie de terme g´en´eralun=xn-xn-1sont

de mˆeme nature.

2.Application :Etudier la suite (xn) d´efinie pourn >0 par :xn= 1 +1

2 +···+1 n -lnn et en d´eduire que 1 + 1 2 +···+1 n est ´equivalent au voisinage de l"infini `a lnn.

Exercice 10

1. Soitβun nombre r´eel non nul, on consid`ere le produit :

x n=nY p=1µ

1-β

p D´eterminer, suivant le signe deβ, les limites des suites (lnxn) et (xn) lorsquentend vers l"infini.

2. En d´eduire, selon la valeur deα,α /?N, la nature de la s´erie de terme g´en´eral

y n=α(α-1)...(α-n+ 1) n!,

Exercices donn´es en examen

Exercice 11 extrait du partiel du 26 mars 2005

1. D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :

u n= sin³ nπ 3 ;un=µ2 +i 3 n ;un= (-1)nln(lnn).

2. Soit la s´erie de terme g´en´eral

u n= lnµ2n+ 1 , n>1. (a) D´eterminer la nature de la s´erie en cherchant un ´equivalent deun. (b) SoitNun entier naturel quelconque. Calculer la somme partiellePN n=1un. Retrouver ainsi la nature de la s´erie. 3

Exercice 12 extrait de l"examen du 17 mai 2005

Etudier la nature des s´eries de terme g´en´eral : u n=(-1)n n +1 n

2;un=⎷

n+ 1-⎷ n;un=2n+ 1000 3 n+ 1;un=e-⎷ n

Exercice 13 extrait de l"examen du 20 juin 2005

Quelle est la nature de la s´erie de terme g´en´eral : u n=1 n -lnµ 1 +1 n , n>1 ?

Exercice 14 extrait du partiel du 1er avril 2006

1. Les implications suivantes pour une s´erie de terme g´en´eralunsont-elles vraies ou fausses?

- lim n→∞un= 0?la s´erie converge.

- la s´erie de terme g´en´eralunconverge?la s´erie de terme g´en´eral|un|converge´egalement.

- la s´erie de terme g´en´eralun>0 converge?la s´erie de terme g´en´eralu2nconverge

´egalement.

On demande une preuve lorsque l"implication est vraie, un contre-exemple dans le cas contraire.

2. D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral :

u n= sinµn n ;un=µi 2 n ;un=(-1)n n+ lnn;un=e-⎷ n

Exercice 15 extrait du partiel du 31 mars 2007

D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral u n= tanµn2 n ;un=µ1 + 3i 4 n ;un= (-1)nln(n2) n+ 1. 4quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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