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Fonctions homographiques Inéquations rationnelles

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La représentation graphique d'une fonction homographique est une hyperbole Théorème n°2 - admis Exercice n°4 1 Résoudre les équations suivantes :

  • Comment résoudre une fonction homographique ?

    Tableau de signes d'une fonction homographique
    La méthode est la suivante: Calculer la valeur qui annule a x + b ax+b ax+b. Tracer sur la première ligne le tableau de signes du premier terme a x + b ax+b ax+b, ainsi que sa valeur annulatrice. Calculer la valeur qui annule c x + d cx+d cx+d.

  • Comment tracer la courbe d'une fonction homographique ?

    La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole. La forme réduite f : x ?? A + B x?? avec B = 0 d'une fonction homographique fait apparaître le centre de symétrie ?(?;A) ainsi que les deux asymptotes d'équation x = ? et y = A de l'hyperbole.7 jan. 2014
  • Limites d'une fonction homographiqueModifier
    Autrement dit, une fonction homographique poss? deux asymptotes: les droites x = -d/c et y = a/c.

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

Fiche exercices

EXERCICE 1

✔Étudier les variations de la fonction f définie sur ]-∞;0[∪]0;∞[ par fx=-3

2x

Dresser le tableau de variations de f

✔Étudier les variations de la fonction g définie sur ]-∞;1[∪]1;∞[ par gx=1

x-1

Dresser le tableau de variations de g

✔Construire les courbes représentatives de f et g dans le même repère orthogonal.

✔Résoudre graphiquement l'équation : fx=gx. Retrouver le résultat par le c

EXERCICE 2

Déterminer le signe des fonctions suivantes :

fx=3-x

5x2✔

gx=x

3x1-4✔hx=1-x

x-31 On ne demande pas de tracer les représentations graphiq

EXERCICE 3

Résoudre dans R, le système d'inéquation.

EXERCICE 4

Résoudre par le calcul les inéquations suivantes : 5-x

2x3≥0✔

1

3x2≥-2EXERCICE 5

✔Étudier les variations de la fonction f définie sur ]-∞;0[∪]0;∞[par fx=2 x

Dresser le tableau de variations de f

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

✔Étudier les variations de la fonction g définie sur ]-∞;-1[∪]-1;∞[par gx=-2

x1

Dresser le tableau de variations de g

✔Construire les courbes représentatives de f et g dans le même repère

✔Résoudre graphiquement l'équation fx=gx. Retrouver le résultat par le calcul.

EXERCICE 6

✔Étudier les variations de la fonction f définie sur ]-∞;1[∪]1;∞[par fx=-1

x-1-1

Dresser le tableau de variations de f

✔Construire dans un repère orthogonal, la courbe représentative de f

✔Construire dans le même repère la courbe représentative de la fonction affine g définie pargx=x-4✔Calculer les coordonnées des points d'intersection des deux courbes.

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

CORRECTION

EXERCICE 1

✔Étudier les variations de la fonction f définie sur ]-∞;0[∪]0;∞[ par fx=-3

2x

La valeur interdite est : 0

a et b sont deux réels non nuls. •Si 0abalors 1 a1 bdonc -3

2a-3

2bsoit

fafb f est strictement croissante sur ]0;∞[•Si ab0alors 1 a1 bdonc -3

2a-3

2bsoit

fafb f est strictement croissante sur ]-∞;0[Dresser le tableau de variations de f x-∞0 ∞Variations de f ✔Étudier les variations de la fonction g définie sur ]-∞;1[∪]1;∞[ par gx=1 x-1

La valeur interdite est : 1

a et b sont deux réels distincts de 1. •Si

1absoit 0a-1b-1alors 1

a-11 b-1 fafbf est strictement décroissante sur ]1;∞[•Si ab1soit a-1b-10alors 1 a-11 b-1 fafbf est strictement décroissante sur ]-∞;1[Dresser le tableau de variations de g x -∞1∞

Variations

de g

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

✔Construire les courbes représentatives de f et g dans le même repère orthogonal.

✔Résoudre graphiquement l'équation : fx=gx. Retrouver le résultat par le calcul.

Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection des courbes représentatives de

f et g. Il y a un seul point d'intersection A d'abscisse 0,6 Donc S={0,6}Retrouvons le résultat par le calcul : fx=gx -3 2x=1 x-1Les valeurs interdites sont : 0 et 1 0=1 x-13

2x0=2x

2xx-1

0=5x-3

x-12x

5x-3=0

Fonctions homographiques

Inéquations rationnellesx=3

5=0,6Comme 0,6 n'est pas une valeur interdite donc

S={3

5}EXERCICE 2

Déterminer le signe des fonctions suivantes :

✔fx=3-x

5x2

3-x=05x2=0

3=x5x=-2

x=-2 5 -2

53La valeur interdite est :

-2 5x -∞-2 53
∞Signe de

3-x++-

Signe de

5x2-++

Signe de

fx-+- ✔gx=x

3x1-4=x-43x1

3x1=-11x-4

3x1

-11x-4=03x1=0 -11x=43x=-1 x=-4

11x=-1

3Pour pouvoir comparer -4

11 et -1

3on doit comparer-12

33et-11

33
-12

33-11

33donc-4

11-1

3

La valeur interdite est :

-1 0 0

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

x-∞-4 11-1 3 ∞Signe de -11x-4+--

Signe de

3x1--+

Signe de

gx-+- ✔hx=1-x x-31=1-x1x-3 x-3=-2 x-3 x-3=0x=3

La valeur interdite est : 3

Attention le numérateur est égale à -2, donc toujours négatif x -∞3∞Signe de -2--

Signe de

x-3-+

Signe de

hx+-

EXERCICE 3

Résoudre dans R, le système d'inéquation. x2 (1) 1

SI=S1∩S2

x2=0x=-2 x2

La valeur interdite est : -2

x22 0

Fonctions homographiques

Inéquations rationnelles

x22x5=0 2x=-5 x=-5 2-5

2-2Fx=2x5

x2x -∞-5

2-2∞

Signe de

2x5-++

Signe de

x2--+

Signe de

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