[PDF] Géométrie Bruno Aebischer. Géométrie.

View - Download Géométrie

Previous PDF

Next PDF

LICENCE3

MATHÉMATIQUES

G

éométrie

Vuibert

Géométrie

Bruno

Aebischer

G

éométrie

Géométrie

affine,géométrieeuclidienne Cours &exercicescorrigés

LICENCE

3

MATHÉMATIQUES

'AEibert

Dumêmeauteurchezlemêmeéditeur

Licence2,432pages.

www.vuibert.fr

©SylvainSonnet/Corbis

Compositionetmiseenpagedel'auteur

Couverture:LindaSkoropad/Prescricom

ISBN978-2-311-00276 - 8

Registre

del'éditeur:582 ©Vuibert - août2011 - 5,alléedela2°DB75015Paris

ÀAune-Marie

Table desmatières

Avant-propos

ix 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.4

3Espaceuniverseletbarycentres61

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

4Rudimentsdegéométrieprojective85

4.2 4.3 4.5 4.6 4.7 4.8 vm

TABLEDESMATIÈRES

5Géométrieeuclidienne107

5.1 5.3 5.4 5.5

6Coniques139

6.1 6.2 6.3 6.4 6.6 6.7

Solutionsdesexercices163

1. 2. 3. 4. 6.

Avant-propos

ET OUVRAGE,destinéauxétudiantsdetroisièmeannéedelicencedemathéma - niveau. Mais lesnotionsabordées. Nous corps bien "voir»lespropriétésdanslecadreleplusconcret,c'est-à - direlecadreréel.Il seplaçantdansuncorpsquelconque. Ce clair etaccessible:

Ménélaüs,etc.;

3. barycentrique; 4. 5. rapide euclidienne x

AVANT-PROPOS

progressive. Tous distinct, C'est Nous Je

CHAPITRE

1

Espacesaffines

de

1.1Espaceaffine

1.1.1Définition

(ii)VAEE,VÜ,ÜEË,ona(A+_7Î)+Ü=A+( - 7Î+7); (iii)VAGE,l'applicationÜI - >A+ÜestunebijectiondeÊsurE. Les vecteurs. On

Remarque

entre classique En vecteurs (aufait,lequel?)1. 1 del'additiondesvecteurs. 2

CHAPITRE1.ESPACESAFFINES

(E, Pour l'espace

Remarque

opération

àdroite).

Notation

LorsqueÊestl'uniquevecteurtelqueB=A+Ü,onnoteraÜ=Ë=B - A.

1.1.2Propriétés"immédiates»

o Onpeutécrirecetterelationsouslaforme"triviale»:(B - A)+(C - B)=C - A. On peutconcluregrâceaufaitquel'applicationÊi - >A+Êestinjective,queAE?)+B=A. o

PourtoutXEE,onañ= - Ô>=X - X.

o PourtousX,YEE,onaJΟ)= - Ÿ - X("trivialement»:Y - X= - - (X - Y).) Il o Y - Z.) conséquence immédiatedelarelationdeChaslesÜ+Z_Ÿ=X - Y). On points d'utiliser cesnotations+et - .Nousverronsuneautrelégitimationplusloin,avec vectoriel universel».

1.1.3Translations

une 1.1

ESPACEAFFINE3

PreuvePourtoutBEE,onpeutconsidérerlepointA=B+( - Î); enutilisant(iz')puis(2')onaA+Ü=(B+( - Ü))+Ü=B+( - Ü+Ü)= donc tÿestsurjective. SitÜ(A)=2572(A')=B,onaA+Ü=A'+Ü,donc(A+Ü)+( - Ü)=(A'+Ü)+( - Ü) etonendéduitA=A+Î>=A+(Ü - Ü)=A' - (Ü - Ü)=A'+Ü=A'ett - ,7 estinjective.ÜB+Ü=B, applications notera 'T(E).SonélémentneutreestidE=t - 0).'L'applicationréciproquedet?est (en - 1=La. montre immédiatede(z'z')etde(iiz').D

Pointdevueéquivalent

On ....ExE - >ËcommeunensembleEpourlequel11eXlSteuneapplication0:(A,B)I - >9(A,B) telle que (i')VA,B,C'EE,ona9(A,B)+0(B,C)=0(A,C). (z'i') VAEE,l'application9A:MI - - >9,4(M)=0(A,M)estunebijectiondeEsur

étant

et y - a:(onutiliseicile - del'espacevectorielV).Eneffet,y - a:estbienl'unique vecteurudevtelquey=oe+u=oe+(y - a:).

1.1.4Dimension

dimension l'espace 4

CHAPITRE1.ESPACESÀFFINES

oùOestunpointdeEetAEunebasede.SiAE=(6 - 1),8 - 2),...,e - n'),onnoteraaussiae=(o,e - 1',e - 2>,...,e7,>).

coordonnées duvecteur0M=M - OdanslabaseAE. AE AEsont(Al - Àcl',/\2 - Àg,...,An - A9,)si(A9,Àg,...,Àg)sontlescoordonnéesde:00 (considéré commevecteur)danslabaseAE.

Remarquons

n - uplenul. àtoutn - uple(A1,A2,...,Àn)descalairescorrespondununiquepointMdeEdont danslabaseAEetlepointA=O+Ü.Ü

1.1.5Vectorialiséd'unespaceaffine

associé. 0 vectoriel l'espace 1.2

SOUS-ESPACESAFFINES5

est

ÜI - >A+Ü.

Si DemêmeleproduitexternedansEAd'unpointMparunscalaire/\estlepointA-AM=A+/\(M - A)=A+AFAE

EAestlevectorialz'sédeE(parlepointA)

imagesparlabijectioncpA:MI - >M - A,onadditionnecesimages,etonprend l'image multiplication

Remarquons

que(pAesttrivialementunisomorphisme(c'est-à - direuneapplication 1.2

Sous-espacesaffines

1.2.1

Définition

vectoriel1 - 7)deËets'ilexisteAEE,telqueF=A+ Mais

c'estlevecteurÜ=AM=M - A.Onpeutdoncécrireque_î - î_ - >îF_A+ - {MeE|M - Ae} - {MeE|AMe}.

Proposition

Preuve

SiBEF,onaB - AEî.OnpeutendéduirequepourtoutMEE,onaMeA+î<=>M - Aeî<=>(M - A) - (B - A)eî4:»M - Be

4:)MEB+î.OnabienmontréqueF=A+=B+.

6

CHAPITRE1.ESPACESAFFINES

associé deËtelqueVAEF,onaF=A+ restriction, defaçonévidente direction. un dimension

Deuxième

n'appartenant Cet algèbre a lesenshabitueldel'additiondevecteursdansV,demêmequelesigne - dans =B - Adésigneunesoustractionusuelle; o rôleparticulier); o considéré 1.2

SOUS-ESPACESAFFINES7

1.2.2

Proposition

iEI iEI

àfaitpossiblequenF,-=z).

ieI [FCG etdelamêmemanière,

Preuve

l'hypothèse.

Onadoncpourtoutz'EI,F,-=A+1;.

le] z'eI F =nËestunsous-espacevectoriel. z'eI o SiMeF,pourtout2',c'estqueM - AEÊ,cecipourtoutz',doncM - AE z'eI o Réciproquement,siMeA+F,c'estqueM - AGF,doncM - AeÈ,ceci M

ÉnFi.

ieI Pour ladernièrepartiedelaproposition: 1.2.3

Parallélisme

On On 8

CHAPITRE1.ESPACESAFFINES

Proposition

(E,Ê). (a) (b) (c) (b)C'estexactementlemêmeraisonnement.

Réciproquement,

admet et

Remarque

naturellement

1.2.4Variétéaffineengendrée

petite contenant (C'est

Proposition

F UG. 0 o

SiFnG7ÉZ:

alors

1.2SOUS-ESPACESAFFINES9

Preuve

Lorsque

un par c'est-à - dire H'CK.H'estdoncbienlepluspetit(ausensdel'inclusion)sous - espace dimension dimH On estsûrqueA=B - Aç!F+G).Eneffet,sionavaitBEA+F+G),il

B - =A+ÊaG

A>désigneladroitevectorielleengendréeparlevecteurnonnulÂB. - >SoitH'=F+3+=(F+G)€B<ÀB>.(Onpeutécrireunesomme

sous-espace Comme doncêîe sous - espaces H' réduit

àunpoint.

avec le vectoriel quicontientàlafoiset 1o

CHAPITRE1.ESPACESAFFINES

dim(aff (FU{A}))=dimF+1.

Lorsque

on dimension A0 sûr dim(aff (FU{A}))=dimF+O - O+1. On aussi vectorielcontenantcespvecteurs.

1Sz'Sn),c'estquetouslesvecteursAoAz-G.

Soit maintenantÊunsous - espacevectorieluicontienttouslesvecteursAo - AZpour A0etquicontienttouslesA,-=A0+Ào - AZ,etpuisqueF=aff(A0,A1,...,Ap)estla plus (c)estévidentpuisquedimF=dimF. l'existence on etunpointAndeE\H. 1.3

POINTDEVUEANALYTIQUE11

verrons s'agira repère

Retenons

qu'un n commun). 1.3

Pointdevueanalytique

coordonnées analytiquement

équations

cartésiennes. point n Soit 11:1 Ulk termes, unie p (1.1)Vi=1,...,naei=ai+ZÀkuik k=1 (1.1) En :171 =a1+U11À1+'''+U1p/\p (1.2) (À1,...,Àp)GRp xn =an+un1À1+°--+unp)\p 12

CHAPITRE1.ESPACESAFFINES

coordonnées l'espace. 1.3.2

Changementderepèrecartésien

Rappel

vectoriel, n Vj =l""an,gî=I?1g'tî - 1)+'°'+10nj6 - n)=Z:202'jïi- i=1 371
X OEn

OEî

colonne w;coordonnéesdanslanouvellebaseest: X=PX' Nous dans Théorème1.20SoitAE=(QAE)=(0,6 - 1),...,e - n')unrepèrecartésien(nousdirons que cartésien €51 OEn 1.3

POINTDEVUEANALYTIQUE13

repère I OEn Alors a

X'sont

1B1 =370'1+p11OE'1+°'°+291n5131z X =X0:+PX'4:) OEn =aeO'n+pn1oe'In,+''°+pnnaeç7, OEo'l (avec OEO'n

Remarquons

formules en o On

- >00'=moue - 1'+°'°+mornêîî- - - >Dememe,dansl'expressmndeO'M,nousallonsremplacerchaquee?-parsonexpressmn

en fonctiondesez-: _>quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

[PDF] exercices corrigés géométrie dans lespace terminale s

[PDF] exercices corrigés gestion de projet pdf

[PDF] exercices corrigés gradient divergence rotationnel pdf

[PDF] exercices corrigés histogramme image

[PDF] exercices corrigés homothétie et rotation

[PDF] exercices corrigés homothétie et rotation pdf

[PDF] exercices corrigés hydraulique en charge

[PDF] exercices corrigés hydraulique urbaine

[PDF] exercices corriges integrale et primitives pdf

[PDF] exercices corrigés integration numerique pdf

[PDF] exercices corrigés isométries affines

[PDF] exercices corrigés isotopes

[PDF] exercices corrigés lentilles convergentes et divergentes pdf

[PDF] exercices corrigés les équations de maxwell en électromagnetisme pdf

[PDF] exercices corrigés les limites usuelles