[PDF] [PDF] Matrices et déterminants





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Ainsi seule la matrice nulle peut donc être solution du problème Réciproquement A = 0 est solution Exercice no 10 : Le coefficient ligne k colonne l de P2 



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Montrer que det(I + A) = 1 Exercice 49 [ Corrigé ] Soient ABC trois matrices carrées d'ordre n Calculer le déterminant D =



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10 juil 2014 · Montrer que det A > 0 Calcul de déterminants Exercice 94 [ 02693 ] [correction] Calculer le déterminant ? ?

  • Quel est le meilleur méthode pour calculer le déterminant d'une matrice ?

    Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c. Rien de bien compliqué, il faut juste connaître la formule Autre cas particulier très simple : les matrices diagonales et triangulaires.

  • Comment déterminer déterminant d'une matrice ?

    Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.

  • Comment calculer le déterminant d'une matrice d'ordre 3 ?

    Déterminant d'une matrice de dimension 3
    Il suffit alors d'effectuer les produits des coefficients de chaque diagonale et d'en faire la somme si la diagonale est descendante ou la différence si la diagonale est ascendante. Ce n'est toutefois pas toujours la méthode la plus simple ou la plus rapide.
  • Le déterminant sera un outil essentiel pour identifier les points maximum et minimum ou les points de selle d'une fonction de plusieurs variables. Une matrice est dite de dimension lorsque celle-ci poss? rangées et colonnes.
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés1Matrices et déterminants

Généralités sur les matrices

Exercice 1[ 00702 ][correction]

Résoudre l"équationX2=Aoù

A=( (1 0 1 0 4 2

0 0 16)

Exercice 2[ 00703 ][correction]

a) Monter qu"une matriceA? Mn(K)est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente. b) Soitf:Mn(K)→Kune application vérifiant :f(On) = 0,f(In) = 1et pour toutA,B? Mn(K), f(AB) =f(A)f(B) Montrer queA? Mn(K)est inversible si, et seulement si,f(A)?= 0.

Exercice 3[ 00707 ][correction]

SoitS(x) =∞?

n=0a nxnle développement en série entière dex?→⎷1 +x. a) PourN?N, on pose S N=N? n=0a nxnetRN=+∞? n=N+1a nxn Montrer que(SN(x))2-1-xest un polynôme dont la plus petite puissance dex est de degré>N+ 1. b) SoitA? Mn(C)nilpotente. Justifier l"existence d"une matriceB? Mn(C) telle que B 2=I+A

Exercice 4[ 00712 ][correction]

SoientD=diag(a1,...,an)? Mn(K)et

?:M? Mn(K)?→DM-MD a) Déterminer noyau et image de l"endomorphisme?.

b) Préciser ces espaces quandDest à coefficients diagonaux distincts.Exercice 5[ 02390 ][correction]

Soitnun entier>2etAun hyperplan deMn(C)stable pour le produit matriciel. a) On suppose queIn/? A. Montrer, siM2? A, queM? A. En déduire que pour touti? {1,...,n}que la matriceEi,iest dansA. En déduire une absurdité. b) On prendn= 2. Montrer queAest isomorphe à l"algèbre des matrices triangulaires supérieures.

Exercice 6[ 02687 ][correction]

SoientA,B? Mn(R)oùBest nilpotente et commute avecA. Montrer queAet

A+Bsont simultanément inversibles.

Exercice 7[ 03976 ][correction]

SoitA?GLn(R)vérifiant

A+A-1=In

Pourk?N, calculerAk+A-k.

Commutation de matrices

Exercice 8[ 00697 ][correction]

On suppose queA,B? Mn(K)commutent et queAest inversible.

Justifier que les matricesA-1etBcommutent.

Exercice 9[ 00709 ][correction]

a) Quelles sont les matrices deMn(K)commutant avec toutes les matrices de M n(K)? b) Même question aves les matrices commutant avec toutes celles de GL n(K).

Exercice 10[ 02689 ][correction]

Soientn?N?,α1,...,αndes complexes distincts,A=diag(α1,...,αn)et

C(A) ={M? Mn(C),AM=MA}

Montrer que(Ak)06k6n-1est une base deC(A).

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés2Exercice 11[ 03144 ][correction]

Soitn?Navecn>2.

a) Montrer que {A? Mn(R)/?M?GLn(R),AM=MA}={λIn/λ?R} b) SoitA? Mn(R). On suppose que ?M,N? Mn(R),A=MN?A=NM

Montrer qu"il existeλ?Rtel queA=λIn

Exercice 12[ 03164 ][correction]

SoitT? Mn(R)une matrice triangulaire supérieure. Montrer queTcommute avec sa transposée si, et seulement si, la matriceTest diagonale.

Exercice 13[ 03166 ][correction]

Soitn>2. Déterminer les matrices deMn(K)commutant avec toutes les matrices symétriques.

Exercice 14[ 03167 ][correction]

Soitn>2. Déterminer les matrices deMn(K)commutant avec toutes les matrices antisymétriques.

Rang d"une matrice

Exercice 15[ 00701 ][correction]

SoitA? Mn(K)une matrice carrée de rang 1.

a) Etablir l"existence de colonnesX,Y? Mn,1(K)vérifiantA=XtY. b) En déduire l"existence deλ?Ktel queA2=λA.

Exercice 16[ 00700 ][correction]

SoitAune matrice carrée de rang 1. Montrer qu"il existeλ?Ktel queA2=λA.Exercice 17[ 03460 ][correction]

SoitH? Mn(C)une matrice de rang 1.

a) Montrer qu"il existe des matricesU,V? Mn,1(K)telles queH=UtV. b) En déduire H

2=tr(H)H

c) On suppose trH?=-1. Montrer queIn+Hest inversible et (In+H)-1=In-11 +trHH d) SoientA?GLn(K)telle que tr(HA-1)?=-1. Montrer queA+Hest inversible et (A+H)-1=A-1-11 +tr(HA-1)A-1HA-1

Exercice 18[ 00698 ][correction]

SoientA? M3,2(R)etB? M2,3(R)telles que

AB=( (1 0 0 0 1 0

0 0 0)

a) Déterminer les rangs deAetB. b) CalculerBAen observant(AB)2=AB.

Exercice 19[ 00699 ][correction]

SoientA? M3,2(R)etB? M2,3(R)matrices de rang 2 vérifiant(AB)2=AB.

MontrerBA=I2.

Exercice 20[ 02602 ][correction]

SoitA? Mn(R)une matrice de rangr.

Déterminer la dimension de l"espace

{B? Mn(R)/ABA=On}

Exercice 21[ 01602 ][correction]

SoientA,B? Mn(K).

a) Justifier qu"il existeU,V?GLn(K)tels que rg(UA+BV) = min(n,rgA+rgB) b) On suppose rgA+rgB>n. Montrer qu"il existeU,V?GLn(K)tels que

UA+BV?GLn(R)

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés3Exercice 22[ 03134 ][correction]

SoientA,B,C,D? Mn(K).

a) On note?AB ?? Mn,2n(K)la matrice obtenue en accolant les colonnes de

Bà droite de celles deA.

Montrer

rg?AB ?=rgA? ?U? Mn(K),B=AU b) On note ?AC ? M

2n,n(K)la matrice obtenue en accolant les lignes deCen

dessous de celles deA.

Montrer

rg?AC =rgA? ?V? Mn(K),C=V A c) En déduire rg ?A B C D? =rgA? ?U,V? Mn(K),?A B C D? =?A AU

V A V AU?

Exercice 23[ 00710 ][correction]

SoitGun groupe multiplicatif formé d"éléments deMn(R). Montrer que les éléments deGont tous le même rang.

Exercice 24[ 03808 ][correction]

a) Montrer que siC? Mn(R)vérifie : ?X? Mn(R),det(C+X) = detX alors elle est nulle (on pourra étudier le rang deC). b) Montrer que siAetBdeMn(R)vérifient : ?X? Mn(R),det(A+X) = det(B+X) alorsA=B.

Calculs par blocs

Exercice 25[ 03264 ][correction]

SoientA? Mn(K)et

B=?OnA

I nOn? ? M

2n(K)a) Montrer queAest inversible si, et seulement si,Bl"est.

b) CalculerBppour toutp?N.

Exercice 26[ 01604 ][correction]

SoientA? Mn(K),B? Mp(K)etMla matrice

M=?A On,p

O p,nB? ? M n+p(K)

Etablir

rgM=rgA+rgB

Exercice 27[ 01649 ][correction]

SoientB? Mn,p(K)etC? Mp(K).

Montrer

rg?InB O p,nC? =n+rgC

Exercice 28[ 02335 ][correction]

SoientA? Mn(K),B? Mp(K),C? Mn,p(K)et

M=?A C

O p,nB? ? M n+p(K)

On supposeBinversible. Etablir

rgM=p?A=On

Exercice 29[ 03101 ][correction]

SoientA?GLp(R),B? Mp,q(R),C? Mq(R)et

M=?A B

O q,pC? ? M p+q(R) Déterminer le rang deMen fonction de celui deC. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés4Exercice 30[ 00747 ][correction]

SoitM? Mn(K)une matrice de rangrdécomposée par blocs sous la formequotesdbs_dbs5.pdfusesText_9
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