Exercices de mathématiques - Exo7
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EXERCICES : DÉTERMINANTS AVEC CORRIGÉS
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LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
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12 mai 2004 Montrer que det(I + A) = 1. Exercice 49 [ Corrigé ]. Soient AB
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Feuille de TD n 8 : Matrices et déterminants
Licence 1`ere année 2012-2013
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
I. Les matrices et abrégé d'algèbre linéaire Exercice 1. ... 2.7 Proposition.— Deux matrices semblables ont même trace même déterminant
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1- Rappel - Définition et composantes d'une matrice 3- Calcul du déterminant pour une matrice 4- Exercice
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Licence 1`ere année 2012-2013 Mathématiques et Calcul 1 (MC1) Feuille de TD n?8 : Matrices et déterminants Exercice 1 On consid`ere les matrices
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Applications linéaires matrices déterminants Pascal Lainé 3 Exercice 11 Soit un endomorphisme de ? 3 dont l'image de la base canonique = ( 1
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Ainsi seule la matrice nulle peut donc être solution du problème Réciproquement A = 0 est solution Exercice no 10 : Le coefficient ligne k colonne l de P2
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Montrer que det(I + A) = 1 Exercice 49 [ Corrigé ] Soient ABC trois matrices carrées d'ordre n Calculer le déterminant D =
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10 juil 2014 · Montrer que det A > 0 Calcul de déterminants Exercice 94 [ 02693 ] [correction] Calculer le déterminant ? ?
Quel est le meilleur méthode pour calculer le déterminant d'une matrice ?
Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c. Rien de bien compliqué, il faut juste connaître la formule Autre cas particulier très simple : les matrices diagonales et triangulaires.Comment déterminer déterminant d'une matrice ?
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.Comment calculer le déterminant d'une matrice d'ordre 3 ?
Déterminant d'une matrice de dimension 3
Il suffit alors d'effectuer les produits des coefficients de chaque diagonale et d'en faire la somme si la diagonale est descendante ou la différence si la diagonale est ascendante. Ce n'est toutefois pas toujours la méthode la plus simple ou la plus rapide.- Le déterminant sera un outil essentiel pour identifier les points maximum et minimum ou les points de selle d'une fonction de plusieurs variables. Une matrice est dite de dimension lorsque celle-ci poss? rangées et colonnes.
Planche no34. Déterminants : corrigé
Exercice n
o1 :Soit(a,b,c)?R3. NotonsΔle déterminant de l"énoncé. Pourxréel, on poseD(x) =??????-2x x+b x+c
b+x-2b b+c c+x c+b-2c?????? (de sorte queΔ=D(a)).Dest un polynôme de degré inférieur ou égal à2. Le coefficient dex2vaut -(-2c) + (b+c) + (b+c) - (-2b) =4(b+c). Puis,D(-b) =??????2b 0-b+c
0-2b b+c
c-b c+b-2c?????? =2b(4bc- (b+c)2) +2b(c-b)2=0,et par symétrie des rolesD(-c) =0. De ce qui précède, on déduit que sib?=c,D(x) =4(b+c)(x+b)(x+c)(même si
b+c=0car alorsDest un polynôme de degré inférieur ou égal à1admettant au moins deux racines distinctes et est
donc le polynôme nul).Ainsi, sib?=c(ou par symétrie des roles, sia?=boua?=c, on a :Δ=4(b+c)(a+b)(a+c). Un seul cas n"est pas
encore étudié à savoir le cas oùa=b=c. Dans ce cas,D(a) =??????-2a 2a 2a
2a-2a 2a
2a 2a-2a??????
=8a3??????-1 1 1 1-1 11 1-1??????
=32a3=4(a+a)(a+a)(a+a),ce qui démontre l"identité proposée dans tous les cas (on pouvait aussi conclure en constatant que, pouraetbfixés,
la fonctionΔest une fonction continue decet on obtient la valeur deΔpourc=ben faisant tendrecversbdans
l"expression deΔdéjà connue pourc?=b).Exercice n
o2 : a X c b b c X a .Pest un polynôme unitaire de degré4.En remplaçantC1parC1+C2+C3+C4et par linéarité par rapport à la première colonne, on voit quePest divisible
par(X+a+b+c). Mais aussi, en remplaçantC1parC1-C2-C3+C4ouC1-C2+C3-C4ouC1+C2-C3-C4, on voit quePest divisible par(X-a-b+c)ou(X-a+b-c)ou(X+a-b-c).Si les quatre nombres-a-b-c,-a+b+c,a-b+ceta+b-csont deux à deux distincts,Pest unitaire de degré
4et divisible par les quatre facteurs de degré1précédents, ceux-ci étant deux à deux premiers entre eux. Dans ce cas,
P= (X+a+b+c)(X+a+b-c)(X+a-b+c)(X-a+b+c).
Notons alors que-a-b-c=a+b-c?b= -aet que-a+b+c=a-b+c?a=b. Par symétrie des rôles, deux des quatre nombres-a-b-c,-a+b+c,a-b+ceta+b-csont égaux si et seulement si deux des trois nombres a,boucsont égaux en valeur absolue ce qui n"est pas le cas.Exercice n
o3 :1 0 1 n-2
2 1 0 .......1 . Tout d"abord, on fait apparaître beaucoup de1.1-1...n-2
1 1-1......
....-1 1Puis, on fait apparaître un déterminant triangulaire en constatant que det(L1,L2,...,Ln) =det(L1,L2+L1,...,Ln-1+
L1,Ln+L1), ce qui fournit :
http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.0-2× ×
0 0 ....-2× = (1-n)(-2)n-2.2)?(i,j)??1,n?2,sin(ai+aj) =sinaicosaj+cosaisinajet donc si on poseC=(((((cosa1
cosa2... cosan))))) etS=(((((sina1 sina2... sinan))))) ?j??1,n?, Cj=cosajS+sinajC.En particulier, Vect(C1,...,Cn)?Vect(C,S)et le rang de la matrice proposée est inférieur ou égal à2. Donc,
?n?3,det(sin(ai+aj))1?i,j?n=0. Sin=2, det(sin(ai+aj))1?i,j?2=sin(2a1)sin(2a2) -sin2(a1+a2).3)L"exercice n"a de sens que si le formatnest pair. Posonsn=2poùpest un entier naturel non nul.
0 ...0 0 0 .0 a b 0... .0 b a 0... 0 0 0 ...0 0 ...0 0 0 .0 a+b b 0... .0 b+a a 0... 0 0 0 ...0 (pour1?j?p, Cj←Cj+C2p+1-j) ...0 0 0 .0 1 b 0... .0 1 a 0... 0 0 0 ...0 (par linéarité par rapport aux colonnesC1, C2,..., Cp) ...0 0 0 .0 1 b 0... ...a-b 0... .......0 (pourp+1?i?2p, Li←Li-L2p+1-i). etΔn= (a+b)p(a-b)p= (a2-b2)p.4)On retranche à la première colonne la somme de toutes les autres et on obtient
D .0......... .......1 00 1 0 ... 0
....1 0 = -(n-2).5)Pour1?i?p,
http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. Li+1-Li= (C0n+i-C0n+i-1,C1n+i-C1n+i-1,...,Cpn+i-Cpn+i-1) = (0,C0n+i-1,C1n+i-1,...,Cp-1 n+i-1). On remplace alors dans cet ordreLpparLp-Lp-1puisLp-1parLp-1-Lp-2puis ... puisL2parL2-L1pour obtenir, avec des notations évidentes det(Ap) =????1× 0 A p-1???? =det(Ap-1).Par suite, det(Ap) =det(Ap-1) =...=det(A2) =1.
6)En développant suivant la dernière ligne, on obtient :
D n= (an-1-X)(-X)n-1+n-2? k=0(-1)n+k+1akΔk, 0...1 0 0-X0 01 0 0
-X...0 0 0 = (-1)kXket donc D n= (-1)n? X n-n-1? k=0a kXk?Exercice n
o4 :Si deux desbjsont égaux, det(A)est nul car deux de ses colonnes sont égales. On suppose dorénavant que lesbjsont
deux à deux distincts. Soientλ1,...,λn,nnombres complexes tels queλn?=0. det(A) =1λndet((
C1,...,Cn-1,n?
j=1λ jCj)) =det(B), où la dernière colonne deBest de la forme(R(ai))1?i?navecR=n? j=1λ j X+bj.On prendR=(X-a1)...(X-an-1)
(X+b1)...(X+bn).Rainsi définie est irréductible (car?(i,j)?{1,...,n}2, ai?= -bj). Les pôles deR
sont simples et la partie entière deRest nulle. La décomposition en éléments simples deRa bien la forme espérée.
Pour ce choix deR, puisqueR(a1) =...=R(an-1) =0, on obtient en développant suivant la dernière colonne
n=1λnR(an)Δn-1,
avec n=limz→-bn(z+bn)R(z) =(-bn-a1)...(-bn-an-1) Donc ?n?2, Δn=(an-a1)...(an-an-1)(bn-b1)...(bn-bn-1) En réitérant et compte tenu deΔ1=1, on obtient n=?1?i 1?i 1?i,j?n(ai+bj).
Dans le cas particulier où?i??1,n?, ai=bi=i, en notantHnle déterminant (deHilbert) à calculer :
http ://www.maths-france.fr 3 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. Hn=Van(1,2,...,n)2?
1?i,j?n(i+j).
Mais, 1?i,j?n(i+j) =n?
i=1(( n? j=1(i+j))) =n? i=1(n+i)! i!=2n k=1k!?n? k=1k!? 2, et d"autre part, Van(1,2,...,n) =?
1?i i=1(( n? j=i+1(j-i))) =n-1? i=1(n-i)! =1 n!n k=1k!. Donc,?n?1, Hn=?
n? k=1k!? 3 n!22n? k=1k!. Exercice n
o5 : On procède par récurrence surn?1.
Pourn=1, c"est clair.
Soitn?1. Supposons que tout déterminantΔnde formatnet du type de l"énoncé soit un entier divisible par2n-1.
SoitΔn+1un déterminant de formatn+1, du type de l"énoncé. Si tous les coefficientsai,jdeΔn+1sont égaux à1, puisquen+1?2,Δn+1a deux colonnes égales et est donc nul.
Dans ce cas,Δn+1est bien divisible par2n.
Sinon, on va changer petit à petit tous les-1en1. Soit(i,j)un couple d"indices tel queai,j= -1etΔ?n+1le déterminant dont tous les coefficients sont égaux à ceux
deΔn+1sauf le coefficient ligneiet colonnejqui est égal à1. n+1-Δ?n+1=det(C1,...,Cj,...,Cn) -det(C1,...,C?j,...,Cn) =det(C1,...,Cj-C?j,...,Cn), oùCj-C?j=((((((((((((0 0 -2quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12
1?i 1?i,j?n(ai+bj).
Dans le cas particulier où?i??1,n?, ai=bi=i, en notantHnle déterminant (deHilbert) à calculer :
http ://www.maths-france.fr 3 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. Hn=Van(1,2,...,n)2?
1?i,j?n(i+j).
Mais, 1?i,j?n(i+j) =n?
i=1(( n? j=1(i+j))) =n? i=1(n+i)! i!=2n k=1k!?n? k=1k!? 2, et d"autre part, Van(1,2,...,n) =?
1?i i=1(( n? j=i+1(j-i))) =n-1? i=1(n-i)! =1 n!n k=1k!. Donc,?n?1, Hn=?
n? k=1k!? 3 n!22n? k=1k!. Exercice n
o5 : On procède par récurrence surn?1.
Pourn=1, c"est clair.
Soitn?1. Supposons que tout déterminantΔnde formatnet du type de l"énoncé soit un entier divisible par2n-1.
SoitΔn+1un déterminant de formatn+1, du type de l"énoncé. Si tous les coefficientsai,jdeΔn+1sont égaux à1, puisquen+1?2,Δn+1a deux colonnes égales et est donc nul.
Dans ce cas,Δn+1est bien divisible par2n.
Sinon, on va changer petit à petit tous les-1en1. Soit(i,j)un couple d"indices tel queai,j= -1etΔ?n+1le déterminant dont tous les coefficients sont égaux à ceux
deΔn+1sauf le coefficient ligneiet colonnejqui est égal à1. n+1-Δ?n+1=det(C1,...,Cj,...,Cn) -det(C1,...,C?j,...,Cn) =det(C1,...,Cj-C?j,...,Cn), oùCj-C?j=((((((((((((0 0 -2quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12
1?i,j?n(ai+bj).
Dans le cas particulier où?i??1,n?, ai=bi=i, en notantHnle déterminant (deHilbert) à calculer :
http ://www.maths-france.fr 3 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.Hn=Van(1,2,...,n)2?
1?i,j?n(i+j).
Mais,1?i,j?n(i+j) =n?
i=1(( n? j=1(i+j))) =n? i=1(n+i)! i!=2n k=1k!?n? k=1k!? 2, et d"autre part,Van(1,2,...,n) =?
1?i i=1(( n? j=i+1(j-i))) =n-1? i=1(n-i)! =1 n!n k=1k!. Donc,?n?1, Hn=?
n? k=1k!? 3 n!22n? k=1k!. Exercice n
o5 : On procède par récurrence surn?1.
Pourn=1, c"est clair.
Soitn?1. Supposons que tout déterminantΔnde formatnet du type de l"énoncé soit un entier divisible par2n-1.
SoitΔn+1un déterminant de formatn+1, du type de l"énoncé. Si tous les coefficientsai,jdeΔn+1sont égaux à1, puisquen+1?2,Δn+1a deux colonnes égales et est donc nul.
Dans ce cas,Δn+1est bien divisible par2n.
Sinon, on va changer petit à petit tous les-1en1. Soit(i,j)un couple d"indices tel queai,j= -1etΔ?n+1le déterminant dont tous les coefficients sont égaux à ceux
deΔn+1sauf le coefficient ligneiet colonnejqui est égal à1. n+1-Δ?n+1=det(C1,...,Cj,...,Cn) -det(C1,...,C?j,...,Cn) =det(C1,...,Cj-C?j,...,Cn), oùCj-C?j=((((((((((((0 0 -2quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12
Donc,?n?1, Hn=?
n? k=1k!? 3 n!22n? k=1k!.Exercice n
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Pourn=1, c"est clair.
Soitn?1. Supposons que tout déterminantΔnde formatnet du type de l"énoncé soit un entier divisible par2n-1.
SoitΔn+1un déterminant de formatn+1, du type de l"énoncé.Si tous les coefficientsai,jdeΔn+1sont égaux à1, puisquen+1?2,Δn+1a deux colonnes égales et est donc nul.
Dans ce cas,Δn+1est bien divisible par2n.
Sinon, on va changer petit à petit tous les-1en1.Soit(i,j)un couple d"indices tel queai,j= -1etΔ?n+1le déterminant dont tous les coefficients sont égaux à ceux
deΔn+1sauf le coefficient ligneiet colonnejqui est égal à1. n+1-Δ?n+1=det(C1,...,Cj,...,Cn) -det(C1,...,C?j,...,Cn) =det(C1,...,Cj-C?j,...,Cn), oùCj-C?j=((((((((((((0 0 -2quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12[PDF] calcul du determinant dune matrice pdf
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