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Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 30, 185- 202 (1974)

169 by Springer-Verlag 1974

Principe variationnel et syst6mes dynamiques symboliques

Francois Ledrappier ~'

1. Introduction

Soit Sun ensemble fini, X = S Net T la translation des coordonn6es.

On dit qu'une probabilit6 T-invariante m satisfait un ~ principe variationnel >> s'il existe une fonction ~b sur X (en g6n6ral appel6e ~nergie) telle que m r~alise le

maximum de # ~ h(#)+#(4), pour # probabilit~ T-invariante sur X, off h(#) est l'entropie de la transformation Tde l'espace (S, #) ([18]). On 6tudie l'existence et l'unicit6 de telles mesures par exemple en m6canique

statistique (cf. [20, 11]) et au sujet des diff6omorphismes satisfaisant l'axiome A (cf. [21]). Le th6or6me 1 ci-dessous montre que pour une certaine classe de fonctions q~,

les mesures satisfaisant le principe variationnel sont aussi les g-mesures (cf. [10]) pour g = e- 0.

On donne une condition suffisante pour qu'il y

ait unicit6 de la g-mesure (proposition 2); la condition assure aussi que l'extension naturelle du syst~me est

un sch6ma de Bernoulli. Le probl~me de l'etude du principe variationnel se d6compose alors en deux

6tapes. On recherche d'abord s'il existe une fonction g comme ci-dessus donnant

la m~me 6quation variationnelle puis on

cherche l'existence et l'unicit6 de la g- mesure. Des conditions de r6gularit6 sur l'6nergie q~ permettent de conclure.

On applique ensuite cela ~t la recherche des mesures dormant l'entropie topologique d'un ensemble ferm6 de suites. On obtient une formule pour le noyau g, qui g6n6ralise les r6sultats de Parry ([15]) h

des ensembles moins r6guliers (pro- position 8). Cela permet de donner par exemple une description ~intrins~que>>

des K syst~mes non isomorphes ~ un sch6ma de Bernoulli qu'ont d6fini D. Ornstein et P.C. Shields. La formule d'Abramov (l) permet 6galement d'appliquer les r6sultats pr6c6- dents au riot sp6cial construit sur l'espace X.

On a enfin un principe variationnel et une condition d'unicit6 analogues conditionnellement par rapport ~t un syst~me donn6.

Dans tout ce qui suit on se place sur l'espace X des suites de symboles. On a des r6sultats analogues dans le cas d'un espace compact (Bowen [5, 6]).

II. Principe variationnel

Soient

Sun ensemble fini et X=S N muni de la o--alg~bre d o engendr6e par les applications coordonn6es et de la topologie produit des topologies discr~tes sur S.

* Equipe de Recherche n ~ 1 <> d6pendant de la Section n ~ l

<< Math6matiques, Informatique>> associ~e au C.N.R.S.

186 F. Ledrappier On d6signe par T l'application de X dans X d6finie par (Tx)~ = xi+~. On note

~r = T- 1 ~r et (i, x) le point (i, x) = y, Yo = i, y, = x,_ 1- On note C(X) (B(X)) l'espace des fonctions continues (bor61iennes born6es) sur X, C*(X) le dual de C(X), espace des mesures de Radon sur X, P(X) l'ensembe des probabilit6s, Pr(X) l'ensemble des probabilit6s invariantes par T. P(X) et Pr(X) sont des convexes compacts pour la topologie de la convergence faible. On rappelle enfin que si on note, pour toute suite finie {p~, ieJ} de nombres positifs, h({pi, i e J})=-~ Pi log Pi (off 0 log 0=0), et si m appartient/t Pr, on

appelle entropie de m la quantit6 (cf. [4]) h(m); h(m)= I h({E ~' X~o=i/(i, Tx), itS}) dm(x). Soit Y un sous-ensemble invariant de X. Soit fgr(Y ) l'ensemble des fonctions g

mesurables positives telles que g(x)= i pour ye Y rx=r (1) =0 pour y6 yc. On d~signe par ~bg l'op6rateur de B(X) dans lui-m~me d6fini par ckgf(x)= ~ g(x')f(x'). (2) x'Tx'=x ~b~ est un op6rateur lin~aire positif tel que ~b)~r = XY. Pour # dans P(X) on d6finit ~b*# par ~b* fl(f)=#(~bgf), q~*# est une forme lin~aire positive sur C(X) telle que r Si #(X\ Y)=0, r est une probabilit6. Si g est continue sur Y et Y ferm6, ~b, conserve C(Y) et ~b* est faiblement continue sur P(Y). Th~or~me 1. Si g e f~T et m~ P, les conditions suivantes sont dquivalentes : i) m est invariante par r ii) m est invariante par T et v~rifie

E~'(Z~xo=i~)(x)=g((i, Tx)) pour tout i de Set

presque-tout x de X. (3) iii) m est invariante par T et v~rifie h(m)+ m(log g)= 0. (4) D~monstration. 1) On va d'abord montrer l'6quivalence entre i) et ii). I1 est clair d'abord que si m est ~b* invariante, on a m(Y)=~(4)gl)dm=m(1)=l et m(f~176 car ~bgf~ ~ g(x')f~ ~ g(x')=f(x) x" Tx' = x x' Tx' ~ x sur E

Sim est r invariante, m est donc T invariante.

On peut 6crire pour toute fonction f ~r (c'est ~ dire telle que f(x)=f((i, Tx)) pour tout i de S) f (x) g((i, Tx)) = ~bg(X~o = o f)(Tx) Principe variationnel et syst6mes dynamiques symboliques 187 car

4)g h(Tx) = ~, g(i, Tx) h(i, Tx). i

On a alors:

If(x) g(( i, T x)) dm = I ~bg(X{~o= i} f) ( T x) dm.

Si m est ~*-invariante, on a m T-invariante et

If(x) g((i, Tx)) dm= I T 4)g(Z{xo=i} f) dm.

On a donc: Sf(x)g((i, Tx))dm=IX{xo=i}fdm pour toute f agl-mesurable , ce qui exprime bien que g(i, Tx) est une version de l'esp6rance conditionnelle pour m de Z{,o= i} par rapport h all. R6ciproquement, si m v6rifie (3), on a pour tout i de S at toute fonction f agl-mesurable: ~. l.{xo=i}f dm=I T49g(Z{~,o=i}f) dm. Mais toute fonction v6rifie f = ~ ;~{~o = i} f((i, Tx)). L'6quation s'6crit donc: i

Ifdm=ST(agfdm pour toute fonction f.

Si m est T-invariante, m est ~b*-invariante.

2) On v6rifie ensuite que la propri6t6 ii) entraine la propri6t6 iii). On a en effet,

si m v6rifie (3): h(m)= S h( {E ~* Z{xo=,}(i, Tx) ie S} ) dm =~h({g(i, Tx)ieS})dm = - IZg(i, Tx)logg(i, Tx) dm its = - 5 ~g logg(Tx) din(x) = -I4~g logg dm= -Ilogg dm car r -logg est positive: I(- log g) dm = lim[(- logg/x n) dm = lim ~ q~g( - logg/x n) dm = -549g loggdm.

En particulier sim v6rifie (3), m {g = 0} = 0.

3) On va montrer enfin que, si/t appartient/t Pr, on a h(#)+ j'logg d/~ < 0 et que

on a l'6galit6 si et seulement si g v6rifie (3) pour #. D'abord si #(yc) est diff6rent de 0, h~)+~loggd/~=-oe<0 et on ne peut avoir 6galit6 que si/,(YC)=0. Soit alors gu une fonction de Nr(Y) satisfaisant (3)

pour/~. D'apr6s 1./~ est q~g, invariante et d'apr6s 2.: h~) + I logg d/~ =Ilog--g-g d/.t =l q~g, l~ d/~" gu gu Or log g~< g -1 sauf si on a g=O et gu=O otl cela n'a pas de sens, mais d'apr6s gu gu 2),/z((g,--0}) =0.

188 F. Ledrappier / \

D'ofl h(#)+ ~logg dg< ~bg~ [-~--1)du=0 avec 6galit6 siet seulement si log g = g-~-- 1 # p.s. g, g~ c'est ~t dire si gu = g # p.s. Remarques. 1) D'apr~s la formule (4), on a bien un ~principe>> variationnel: pour toute mesure/~ de PT, h(/~)+#(logg) est une quantit6 n6gative ou nulle, qui est nulle si et seulement gi/l satisfait les conditions du th6or6me 1.

2) Sim v6rifie ces propri6t6s 6quivalentes, on dit que m est une g-mesure ([10]).

Toute mesure de PT est une mesure invariante pour un certain g,/t cause de la propri6t6 ii). On sait que si g est continue il existe toujours au moins une g-mesure et que si g est assez r6guli~re, il n'y a qu'une g-mesure (Keane [10]).

3) Darts le cas ofig ne d6pend que d'un nombre fini de coordonn6es, un

th6or6me analogue a 6t6 montr6 par F611mer ([7]). IlL Propri6t6s de l'extension naturelle III.1. Soit m une mesure invariante sur X. On appelle extension naturelle de m le syst6me dynamique (s ~r #; T) off: s est l'espace S z des suites bilat6res d'616ments de S, ~r est la a-alg~bre de parties de fJ engendr6e par les applications coordonn6es. Test la translation des coordonnees sur fJ et si H est la projection de O sur X d6finie par H({X,,neZ})= {X,,nEN}, # est la seule mesure T invariante dont l'image par H est m. On note P la partition de f2 qui s6pare les valeurs prises par l'application Xo; Pest g6neratrice et on note P(e, n) la sous a-alg~bre de d n-1

P(e, n)= V T-ip. i=e

Si I et n sont positifs on note encore P(l, n) la sous a-alg6bre de No image de P(l, n) dans l'application pr6c6dente. III.2. On note pour f fonction sur X a,r(f)= sup If(x)-f(y)l, (5) x,),~g (f)r= ~ aY(f)< +oe. (6) n=O On va montrer que si (logg)X< + 0% l'extension naturelle de toute g-mesure est un sch6ma de Bernoulli; m est alors unique car si on avait deux g-mesures, leurs combinaisons convexes seraient encore des g-mesures et ne seraient pas ergodiques.

Principe variationnel et syst~mes dynamiques symboliques 189 Proposition 2. Si la fonction g de fqT(X) vdrifie (logg)X< + ~, il n'existe qu'une

seule g-mesure met rextension naturelle de m est un schdma de Bernoulli pour l'action de Z ( cf Azencott [3], Ratner [17], Ruelle [21] pour des rdsultats analogues). III.3. On rappelle que si (P, T) est faiblement Bernoulli (i.e. (P, T) est W.B. au sens de [8]), le syst6me engendr6 par Pest un sch6ma de Bernoulli et qu'une forme de la condition est donn6e par [12] : Soit v le prolongement & J de la mesure d6finie sur les pav6s A x B de P(-~,0)| +~) par v(A  Alors (P,T) est faiblement Ber- noulli si et seulement si kt=v sur/k [P(-~, n)v P(n, + Go)] et ceci est r6alis6 dSs que kt et v sont 6quivalentes. III.4. Si P~ et P2 sont des o--alg6bres atomiques sur un espace de probabilit6 (O, d, #), on note I(P1 [P2) la fonction d'incertitude

I(P~ IP2)= -~,Zpl Zp~ log#(p~ ] p~) ij

off p~(/~2) d6crit les atomes de PI(Pa). On a la formule I(P~ v P21P~) = I(P~ IP~)+/(P~ I P1 v P~). III.5. Pour l'extension naturelle d'une g-mesure on a alors: sup III(P(O, m) lP( - n, 0))- I(P(O, m))ll o~ < (log g)X. m,n

En effet:

I(P(O, m)]P(- n, 0))-I(P(0, m))

= ~, I(P(O, m) lP ( - k, 0))- I(n(o, re) In( - k + 1, 0)) k=l et [lI(n(o, m)lP(- k, 0))-I(P(O, m)lP ( -k + 1, 0))1] ~o = III(n(k, m+k)lP(O, k))-I(P(k, m+k)ln(1 , k))l] co = Ill(PIP(I, k))-I(PIP(1, k + m))[] o0.

Car on a

I(P I P(1, k))+ I(P(k, m + k)lP(O, k))

=I(P v e(k, m+k)]e(1, k)) = I(n(k, m + k)]P(1, k)) + I(nl n(1 , k + m)). Enfin I[I(PIP(1, k))-I(P]P(1, k+ m))[I ~o pent se calculer fi partir de g: I(nln(1,j))(x) est en effet m-presque sfirement le logarithme d'une int6grale des valeurs de g sur un ensemble de points de X dont lesj premieres coordonn6es coincident. Si j~ et J2 sont strictement plus grands que J3, on a alors HI(P[P(1,JO)- I(PIP(1,j2))][ ~ I]I(PI P(1, k))- I(P]P(1, k + m))l] oo <= ak-1. En regroupant, on obtient bien la majoration annonc~e.

14 Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Geb., Bd. 30

190 F. Ledrappier 111.6. Si (logg) x < + o% on peut maintenant montrer que # et v sont 6quivalentes,

ce qui d'apr& III.2 et Ili.3 suffit ~ montrer la proposition 2.

On a en effet:

It(P(O, m)lP(-n, 0))-I(P(O, m))[ = log d#e(dvv(_.,,~,) ' et III.5 permet de dire que les fonctions dye( .... ) qui forment une martingale, sont, uniform6ment en n, d#v( .... ) ' major6es par e (l~ et minor6es par e -(l~ Elles convergent donc # presque sfirement vers une fonction strictement positive et de #-int6grale 6gale ~t 1, les deux mesures # et v sont alors 6quivalentes. III.7. D'une faqon g6n6rale, on peut s'attendre ~t ce que les propri&6s de l'extension peuvent s'exprimer avec g. Par exemple: (O,d,#; T) est ergodique si et seulement sim est un point extr6mal de l'ensemble des mesures sur X q~*-in- variantes.

On a aussi:

Proposition 3. (f2, d, #; T) est un K-systdme si et seulement si m x m est la seule mesure ~b*| sur X x X, qui, restreinte d chaque composante, coincide avec m. Dkmonstration. Soit d, = T-"do. Si # est 4~*| pour toute fonction

de la forme f| f', pour # presque tous (x, y): E~"  | f')(x, y)= c~ f(T" x) dp~ f'(T "y). Soit 2~ une famille de d~sint~grations de d par rapport ~t A d, pour la mesure m: n

on a pour toute fonction f, ffagf(r"x)=E~"f(x), et si Co(X) d&igne l'ensemble des

fonctions mesurables par rapport ~t un nombre fini de coordonn&s, on a: re{x; ~p~f(T"x)-+ 2~(f)Vfe Co(X)} = 1.

Alors:

{(x, y); E~." | x f')(x, y)--*2x(f)2r(f') Yf, f'~ Co(X)} est l'intersection de deux ensembles de #-mesure 1; c'est donc un ensemble de #-mesure 1 et on a:

E~ (f| Vf, f'eCo(X).

Si A d, est la a-alg~bre triviale pour m, on peut prendre 2x(f)=m(f) pour toute f n et la seule mesure tt satisfaisant E~ f| f'= re(f) m(f') # p.s. V f, f'e Co(X) est lamesuremxm.

Principe variationnel et syst6mes dynamiques symboliques 191 Si au contraire/~ ~r n'est pas triviale pour m, la mesure d6finie sur

n A,~,~ Co(X)| par #(f.f')=~f.E~, f'dm est une ~b*| g mesure qui ne coincide pas avec m  m. III.8. On peut esp6rer aussi q_ue la condition V.W.B. de [-13] s'exprime grace ~ g. En effet on d6signe par d,(ml, m2), off ml et m2 sont deux mesures sur

S t~ ....... 1}, la quantit6 suivante:

n--1

tin(m1' m2) =inf 1 Z #(x~ 4:x~) /~ n i=0 off/t d6crit l'ensemble des mesures sur (S x S) ~~ ....... 1} telles que

p {(x 1, x2); x j = x} = mj(x) pour x, x 1, x2ES {0'1 ..... n--l}. Soit geNt(x) on d6signe par m~ ) la mesure sur S ~~ ....... 1} d6finie par: m~)(A)=Og(Za)(x). Soit m une g-mesure. On note encore m la restriction de m ~ S ~~ ..... ,-1}. L'ex- tension naturelle est dite tr6s faiblement Bernoulli (V.W.B.) si: limsup ~ d, (m(~ "), m) d m = 0. Je ne sais pas si des conditions g6n6rales sur g plus faibles que (logg)X< + impliquent V.W.B. IV. Mesures d'6quilibre pour une 6nergie IV.1. Soit Y un sous-ensemble ferm6 invariant de X, ~b une fonction r6elle continue sur Y. On pose ~b = + oo sur le compl6mentaire de Yet on appelle mesure d'6quilibre pour l'6nergie ~b toute mesure m de Pr(X) telle que h(m)-m((a)= sup h(kt)-kt(~b) (7) #ePT(X) Proposition 4. Soit g une fonction de (r continue sur Y telle qu'il existe une constante Pc telle que :

V#~PT(r) ~ logg d#= -~ (a dp- P~. (8)

Alors les mesures d'~quilibre pour ~b sont les g-mesures. Ddmonstration. Comme g est continue, on sait qu'il existe au moins une g-mesure et qu'on peut 6crire pour toute g-mesure/~o:

O=h(l~o)+~loggdtto = sup h(m)+~loggdm. m~PT(X)

192 F. Ledrappier D'apr6s (8) ceci peut s'6crire:

P~=h~uo)-~4)d#o= sup h(m)-I4)dm. m~PT(X)

Les g-mesures sont donc des mesures d'6quilibre.

R6ciproquement, si/a est une mesure d'6quilibre, h~)-/a(4)) atteint la plus grande valeur possible c'est ~t dire P~. On a bien, d'aprSs (8) h(/~)+~ logg d/~= 0, /~ est une g-mesure.

IV.2. On a 6galement le r6sultat suivant:

Th6or~me 5. Soit 4) une dnergie: si 4) s'~crit (91 + 02 avec ~(4)2)=0, v~P~(X) a~(4)1)< +0o m=O alors les mesures d'~quilibre pour 4) sont des g-mesures pour une fonction g continue. Si de plus, ~ maX(4)1)< + o% il n' existe qu'une mesure d'Oquilibre pour 4) qui d~finit m=O un schdma de Bernoulli. D~monstration. D'aprSs la proposition 4 il suffit de montrer le th6orSme 5 dans le cas off 4)2 =0.

1) Supposons que 4) ne d6pend que de (Xo, x0. Soit alors Q la matrice S x S:

Q~,, = e -*(x~ .... , = o. Supposons Q ap6riodique irr6ductible (c.~t.d. 3 n Q~",s > 0, g s e S). On sait alors que la valeur propre de plus grande valeur absolue 2 de Qs, test positive et qu'il existe un vecteur propre ~i gauche L pour la valeur propre 2, avec L>0 sur S. Si on pose g(x)- Qx~176 on a: L(xl)2 et V #ePT(X) g(x')=~ L(s)Q*'x x'eT-'x 2L(x) = 1 ~logg d#-- -~ 4) dkt- log 2 + ~ log Lo xod#-~ logLo xl d/~ comme Lo xl --Lo Xo T, c'est la formule (8) avec P~--log 2. La mesure d'6quilibrc pour 4) est donc la cha~ne de Markov de probabilit6s de transition donn6es par g. On a aussi g qui est donn6 par la formule g(xo, xl)= lira Q"(s, Xo) Q(x o, xl) V s (9) ..~ Q"+l(s, xO (car Q"(s, t)~ 2" R (s) L(t)).

2) Si 4) ne d6pend que d'un hombre fini de coordonn6es, on peut se ramener

au cas pr~cSdent. Si la matrice associ6e est ap6riodique irr6ductible, il existe une fonction g, satisfaisant (8) donn6e par g~ = lim h,~(x) Principe variationnel et syst6mes dynamiques symboliques 193 off n-1 exp (-- ~=o(a((YtYk-l "" Yl,X)) ) h~n(X) - ,,~S,l__Z exp(--K~=OdP((YkYk-I'"yo'TX)) yl~S,O<_i (ao ... ak_ ~, x) le point y = {y,,, neN} de X d6fini par Yi = ai si i < k, Yl = xi- k si i > k.

3) Soit ~b une 6nergie telle que ~ aX(qS) < oo. m=O

On veut trouver une fonction g v6rifiant la formule (8).

Pour cela, montrons que pour 4) quelconque on a:

m+k aX(log h~) < 2 ~ aX(q~). i=m En effet, on a (x) log~ =<2 sup yiESO<2 ~ sup 14)((yjyj_l...yl,x))-c~((yjyj-1...Y~,X'))l. j=OylsSO<'=J Six et x' ont les m6mes m premi6res coordonn6es, (y j y j_ 1 ... Yl, X) et (y j y j_ 1 "'"

Yl, x') ont les m6mes m +j premi6res coordonn6es; on peut donc 6crire: m+k am(log h~)<2 ~ aj((a). j=m Si on pose alors O,(x)=4)((xoxl ... x,_l, y)) pour un y fix6, les fonctions q~, ne d6pendent que d'un nombre fini de coordonnbes et la famille (log h~ n, P0.) est relativement compacte dans C(X) x ~. D'apr6s 2) quand k tend vers l'infini, il existe des fonctions g0. darts Nr(X), satisfaisant (8) pour q~, et limites des h~". La famille (log go,, P0.) est encore relativement compacte dans C(X) x ~. Tout point d'accumulation est alors de la forme (log g, P0) avec g dans ~r(X) et satisfaisant (8) pour q~.

4) On a donc obtenu pour toute 6nergie 4 telle que ~ aX(q~)< oo une fonction

m=O X ~, g de fqr (X) v6rifiant (8). On a marne l'estimation de a x (log g): am (log g) < 2 a x (~b). i=m D'apr~s la proposition 4 les mesures d'6quilibre pour q~ sont les g-mesures.

194 F. Ledrappier 0o ov

Si de plus la s6rie E maX(O) converge, alors la s6rie E aX(l~ converge m=O m=O et la proposition 2 permet de dire qu'il n'existe qu'une g-mesure et que l'extension naturelle de m est un sch6ma de Bernoulli. IV.3. On peut aussi obtenir la fonction g de la mani6re suivante (Ruelle [19],

Sinai [22]). On pose

Q4,f(x) = ~, e-4'~') f(x'). x'ET-Ix

Qe est un op6rateur positif de C(X) dans lui-m~me. S'il existe une valeur propre positive 2 et une fonction propre continue positive l(x), alors: e- *~) l(x) g(x)= 21o T(x) " (11) IV.4. Si l'6nergie r provient d'un potentiel ~ ([20] p, 21) alors le th6orame de Landford et Ruelle ([11]) permet d'esp6rer une r6ponse positive ~t la question: si q~ est continue, existe-t-il g continue dans fir(X) satisfaisant (8)? Sous une condition 16g6rement plus forte que (q~)x < + o% on trouve la fonction

g d'apr6s [11] et [19]. On a 6galement (log g)x < x oo (cf. [9] et [12]). V. Applications et exemples

V.1. Soient ~b une 6nergie, Q~ comme en IV. 3. On pose Z,(x)= Q,~ 1 (x), la suite

1 --log (sup Z,(x)) converge vers un nombre P,. n

En effet:

sup Z, (x) = sup Q~ 1 (x) X X = sup sup Q"~f(x) = HIQ~IN ~e~c~x), c~x)), 0_< f-__< 1 x " l log (sup Z, (x))=1 log IlIQ~lll converge. n Proposition 6. Pour tout I~ de Pr (X), h(#)-#(r est plus petit que Pr e-4~ Ddmonstration. On a: h(#)-U(~b)=h(/~)+ s log~/d/~+S log Q,I d#. Comme e-~ .-Q~lefir' h@-Nr @Principe variationnel et systSmes dynamiques symboliques 195 Proposition 7. Si h~ donnds par (10) converge simplement vers g, toute mesure

d'~quilibre stable est une g-mesure.

Ddmonstration. On peut en effet 6crire

e-4)(x)Zn_l(T-l x) h~(x)- Z.(x)

On a alors pour toute mesure # de PT(Y).

149 1 n

flogg d#=lim I log h,~ dp=hm-- I ~,loghidkt n n n i=1 = -~ ~b d~t-lim 1 ~ log Z. d~_ > _ -~ q~ d#- P~. Sim est une mesure d'6quilibre stable on a h(m) = ~ q3 dm+ P~ et done h(m) + ~ log gdm ~ h(m) - ~ ~ din- P~ = 0 et done m est une g-mesure. V.2. La fonctionnelle ~ -~ h(~) +~ ~ d/a &ant semi-continue sup6rieurement sur Pr(Y,), le sup est atteint sur un ensemble convexe ferm6. Pour une application sur un espace compact, Walters ([27]) a donn6 plusieurs d6finitions de la ~pression)) P~ eta montr6 queen g6n6ral l'6quilibre est stable. La proposition 7 doit permettre de donner des propri6t6s de ces mesures d'6quilibre. V.3. Si ~b ne prend que les valeurs 0 et 0% les mesures d'6quilibre pour ~b sont celles qui r6alisent h(m) - m(4)) = su~x)h(l~) - #((a).

Si/~(g~) n'est pas nul h(#)-p(q~)= -~.

Les mesures d'6quilibre pour ~b sont donc celles qui r6alisent h (m) =,SU~r ~ h (/~) = hT (Y) off hr(Y) d6signe l'entropie topologique de Y pour T (cf. [-2]); on sait que le sup est atteint. Proposition 8. Soit Y un ensemble ferm~ invariant et soit g la limite, si elle existe, de v.(x) v.(x') ' oft v.(x) est le nombre d'atomes p de S ~~ 1 ....... 1~ tels que pn T-"xc~ Y x"

Tx" = Tx

~. Toutes les mesures donnant l'entropie topologique sont des g-mesures. D~monstration. On peut en effet appliquer le paragraphe V.1. en prenant ~b =0 sur Yet q5 = oo sur X "-. Y. On vdrifie alors que: Z. (T- a x) = v. (x) six appartient/t Y. = 0 sinon.

196 F. Ledrappier Alors sup Z.(x) est plus petit que le nombre v. d'atomes p de S (~ l ..... k-1} tels que

p c~ Y~ #:J~, et donc P~ est plus petit que lim 1__ log v. qui est l'entropie topologique n n hr. L'6quilibre est donc stable et on peut alors appliquer la proposition 7 en remarquant que v._ (x) h~ (x) = E v._l (x)" X' Tx'= Tx V.4. Si/7 est une S x S matrice ~t coefficients 0 ou 1, on d6finit ([15]) On par Oa={x, x~X,/Tx.x.+~ =1 Vn>0}. La proposition 8 g6n6ralise le fait suivant: Si/7 est irr6ductible, la mesure donnant l'entropie topologique est la mesure de Markov dont les probabilit6s de transition sont donn6es par lira v,(x) . v.(x')" X'

TX' = "Ix

Soit H irr6ductible, On l'espace correspondant, ~b n l'6nergie telle que e-r = /Txo,xl . Proposition 9. Soit ~ une fonction d'~nergie, ~ a,(c~)< + ~. Alors toute mesure n=0 d'~quilibre pour c~ + q~11 est une g-mesure pour une certaine fonction g continue sur O n. Si de plus ~ n a,(dp)< + ~, il existe une seule mesure d'dquilibre pour q~ + q~n; n=O elle est port~e par O n. Son prolongement naturel est un schdma de Bernoulli. La d6monstration est analogue ~ celle du th6or6me 5. La proposition 9 permet de montrer le th6or~me 1 d'un article de Sinai ([23, 24]) d6s qu'on a v6rifi6 que toute mesure de Gibbs construite ~t partir de/t n et ~b est une mesure d'6quilibre pour ~b + q5 n. On peut voir [21] (appendice B) pour le cas g6n6ral d'une matrice non irr6ductible. V.5. On va utiliser la proposition 8 pour d6crire les K syst6mes introduits par Ornstein et Shields ([14]). Soit S = {f, e, s}; on va construire pour tout g~ {0, 1} N* un sous-ensemble ferm6 invariant Yg de Y= S z, I1 n'y aura qu'une mesure qui r6alise l'entropie topologique, c'est la mesure construite dans [14]. On appelle bloc une suite finie ordonn6e d'616ments de S. Un bloc best inclus dans un bloc b' si best form6 d'616ments cons6cutifs dans b'. On d6finit alors des familles croissantes de blocs B~ g. Un point y appartiendra h Yg si pour tout p < q, il existe net b dans B~ tels que yp, Yp-1 .... , yq est inclus dans b. On se donne deux suites f(n) et s(n). f(n)>_2, f(n)~oo quand n~. Pour simplifier notre argument on supposera que s(n)=2a (n)+ 1 avex a (n) injective de

N dans N.

Principe variationnel et syst6mes dynamiques symboliques t97 B~ est l'ensemble des blocs qui s'6crivent:

b =FSE off F est form6 de k symbolesf.

S de s(1) symboles s et E de (f(1)-k) symboles e.

k varie entre 1 etf(1)- 1. Par r6currence on d6finit B~ comme l'ensemble des blocs qui s'6crivent: b = FSo bi $1 b2 $2 ... bjSj.., b2, S2,E ot~ F est form6 de k symboles f E def(n)-k symboles e,1 Tx'= Tx Soit x appartenant ~t Xg. Grgtce/t notre hypth6se sur s(n), en effet, on connait toujours l'ordre n de la premi6re famille B~ tel que un bloc b de B, contienne xl. Six i = s ouf, il existe alors un seul Xo tel que (Xo, Tx) c~ Y +fJ, c'est/t dire tel que v,.(Xo, Tx)~O. h(x)= 1. Si xl =e, il est alors facile de voir que six 1 x2 ... x,,=e e ... e x,,+l =s

1 h(s, Tx) f(n)-m'

1 h(e, Tx)= l f(n)-m" Alors toute mesure r6alisant l'entropie topologique est une h-mesure. Si on montre que toute h-mesure, pour la fonction h d6finie ci-dessus, charge 6quitable- ment tousles blocs de B, g, on aura montr6 la proposition. Si on pose pour b dans B,~: lb(X) = Z~x ....... ,~.~-~= b~ on a pour toute h-mesure ~: #(b) = #(lb) = #(qS~ '(") 1 b)- I1 SUffit donc de v6rifier que ~b~ (n) lb(X) est ind6pendant du bloc b choisi dans B. g. On peut le montrer par r6currence sur n. Supposons que ~b~ ("-a) lb(X) est ind6pen- dante du bloc b choisi dans B._i. Alors si b~ et b 2 sont deux blocs de B. qui ne diff6rent que par les blocs de Bn_ i qui les composent, on a ~bP(n) lbl--t~P(n) lb2.

198 F. Ledrappier D'autre part si b 1 et b 2 ne diff6rent que par le nombre k de symboles dans le premier

terme F, on a 6galement gb~ (") lb, =~b~ (") lb~- En regroupant en obtient l'6galit6 cherch6e. V.6. Dans le paragraphe pr6c6dent, les Yg sont donc ~intrins6quement ergodiques>>. D'apr~s B. Weiss (28) et le fait que les K-syst6mes ne sont pas iso- morphes, il ne peut donc exister d'application mesurable de Yg sur Y~, qui commutequotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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