Fonctions homographiques Inéquations rationnelles
Fonctions homographiques. Inéquations rationnelles. Fiche exercices. EXERCICE 1. ? Étudier les variations de la fonction f définie sur ]??;0[?]0
Fonctions homographiques
7 janv. 2014 FONCTION INVERSE FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES. 2nde 10. EXERCICE 1. Soient f la fonction définie pour tout réel x = 0 par f(x) =.
Chapitre 13 Fonction inverse Fonctions homographiques
Fonctions homographiques. Sommaire. 13.1Activités . 13.4Exercices . ... Toute fonction homographique peut s'écrire sous la forme f (x) = ? x?? +?.
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Fonctions inverse & homographiques
La courbe de la fonction inverse admet l'origine du re- Exercice n°1 ... La représentation graphique d'une fonction homographique est une hyperbole.
Exercice Éléments de solution
Exercice. Soient a b
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EXERCICE 13 3 Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes en justifiant votre réponse : 1 Une fonction homographique est toujours définie sur R
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La représentation graphique d'une fonction homographique est une hyperbole Théorème n°2 - admis Exercice n°4 1 Résoudre les équations suivantes :
Comment résoudre une fonction homographique ?
Tableau de signes d'une fonction homographique
La méthode est la suivante: Calculer la valeur qui annule a x + b ax+b ax+b. Tracer sur la première ligne le tableau de signes du premier terme a x + b ax+b ax+b, ainsi que sa valeur annulatrice. Calculer la valeur qui annule c x + d cx+d cx+d.Comment tracer la courbe d'une fonction homographique ?
La courbe représentative d'une fonction homographique est une hyperbole. La forme réduite f : x ?? A + B x?? avec B = 0 d'une fonction homographique fait apparaître le centre de symétrie ?(?;A) ainsi que les deux asymptotes d'équation x = ? et y = A de l'hyperbole.7 jan. 2014- Limites d'une fonction homographiqueModifier
Autrement dit, une fonction homographique poss? deux asymptotes: les droites x = -d/c et y = a/c.
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
IFONCTION INVERSE
1 -DÉFINITION
La fonction inverse est la fonction définie pour tout réelx?=0 parf(x) =1xENSEMBLE DE DÉFINITION
L'ensemble de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réels non nuls notéR?, c'est la réunion de
deux intervalles]-∞;0[?]0;+∞[2 -VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE
La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie.
TABLEAU DES VARIATIONS DE LA FONCTION INVERSE
x-∞0+∞ f(x) ❊DÉMONSTRATIONSoientaetbdeux réels non nuls tels quea Étudions le signe def(a)-f(b) =1
a-1b=b-aabsur chacun des intervalles]-∞;0[ou]0;+∞[ aSia0 etab>0 doncb-aab>0
soitf(a)-f(b)>0 Ainsi, pour tous réelsaetbstrictement négatifs, si aÉtudions le signe def(a)-f(b) =1
a-1b=b-aabsur chacun des intervalles]-∞;0[ou]0;+∞[ a3 -COURBE REPRÉSENTATIVE
La courbe représentative de la fonction inverse est l'hyperbole d'équationy=1x.REMARQUE:
Pour tout réelx?=0,f(-x) =-1
x=-f(x). Les pointsM(x;f(x))etM?(-x;f(-x))sont symétriques par rapport à l'origine du repère. L'hyperbole admet l'origine du repère comme centre de symétrie.A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 1 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
011 M M ?x1 x -x 1 xREMARQUE:
- On peut rendref(x) =1 xaussi grand que l'on veut, pourvu quexsoit suffisamment proche de 0 et positif. - On peut rendref(x) =1 xaussi proche de 0 que l'on veut, pourvu quexsoit suffisamment grand.Graphiquement, l'hyperbole se rapproche de l'axe des abscisses lorsquextend vers+∞, et de l'axe des
ordonnées lorsquexse rapproche de 0. On dit que l'hyperbole a pour asymptotes les axes du repère.IIFONCTIONS HOMOGRAPHIQUES
1 -DÉFINITION
On appelle fonction homographique toute fonctionfqui peut s'écrire sous la formef(x) =ax+bcx+doùa,b,
c?=0 etdsont des réels tels quead-bc?=0REMARQUE
La conditionad-bc?=0 traduit le fait queax+betcx+dne sont pas pas proportionnels.Sic?=0 etad-bc=0 alors le quotientax+b
cx+dest constant. En effet ax+b cx+d=cax+bcc(cx+d)=cax+adc(cx+d)=ac2 -ENSEMBLE DE DÉFINITION
Une fonction homographique est définie pour tout réelxtel que le dénominateurcx+dne s'annule pas.
La fonctionf:x?→ax+b
cx+dest définie sur? -∞;-dc? -dc;+∞;?EXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie parf(x) =2x+1 3-2x3-2x?=0 lorsquex?=3
2, donc l'ensemble de définition defestD=?
-∞;32? ??32;+∞;? que l'on note aussiR-?3 2?A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 2 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
3 -PROPRIÉTÉ
Toute fonction homographique peut se mettre sous la forme réduitex?→A+Bx-aavecB?=0. ❊PREUVE Soitfla fonction homographique définie parf(x) =ax+b cx+d(avecc?=0 etad-bc?=0) - Sia=0 alors pour tout réelx?=-d c, b cx+d=bc? x+dc? =b c x+dc - Sia?=0 alors pour tout réelx?=-d c, ax+b cx+d=ac×x+b a x+dc= a c×? x+d c? +?ba-dc? x+dc= a c+bc-ad c2 x+dcEXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie pour tout réelx?=-2 parf(x) =2x-113x+6Pour tout réelx?=-2,
2x-113x+6=23×x-11
2 x+2=23×(x+2)-15 2 x+2=23-23×152
x+2=23-5x+2Ainsi, pour tout réelx?=-2,f(x) =2
3-5x+2
4 -VARIATIONS
La forme réduitef:x?→A+Bx-aavecB?=0 d'une fonction homographique permet de déduire les variations
de la fonctionfà partir des variations de la fonction inverse. B<0 x-∞a+∞ f(x) B>0 x-∞a+∞ f(x)EXEMPLE
Soitfla fonction homographique définie pour tout réelx?=-2 parf(x) =23-5x+2.
Étudions les variations de la fonctionfsur chacun des intervalles]-∞;-2[ou]-2;+∞[ a) Soientaetbdeux réels de l'intervalle]-∞;-2[tels queaA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 3 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
D'où
-5 a+2<-5b+2(on change le sens de l'inégalité en multipliant les deux membres par-5)Par conséquent,
23-5a+2<23-5b+2.
Ainsi, siaD'où
-5 a+2<-5b+2(on change le sens de l'inégalité en multipliant les deux membres par-5)Par conséquent,
23-5a+2<23-5b+2.
Ainsi, sia5 -COURBE REPRÉSENTATIVE
La courbe représentative d'une fonction homographique estune hyperbole.REMARQUE
La forme réduitef:x?→A+B
x-aavecB?=0 d'une fonction homographique fait apparaître le centre de symétrieW( a;A)ainsi que les deux asymptotes d'équationx=aety=Ade l'hyperbole. B<0 ?i? jOxy ?A a W B>0 ?i? jOxy ?A a WA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 4 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 1
Soientflafonction définie pour tout réelx?=0parf(x)=1xetglafonction affine définie surRparg(x)=2-x.
1. Tracer les courbes représentatives des deux fonctionsfetgdans le plan muni d'un repère orthonormé.
2. Étudier les positions relatives des deux courbes.
EXERCICE 2
1. Donner un encadrement de1xdans chacun des deux cas suivants :
a)-0,52. Dans chaque cas, trouver les réelsxqui satisfont la condition donnée :
a) 1 x?34; b)1x>2; c)-2<1x?-15; d)-13?1x?3EXERCICE 3
Existe-t-il deux entiers naturels consécutifs dont la différence des inverses est égale à l'inverse de 600?
EXERCICE 4
1. Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses.
a)x>4?1 x<14; b)x?-23?1x?-1,5; c)x>-2?1x<-12; d)x<0,6?1x>532. Pour chacune des implications précédentes, énoncer la réciproque et dire si celle ci est vraie ou fausse.
EXERCICE 5
1. Soitxun réel tel que 1 a) Montrer que(x-1)3?(x-1)2 b) Que peut-on en déduire pour 1 (x-1)3et1(x-1)2? 2. La proposition "Pour tout réelx>1,1
(x-1)3?1(x-1)2» est-elle vraie ou fausse? EXERCICE 6
Soita?=0 un réel. On souhaite ranger dans l'ordre croissant les trois nombresa,a2et1a 1. Les courbes représentatives des fonctionsf:x?→x2,g:x?→xeth:x?→1
xsont représentées sur le graphique ci-dessous 12 -1 -2 -31 2-1-2-30xy A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
Par lecture graphique, émettre une conjecture à propos de l'ordre croissant des trois nombresa,a2et1
aselon les différentes valeurs du réela. 2. Si 0 a EXERCICE 7
On suppose dans cet exercice, que le prix de la location d'unevoiture pour le week-end est de 90C, que la
consommation moyenne d'un véhicule est de 8 litres de carburant pour 100 km parcourus et que le prix d'un
litre de carburant est de 1,50 C. 1. Pierre loue un véhicule pendant le week-end et parcourt 120 km pendant le week-end.
Quel est le prix de revient moyen par kilomètre parcouru? 2. Soitx>0 le nombre de kilomètres parcourus par un client qui loue unevoiture pendant le week-end.
a) Exprimer en fonction dex, le montantf(x)du prix de revient moyen par kilomètre parcouru. b) Préciser les variations de la fonctionf. 3. Un client ayant loué une voiture pendant le week-end a calculé que le prix de revient moyen par kilomètre
parcouru a été de 0,52 C. a) Quelle distance ce client a-t-il parcouru pendant le week-end? b) Quel est le montant du coût total de la location pendant le week-end? EXERCICE 8
La courbeCfreprésentative d'une fonctionfa pour équationy=3x+1. La courbeCfest tracée dans le plan
muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Montrer que la fonctionfest strictement décroissante sur l'intervalle]-∞;-1[.
b) Donner le tableau des variations de la fonctionf. 3. Soitgla fonction affine telle queg(-5) =-7 etg(3) =9.
Déterminer l'expression degen fonction dex. Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le
repère orthogonal donné en annexe. 4. Résoudre dansR, l'inéquation3
x+1?2x+3. Interpréter graphiquement le résultat. 2468
-2 -4 -6 -8 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-80xy
Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 6 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 9
quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
2. La proposition "Pour tout réelx>1,1
(x-1)3?1(x-1)2» est-elle vraie ou fausse?EXERCICE 6
Soita?=0 un réel. On souhaite ranger dans l'ordre croissant les trois nombresa,a2et1a1. Les courbes représentatives des fonctionsf:x?→x2,g:x?→xeth:x?→1
xsont représentées sur le graphique ci-dessous 12 -1 -2 -31 2-1-2-30xyA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 5 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
Par lecture graphique, émettre une conjecture à propos de l'ordre croissant des trois nombresa,a2et1
aselon les différentes valeurs du réela.2. Si 0 a EXERCICE 7
On suppose dans cet exercice, que le prix de la location d'unevoiture pour le week-end est de 90C, que la
consommation moyenne d'un véhicule est de 8 litres de carburant pour 100 km parcourus et que le prix d'un
litre de carburant est de 1,50 C. 1. Pierre loue un véhicule pendant le week-end et parcourt 120 km pendant le week-end.
Quel est le prix de revient moyen par kilomètre parcouru? 2. Soitx>0 le nombre de kilomètres parcourus par un client qui loue unevoiture pendant le week-end.
a) Exprimer en fonction dex, le montantf(x)du prix de revient moyen par kilomètre parcouru. b) Préciser les variations de la fonctionf. 3. Un client ayant loué une voiture pendant le week-end a calculé que le prix de revient moyen par kilomètre
parcouru a été de 0,52 C. a) Quelle distance ce client a-t-il parcouru pendant le week-end? b) Quel est le montant du coût total de la location pendant le week-end? EXERCICE 8
La courbeCfreprésentative d'une fonctionfa pour équationy=3x+1. La courbeCfest tracée dans le plan
muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous. 1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Montrer que la fonctionfest strictement décroissante sur l'intervalle]-∞;-1[.
b) Donner le tableau des variations de la fonctionf. 3. Soitgla fonction affine telle queg(-5) =-7 etg(3) =9.
Déterminer l'expression degen fonction dex. Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le
repère orthogonal donné en annexe. 4. Résoudre dansR, l'inéquation3
x+1?2x+3. Interpréter graphiquement le résultat. 2468
-2 -4 -6 -8 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-80xy
Cf A. YALLOUZ(MATH@ES)Page 6 sur11
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EXERCICE 9
quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
EXERCICE 7
On suppose dans cet exercice, que le prix de la location d'unevoiture pour le week-end est de 90C, que la
consommation moyenne d'un véhicule est de 8 litres de carburant pour 100 km parcourus et que le prix d'un
litre de carburant est de 1,50 C.1. Pierre loue un véhicule pendant le week-end et parcourt 120 km pendant le week-end.
Quel est le prix de revient moyen par kilomètre parcouru?2. Soitx>0 le nombre de kilomètres parcourus par un client qui loue unevoiture pendant le week-end.
a) Exprimer en fonction dex, le montantf(x)du prix de revient moyen par kilomètre parcouru. b) Préciser les variations de la fonctionf.3. Un client ayant loué une voiture pendant le week-end a calculé que le prix de revient moyen par kilomètre
parcouru a été de 0,52 C. a) Quelle distance ce client a-t-il parcouru pendant le week-end? b) Quel est le montant du coût total de la location pendant le week-end?EXERCICE 8
La courbeCfreprésentative d'une fonctionfa pour équationy=3x+1. La courbeCfest tracée dans le plan
muni d'un repère orthogonal en annexe ci-dessous.1. Quel est l'ensemble de définition de la fonctionf?
2. a) Montrer que la fonctionfest strictement décroissante sur l'intervalle]-∞;-1[.
b) Donner le tableau des variations de la fonctionf.3. Soitgla fonction affine telle queg(-5) =-7 etg(3) =9.
Déterminer l'expression degen fonction dex. Tracer la courbeDreprésentative de la fonctiongdans le
repère orthogonal donné en annexe.4. Résoudre dansR, l'inéquation3
x+1?2x+3. Interpréter graphiquement le résultat. 2468-2 -4 -6 -8
1 2 3 4 5 6-1-2-3-4-5-6-7-80xy
CfA. YALLOUZ(MATH@ES)Page 6 sur11
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FONCTION INVERSE,FONCTIONS HOMOGRAPHIQUES2nde10
EXERCICE 9
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