[PDF] Sommaire 1 Convergence des Séries Numériques PDF

Séries numériques

Montrer que la suite de terme général converge et calculer sa somme. Allez à : Correction exercice 15. Exercice 16. Etudier la convergence des séries de

Séries

Cette série est-elle convergente ? Si c'est possible calculer la somme S et les restes Rn. 2. Mêmes questions avec ?k?0(?1)

SERIES NUMERIQUES

Exercice 2. Calculer le nombre 0297297 …

Sommaire 1. Convergence des Séries Numériques

ou complexes et éventuellement

Séries numériques Somme dune série

Calculer alors sa somme. Convergence ssi a = ?2 b =1; S = ?1. Exercice 3. Justifier l'égalité :.

Les séries de Fourier

d'une fonction périodique pour calculer la somme d'une série numérique. l'on a une décomposition de s(t) en somme de fonctions trigonométriques :.

Chapitre 3 - Séries de Fonctions

spécifiques et l'on peut résumer l'étude d'une série numérique par Autrement dit

Séries numériques

29?/04?/2014 Le fait de calculer la somme d'une série à partir de n = 0 est purement conventionnel. On peut toujours effectuer un changement d'indice ...

L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques

Montrer par comparaison avec une intégrale

Séries

connaissant la nature de la série de terme général un puis en calculer la somme en cas de convergence. Correction ?. [005698]. Exercice 12 ****.

[PDF] [PDF] Séries - Exo7 - Cours de mathématiques

Le fait de calculer la somme d'une série à partir de k = 0 est purement conventionnel On peut toujours effectuer un changement d'indice pour se ramener à

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Montrer que la suite de terme général converge et calculer sa somme Allez à : Correction exercice 15 Exercice 16 Etudier la convergence des séries de

[PDF] Séries numériques

29 avr 2014 · On dit que la série ? un converge vers s si la suite des sommes partielles converge vers s qui est appelée somme de la série +? ? n=0 un =

[PDF] Calcul numérique de sommes de séries

Quand la série converge suffisament rapidement il suffit de calculer Sn = ? de (uk)k?N telle que ?uk converge ait même somme (éventuellement à une

[PDF] L2 - Math4 Exercices corrigés sur les séries numériques

Exercices corrigés sur les séries numériques Exercice 3 Calculer la somme des séries Exercice 6 (1) Montrer que la série de terme général un = n

[PDF] Séries numériques Somme dune série

Séries numériques Somme d'une série Exercice 1 Calculer les sommes partielles des séries ? un En déduire leur nature et leur somme si elle existe :

[PDF] SERIES NUMERIQUES

Soient ? un et ? vn deux séries convergentes La série somme ? (un + vn) est convergente et on a ? n = 0

[PDF] Sommaire 1 Convergence des Séries Numériques

Il est quand même rare de savoir calculer facilement la somme exacte d'une série numérique Ce qui fait l'importance du calcul approché de ces sommes 7 1

[PDF] Séries numériques (résumé de cours)

On peut définir de même la notion de convergence de la série ?n?p un si un n'est définie La série (? un) est convergente ssi a < 1 et la somme

Comment calculer la somme d'une série numérique ?
Lorsqu'une telle série est convergente, on note ? n = n 0 + ? u n ou sa somme ? n = n 0 + ? u n (le choix de l'une ou l'autre notation étant d'ordre typographique et non mathématique) c'est-à-dire la limite de la suite ( ? k = n 0 n u k ) quand tend vers .
Comment calculer la somme d'une série convergente ?
A partir d'une suite, les mathématiciens définissent sa somme partielle, l'addition des k premiers termes de la suite : pour la suite (un), la somme partielle vaut ?kn=0un.
Comment calculer la somme partielle d'une série numérique ?
La convergence de la série de Riemann de terme général 1/n^s (s > 0) s'établit facilement, pour s supérieur à 1, par comparaison à l'intégrale de la fonction f : x ? 1/x^s = x^-^s sur l'intervalle [1,+?[. f décroît strictement et on a pour tout p : . L'aire correspondant à la somme de la série est indiquée en jaune.

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Séries numériques8-1Sommaire

1. Convergence des Séries Numériques1

1.1. Nature d"une série numérique . . . . . .1

1.2. Séries géométriques . . . . . . . . . . . .2

1.3. Condition élémentaire de convergence .2

1.4. Suite et série des diérences . . . . . . .2

2. Opérations sur les Séries Convergentes3

2.1. Somme de 2 séries . . . . . . . . . . . . .3

2.2. Produit par un scalaire . . . . . . . . . . .3

3. Séries à termes positifs3

3.1. Séries à termes positifs . . . . . . . . . .3

3.2. Critère de comparaison . . . . . . . . . .3

3.3. Critère d"équivalence . . . . . . . . . . .4

3.4. Comparaison à une intégrale impropre .4

3.5. Règle de Riemann . . . . . . . . . . . . .5

3.6. Règle de d"Alembert . . . . . . . . . . . .54. Séries Absolument Convergentes6

4.1. Convergence absolue . . . . . . . . . . .6

4.2. Conv. des séries absolument conv. . . . .6

4.3. Une convergence absolue . . . . . . . . .6

5. Séries Numériques Réelles Alternées7

5.1. Séries alternées . . . . . . . . . . . . . .7

5.2. Critère spécial des séries alternées . . .7

6. Calcul Exact de Sommes de Séries8

6.1. Sommation en dominos . . . . . . . . . .8

6.2. Avec des séries entières ou de Fourier . .9

7. Calcul Approché9

7.1. Principe général . . . . . . . . . . . . . .9

7.2. Avec le critère spécial . . . . . . . . . . .9

7.3. Autres cas . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

8. Compléments10

8.1. Colbert, lycée numérique . . . . . . . . .10

8.2. Les mathématiciens du chapitre . . . . .11L"objet de l"étude des séries numériques est de donner un sens à des sommes infinies de nombres réels

ou complexes et, éventuellement, de les calculer.

1. Convergence des Séries Numériques

1.1. Nature d"une série numériqueDéfinition :Soit(un)n2Nune suite d"éléments deK(K=RouC).

On appellesuite des sommes partiellesde(un)n2N, la suite(sn)n2N, avecsn=nP k=0uk.Définition : Sinon, on dit qu"ellediverge.Notation :Lasérie de terme généralunse noteX u

n.Définition :Dans le cas où la série de terme généralunconverge, la limite, notées, de la suite

sn)n2Nest appeléesommede la série et on note :s=1P n=0un.

Le reste d"ordrende la série est alors notérnet il vaut :rn=ssn.Définition :Lanatured"une série est le fait qu"elle converge ou diverge.

Étudier une série est donc simplement étudier une suite, la suite des sommes partielles de (un). Le but

de ce chapitre est de développer des techniques particulières pour étudier des séries sans nécessaire-

ment étudier la suite des sommes partielles.

Dans certains cas, on reviendra à la définition en étudiant directement la convergence de la suite des

sommes partielles.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

8-2Séries numériquesLa convergence d"une série ne dépend pas des premiers termes...

1.2. Exemple fondamental : les séries géométriquesThéorème :La série de terme généralxnconverge,jxj<1.

De plus, la somme est :s=1P

n=0xn=11x.Démonstration : nP k=0xk=1xn+11xpourx,1.

1xn+11xn"a de limite finie que sijxj<1, cette limite est alors11x.

D"autre part, pourx= 1,nP

k=0xk=n+1 diverge.La raison d"une suite géométrique est le coecient par lequel il faut multiplier chaque terme

pour obtenir le suivant. La somme des termes d"une série géométrique convergente est donc : " le premier terme »1" la raison ». Ceci prolonge et généralise la somme des termes d"une suite géométrique qui est : " le premier terme »" le premier terme manquant »1" la raison » Quand la série converge, il n"y pas de termes manquants... La formule est la même.

1.3. Condition nécessaire élémentaire de convergenceThéorème :

Punconverge)limn!1un= 0.Démonstration :

Punconverge)(sn)converge verss)(sn+1)converge verss

)limn!1sn+1sn= 0)limn!1un+1= 0)limn!1un= 0.Si une série converge, son terme général tend vers 0.

Dans le cas où le terme général ne tend pas vers 0, on dit que la sériediverge grossièrement.

1.4. Suite et série des diérencesThéorème :La suite(vn)converge,la sérieP(vn+1vn)converge.Démonstration :On considèreP(vn+1vn), sa suite des sommes partielles est(sn)avec

s n=n X k=0( vk+1vk)=vn+1v0

Les suites

(sn)et(vn+1)sont de même nature, il en est de même de(vn).Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

Séries numériques8-32. Opérations sur les Séries Convergentes

2.1. Somme de 2 séries

Théorème :

PunetPu0nconvergent et ont pour sommesets0

)P(un+u0n)converge et a pour somme(s+s0).

Démonstration :On applique simplement le théorème équivalent sur les suites, appliqué bien sûr

aux suites des sommes partielles.2.2. Produit par un scalaire

Théorème :

Punconverge et est de sommes;2K)P(un)converge et est de sommes.

Démonstration :On applique encore le théorème équivalent sur les suites à la suite des sommes

partielles.Il y a bien sûr une notion sous-jacente d"espace vectoriel des séries convergentes.

3. Séries à termes positifs

3.1. Séries à termes positifs

Définition :On dit qu"une sériePunest une série à termes positifs, 8n2N,un>0.

Définition :On dit qu"une sériePunest une série à termes positifs à partir d"un certain rang

, 9N2N;8n>N;un>0

3.2. Critère de comparaisonThéorème :

PunetPvndeux séries positives à partir d"un certain rang N, telles que

8n>N; un6vn

Pvnconverge, alorsPunconverge.

SiPundiverge, alorsPvndiverge.Démonstration :Seule la première assertion est à montrer, l"autre est équivalente.

On le montre pour les séries positives

(N = 0).

On posesn=nP

k=0uk,s0n=nP k=0vkets0=1P n=0vn, on asn6s0n.

Les suites

(sn)et(s0n)sont croissantes et la deuxième converge. On a doncs0n6s0. Ce qui prouve que sn)est croissante majorée et donc converge. Pour le cas de séries positives à partir du rang N, on considère les sommes partiellessn=nP k=Nuk...Exemple :Etudions la convergence de+1P n=1lnnn2n:

C"est une série à termes positifs (ou plus simplement positive), on va pouvoir utiliser le critère de

comparaison.

A l"infini,

lnnn tend vers 0 et donc lnnn est une suite bornée par A:On a donc8n2N;06lnnn 6A ce qui donne8n2N;06lnnn2n6A2 nqui est le terme général d"une série géométrique de raison12

donc convergente.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

8-4Séries numériquesCeci prouve que

+1P n=1lnnn2nconverge.

3.3. Critère d"équivalenceThéorème :

PunetPvndeux séries positives à partir d"un certain rang N, telles que :un+1vn alorsPunetPvnsont de même nature.Démonstration :A partir d"un certain rang N, on a 0612 un6vn62un.

SiPunconverge,P2unconverge et doncPvnconverge.

SiPvnconverge,P12

unconverge et doncPunconverge.On peut remarquer que le critère d"équivalence est, par linéarité, applicable à des séries de

signe constant à partir d"un certain rang. En eet, la convergence dePunéquivaut à celle dePun.

Par ailleurs, on veillera à appliquer le critère d"équivalence auterme général:un, et non à la

série :Pun.

Exemple :Etudions la convergence de+1P

n=111+2 n.

C"est une série à termes positifs (ou plus simplement positive), on va pouvoir utiliser le critère d"équi-

valence.11+2 n+112 nqui est le terme général d"une série géométrique de raison12 ;donc convergente.

Ceci prouve que

+1P n=111+2 nconverge.

3.4. Comparaison à une intégrale impropreThéorème :Soitfune applicationpositive et décroissantesur[a;+1[,

alors la série

Pf(n)etZ

+1 a f(t)dtsont de même nature.

Et si elles convergent,

Z +1 n+1f(t) dt6+1P k=n+1f(k)6Z +1 n f(t) dtDémonstration :Remarquons d"abord que, commeZ x a f(t)dtest croissante, Z +1 a f(t)dtconverge,la suite Zp a f(t)dt! converge. On prendra pour la démonstrationa= 0. Commefdécroît sur[n;n+1],

8x2[n;n+1]; f(n+1)6f(x)6f(n)

et en intégrant, comme on peut le voir sur la figure 1, page ci-contre :f(n+1)6Z n+1 n f(t)dt6f(n). d"où en sommant pP n=1f(n)6Rp

0f(t)dt6p1P

n=0f(n), ce qui assure le résultat.On a tout intérêt à mémoriser cette figure 1 qui, associée à la relation de Chasles, fournit

démarche et résultat!

Exemple :Etudions la convergence de+1P

Séries numériques8-5y

x y= sin(x)n-1nn+1f(n-1) f(n) f(n+1)f(n)f(n+1)y=f(x) 0

1Figure 1 -Comparaison série-intégralefdéfinie parf(t)=11+t2est positive, décroissante sur[0;+1[etZ

011+t2dtconverge et est de

même nature que la série étudiée.

Ceci prouve que

+1P n=111+n2converge.

3.5. Règle de RiemannThéorème :2R;+1P

n=11n converge,>1.Ce sont les séries de Riemann.

Démonstration :On compare cette série avecZ

+1 1 f(t)dtet le résultat est immédiat.Ceci nous donne la règle de Riemann.

Théorème :2R; un+1kn

, alors :Punconverge,>1.Démonstration :Il sut d"utiliser le critère d"équivalence et le théorème précédent.3.6. Règle de d"Alembert

Théorème :

Punune série à termes positifs non nuls (à partir d"un certain rang) telle que : lim n!1u n+1u n=l si l >1,Pundiverge grossièrement, si l <1,Punconverge,

et si l= 1, on ne peut pas conclure.Cours de Spé T.S.I. © Christophe Caignaert - Lycée Colbert -59200Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

8-6Séries numériquesCe théorème est séduisant à priori, mais on tombe très souvent sur le cas douteux. Il s"utilise

souvent dans le cadre des séries entières qu"on étudiera dans quelques chapitres. Avec les séries numériques, il s"utilise principalement quand on se trouve en présence de factorielles ou de termes de nature géométrique du type :an.

Démonstration :Pourl >1, la suite positive(un)croit et ne tend donc pas vers 0. On a bien la diver-

gence grossière.

Pourl <1, à partir d"un certain rang Nun+1u

n61+l2 et donc par récurrence très facile, pourn>N,un6 1+l2 nN u

N= 1+l2

nuN 1+l2 N.

Cette dernière série est géométrique, le théorème de comparaison entre séries positives fournit le

résultat.Exemple :Étudions la convergence de+1P n=1n!n n:

C"est une série à termesstrictementpositifs, on va pouvoir utiliser le critère de d"Alembert.

n+1)!( n+1)n+1n!n n=(n+1)nn( n+1)n+1=nn+1 n=1 1+1n n!+11e <1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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[PDF] [PDF] Sommaire 1 Convergence des Séries Numériques

Comment calculer la somme d'une série numérique ?

Comment calculer la somme d'une série convergente ?

Comment calculer la somme partielle d'une série numérique ?

Séries numériques8-1Sommaire

1. Convergence des Séries Numériques1

1.1. Nature d"une série numérique . . . . . .1

1.2. Séries géométriques . . . . . . . . . . . .2

1.3. Condition élémentaire de convergence .2

1.4. Suite et série des diérences . . . . . . .2

2. Opérations sur les Séries Convergentes3

2.1. Somme de 2 séries . . . . . . . . . . . . .3

2.2. Produit par un scalaire . . . . . . . . . . .3

3. Séries à termes positifs3

3.1. Séries à termes positifs . . . . . . . . . .3

3.2. Critère de comparaison . . . . . . . . . .3

3.3. Critère d"équivalence . . . . . . . . . . .4

3.4. Comparaison à une intégrale impropre .4

3.5. Règle de Riemann . . . . . . . . . . . . .5

3.6. Règle de d"Alembert . . . . . . . . . . . .54. Séries Absolument Convergentes6

4.1. Convergence absolue . . . . . . . . . . .6

4.2. Conv. des séries absolument conv. . . . .6

4.3. Une convergence absolue . . . . . . . . .6

5. Séries Numériques Réelles Alternées7

5.1. Séries alternées . . . . . . . . . . . . . .7

5.2. Critère spécial des séries alternées . . .7

6. Calcul Exact de Sommes de Séries8

6.1. Sommation en dominos . . . . . . . . . .8

6.2. Avec des séries entières ou de Fourier . .9

7. Calcul Approché9

7.1. Principe général . . . . . . . . . . . . . .9

7.2. Avec le critère spécial . . . . . . . . . . .9

7.3. Autres cas . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

8. Compléments10

8.1. Colbert, lycée numérique . . . . . . . . .10

8.2. Les mathématiciens du chapitre . . . . .11L"objet de l"étude des séries numériques est de donner un sens à des sommes infinies de nombres réels

1. Convergence des Séries Numériques

1.1. Nature d"une série numériqueDéfinition :Soit(un)n2Nune suite d"éléments deK(K=RouC).

8-2Séries numériquesLa convergence d"une série ne dépend pas des premiers termes...

1.2. Exemple fondamental : les séries géométriquesThéorème :La série de terme généralxnconverge,jxj<1.

De plus, la somme est :s=1P

1xn+11xn"a de limite finie que sijxj<1, cette limite est alors11x.

D"autre part, pourx= 1,nP

1.3. Condition nécessaire élémentaire de convergenceThéorème :

Punconverge)limn!1un= 0.Démonstration :

1.4. Suite et série des diérencesThéorème :La suite(vn)converge,la sérieP(vn+1vn)converge.Démonstration :On considèreP(vn+1vn), sa suite des sommes partielles est(sn)avec

Les suites

2.1. Somme de 2 séries

Théorème :

PunetPu0nconvergent et ont pour sommesets0

Théorème :

3. Séries à termes positifs

3.1. Séries à termes positifs

3.2. Critère de comparaisonThéorème :

8n>N; un6vn

Pvnconverge, alorsPunconverge.

On le montre pour les séries positives

On posesn=nP

Les suites

A l"infini,

8-4Séries numériquesCeci prouve que

3.3. Critère d"équivalenceThéorème :

SiPunconverge,P2unconverge et doncPvnconverge.

SiPvnconverge,P12

Exemple :Etudions la convergence de+1P

Ceci prouve que

3.4. Comparaison à une intégrale impropreThéorème :Soitfune applicationpositive et décroissantesur[a;+1[,

Pf(n)etZ

Et si elles convergent,

8x2[n;n+1]; f(n+1)6f(x)6f(n)

0f(t)dt6p1P

Exemple :Etudions la convergence de+1P

Séries numériques8-5y

1Figure 1 -Comparaison série-intégralefdéfinie parf(t)=11+t2est positive, décroissante sur[0;+1[etZ

011+t2dtconverge et est de

Ceci prouve que

3.5. Règle de RiemannThéorème :2R;+1P

Démonstration :On compare cette série avecZ

Théorème :2R; un+1kn

Théorème :