[PDF] Géométrie analytique (affine ou euclidienne)

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Exo7 Géométrie analytique (affine ou euclidienne) * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1**TDansE3rapporté à un repère(O;i;j;k), on donne les pointsA(1;2;1),B(3;2;0),C(2;1;1)etD(1;0;4).

Déterminer l"intersection des plans(OAB)et(OCD). est8 :x=2+3t y=t z=1+t, le planPdont un système d"équations paramétriques est8 :x=1+2l+m y=13l+2m z=1+l, le planP0 dont un système d"équations paramétriques est 8 :x=5n y=3+n+3h z=n+h, EtudierD\PetP\P0 transformejenk. du plan d"équationx+y=0 par 1. la symétrie orthogonale par rapport au plan d"équation xy+z=0, 2. la symétrie orthogonale par rapport au v ecteur(1;1;1), 3. par la rotation d"angle p4 autour du vecteur(1;1;1).

2x+2y+3z5=0.

:x=2+l y=3l z=7et(P):x+3y5z+2=0. 1 y=3x+zetx+y+z=1

2x+yz=asoientcoplanaires,

puis déterminer une équation du plan les contenant. x2yz=0et(D): 6x=2y=3zpuis(P):x+3y+2z=6. Déterminer la projection de(D)sur(P)parallèlement à(D). y+3z+1=0et(D0)x+2y+z2b=0

3x+3y+2z7=0. Vérifier que(D)et(D0)ne sont pas

parallèles puis trouveraetbpour que(D)et(D0)soient sécantes. Former alors une équation cartésienne de

leur plan. (D1):x=z4=0 et(D2):y=z+4=0. et(D4):x=y=6z.

l"orthocentre, le centre de gravité, les centres des cercles circonscrits et inscrits au triangle(A;B;C).

2x+y+5z=2. En déduire une équation du cylindre de révolution d"axe(D)et de rayon 2.

2x+y+5z=2et(D0)x+y+z=2

2x+y5z=3. Déterminer

la distance de(D)à(D0)puis la perpendiculaire commune à ces deux droites. 2 Ils définissent ainsi un prisme. Déterminer l"aire d"une section perpendiculaire. bissecteurs de(P1)et(P2).

2xz+1=0et(D0)x=z1

y=z1. x2yz=0et(P)le plan d"équation cartésiennex+3y+2z=6. Déterminer la projetée (orthogonale) de(D)sur(P). une face). x+2yz=10.

Correction del"exer cice1 N•

!n=!OA^!OBa pour coordonnées(2;3;4). Ce vecteur n"est pas nul. Par suite, les pointsO,AetBne sont

pas alignés et le plan(OAB)est bien défini. C"est le plan passant parOet de vecteur normal!n(2;3;4).

Une équation cartésienne du plan(OAB)est donc 2x3y4z=0. •!n0=!OC^!ODa pour coordonnées

(4;9;1). Ce vecteur n"est pas nul. Par suite, les pointsO,CetDne sont pas alignés et le plan(OCD)est

bien défini. C"est le plan passant parOet de vecteur normal!n0(4;9;1). Une équation cartésienne du plan

(OAB)est donc 4x9yz=0. •!n^!n0a pour coordonnées(33;14;6). Ce vecteur n"est pas nul et on sait

que les plans(OAB)et(OCD)sont sécants en une droite, à savoir la droite passant parO(0;0;0)et de vecteur

directeur(33;14;6). Un système d"équations cartésiennes de cette droite est2x3y4z=0

4x9yz=0.Correction del"exer cice2 NLes vecteurs(2;3;1)et(1;2;0)ne sont pas colinéaires, de sorte que(P)est bien un plan. Trouvons alors une

équation cartésienne de(P)

M(x;y;z)2(P), 9(l;m)2R2=8

:x=1+2l+m y=13l+2m z=1+l, 9(l;m)2R2=8 :l=z1 x=1+2(z1)+m y=13(z1)+2m , 9(l;m)2R2=8 :l=z1 m=x2z+1 y=13(z1)+2(x2z+1) , 2x+y+7z4=0

Soit alorsM(2+3t;t;1+t),t2R, un point de(D)

M2(P), 2(2+3t)+(t)+7(1+t)4=0,0t1=0:

Ce dernier système n"a pas de solution et donc(D)\(P) =?. La droite(D)est strictement parallèle au plan

(P).

M(x;y;z)2(P)\(P0), 9(n;h)2R2=8

>:x=5n y=3+n+3h z=n+h

2x+y+7z4=0

, 9(n;h)2R2=8 >:x=5n y=3+n+3h z=n+h

2(5n)+(3+n+3h)+7(n+h)4=0

, 9(n;h)2R2=8 >:h=n910 x=5n y=3+n+3n910 z=n+n910 , 9n2R=8 :x=n5 y=2n+310 z=910 (P)et(P0)sont donc sécants en la droite passant par le point5;310 ;910

et de vecteur directeur(1;2;0).Correction del"exer cice3 NSoitrla rotation cherchée. Notonsule vecteur13

(1;2;2)(uest unitaire) etql"angle der.rest la rotation d"angleqautour du vecteur unitaireu. On sait que pour tout vecteurvdeR3 r(v) = (cosq)v+(1cosq)(v:u)u+(sinq)u^v() 4 et en particulier que[v;r(v);u] =sinqkv^uk2. L"égalitér(j) =kfournit sinqkj^uk2= [j;r(j);u] = [u;j;k] =13 1 0 0 2 1 0 3 0 1 =13

Commeu^j=13

(i+2j+2k)^j=23 j+13 k, on akj^uk2=59 et donc sinq=35 . L"égalitér(j) =kfournit ensuite k= (cosq)j+(1cosq)23 13 (i+2j+2k)+35 13 (i+2j+2k)^j En analysant la composante eni, on en déduit que29 (1cosq)25 =0 et donc cosq=45 . Ainsi, pour tout vecteurv= (x;y;z)deR3, l"égalité()s"écrit r(v) =45 (x;y;z)+95 13 13 (x+2y+2z)(1;2;2)+35 13 (2z2y;2xz;2x+y) 15 15 (3x+4z;4x+3z;5y) =15 0 @3 0 4 4 0 3

0 5 01

A0 @x y z1 A

La matrice cherchée est

0 B B@ 35
045
45
035

0 1 01

C

CA.Correction del"exer cice4 NNotonsPle plan d"équationx+y=0 dans la baseB= (i;j;k).Pest le plan de vecteur normaln=i+j.

1. Soit sla symétrie orthogonale par rapport au planP0d"équationxy+z=0.s(P)est le plan de vecteur normals(n). Or, le vecteurnest dansP0et doncs(n) =npuiss(P) =P.

s(P)est le planP.2.Notons sla symétrie orthogonale par rapport au vecteuru= (1;1;1).s(P)est le plan de vecteur normal

s(n) =2n:ukuk2un=223 (1;1;1)(1;1;0) =13 (1;1;4). s(P)est le plan d"équationx+y+4z=0.3.Notons rla rotation d"anglep4 autour du vecteur unitaireu=1p3 (1;1;1).r(P)est le plan de vecteur normal r(n) = cosp4 n+

1cosp4

(n:u)u+ sinp4 u^n 1p2 (1;1;0)+ 11p2 23
(1;1;1)+1p2 1p3 (1;1;0) 13 p2 (3+2(p21)p3;3+2(p21)+p3;2(p21)) =13 p2 (1+2p2p3;1+2p2+p3;2(p21)): 5 r(P)est le plan d"équation(1+2p2p3)x+(1+2p2+p3)y+2(p21)z=0.Correction del"exer cice5 NPuisque 1 2 2 3 =1, on choisit d"exprimerxetzen fonction dey. SoitM(x;y;z)2R3. D"après les formules de CRAMER, on a

M2(D),xy+2z+7=0

2x+2y+3z5=0,x+2z=y7

2x3z=2y5

,x=11 y7 2 2y53 etz=11 1y7 2 2y5 x=317y z=19+4y:

(D)est la droite passant parA(31;0;19)dirigée par le vecteuru(7;1;4).Correction del"exer cice6 NSoitM(2+l;3l;7),l2R, un point quelconque de(D).

M2(P),(2+l)+3(3l)57+2=0,l=12.

(P)\(D)est donc un singleton. Pourl=12, on obtient les coordonnées du point d"intersection (P)\(D) =f(14;9;7)g.Correction del"exer cice7 N•Repère de(D). x+2=2z y=3x+z,x=22z y=3(22z)+z,x=22z y=65z (D)est la droite passant parA(0;1;1)et dirigée paru(2;5;1). •Repère de(D0). x+y+z=1

2x+yz=a,xy=z1

2x+y=z+a,x=2z+a1

y=2a3z

(D0)est la droite passant parA0(a1;2a;0)et dirigée paru0(2;3;1). • Déjàuetu0ne sont pas colinéaires

et donc(D)et(D0)sont ou bien sécantes en un point et dans ce cas coplanaires ou bien non coplanaires. • Le

plan(P)contenant(D)et parallèle à(D0)est le plan de repère(A;u;u0). Déterminons une équation de ce plan.

M(x;y;z)2(P),

x2 2 y+1 53 z+11 1 =0,2x4(y+1)16(z+1) =0, x+2y+8z=10.

• Enfin,(D)et(D0)sont coplanaires si et seulement si(D0)est contenue dans(P). Comme(D0)est déjà

parallèle à(P), on a (D)et(D0)coplanaires,A02(P), (a1)+2(2a) =10,a=53 6 (D)et(D0)sont coplanaires si et seulement sia=53 et dans ce cas, une équation du plan contenant(D)

et(D0)estx+2y+8z=10.Correction del"exer cice8 NPuisquePparallèle à la droite(Oy), le vecteur!j= (0;1;0)est dans!P. De même, le vecteur!AB= (1;3;1)

est dans!P.Pest donc nécessairement le plan passant parA(0;1;2)et de vecteur normal!j^!AB= (1;0;1).

Réciproquement, ce plan convient. Une équation dePest donc(x0)+(z2) =0 ou encorex+z=2.

Une équation du plan parallèle à la droite(Oy)et passant parA(0;1;2)etB(1;2;3)estx+z=2.Correction del"exer cice9 NNotonspla projection sur(P)parallèlement à(D). • Déterminons un repère de(D).

x+y+z=1 x2yz=0,y+z=x+1

2y+z=x,y=2x1

z=3x+2

(D)est la droite de repère(A;!u)oùA(0;1;2)et!u(1;2;3). •(D)est dirigée par le vecteur!u0(1;3;2).

!un"est pas colinéaire à!u0et donc(D)n"est pas parallèle à(D). On en déduit quep(D)est une droite.

Plus précisément,p(D)est la droite intersection du plan(P)et du plan(P0)contenant(D)et parallèle à(D).

Déterminons une équation de(P0). Un repère de(P0)est(A;!u;!u0). Donc

M(x;y;z)2(P0),

x1 1 y+1 2 3 z23 2 =0,13x5(y+1)+(z2) =0,13x5y+z=7.

Finalement

p(D)est la droite dont un système d"équations cartésiennes est13x5y+z=7 x+3y+2z=6Correction del"exer cice10 N•Repère de(D). xza=0 y+3z+1=0,x=a+z y=13z. (D)est la droite passant parA(a;1;0)et dirigée paru(1;3;1). •Repère de(D0). x+2y+z2b=0

3x+3y+2z7=0,2y+z=2bx

3y+2z=73x,y=4b7+x

z=146b3x

(D0)est la droite passant parA0(0;4b7;6b+14)et dirigée paru0(1;1;3). • Les vecteursuetu0ne sont

pas colinéaires et donc(D)et(D0)ne sont pas parallèles. • Le plan(P)contenant(D)et parallèle à(D0)est le

plan de repère(A;u;u0). Déterminons une équation de ce plan.

M(x;y;z)2(P),

xa1 1 y+13 1 z13 =0,8(xa)+4(y+1)+4z=0,2x+y+z=2a1. 7

• Enfin,(D)et(D0)sont sécantes si et seulement si(D0)est contenue dans(P). Comme(D0)est déjà parallèle

à(P), on a

(D)et(D0)sécantes,A02(P),(4b7)+(6b+14) =2a1,b=a+4.

(D)et(D0)sont sécantes si et seulement sib=a+4 et dans ce cas, une équation du plan contenant(D)

et(D0)est 2x+y+z=2a1.Correction del"exer cice11 N•(D)est parallèle à(D)si et seulement si(D)est dirigée par le vecteuru(3;2;1)ou encore(D)admet un

système d"équations paramétriques de la forme8 :x=a+3l y=b+2l z=c+l. Ensuite,(D)est sécante à(D1)si et seulement

si on peut choisir le point(a;b;c)sur(D1)ou encore si et seulement si(D)admet un système d"équations

paramétriques de la forme8 :x=3l y=b+2l z=4+l. Enfin, (D)et(D2)sécantes, 9l2R=b+2l=4+l+4=0,b+2(8) =0,b=16. Cecidémontrel"existenceetl"unicitéde(D): unsystèmed"équationsparamétriquesde(d)est8 :x=3l y=16+2l z=4+l. Un système d"équations cartésiennes de(D)estx=3(z4) y=16+2(z4)ou encore (D):x3z+12=0

y2z8=0.Correction del"exer cice12 NNotons(D)une éventuelle droite solution. •(D)est sécante à(D1)et(D2)si et seulement si(D)passe par un

point de la forme(1;0;a)et par un point de la forme(b;1;0)ou encore si et seulement si(D)passe par un point

de la forme(1;0;a)et est dirigée par un vecteur de la forme(b1;1;a). Ainsi,(D)est sécante à(D1)et

(D2)si et seulement si(D)admet un système d"équations paramétriques de la forme8 :x=1+l(b1) y=l z=alaou encore un système d"équations cartésiennes de la forme x(b1)y=1 ay+z=a. • Ensuite,(D)et(D3)sécantes, 9y2R=(b1)y=1 ay+1=a,b6=1 etab1+1=a,b6=0 etb6=

1eta=11b

. En résumé, les droites sécantes à(D1),(D2)et(D3)sont les droites dont un système d"équations

cartésiennes est x(b1)y=111b y+z=11b ,b=2 f0;1g.

Enfin,

8 (D)et(D)sécantes, 9(x;y;z)2R3=8 :x(b1)y=111b y+z=11b x=y=6z , 9(x;y;z)2R3=8 :6z+6(b1)z=1 611b
z+z=11b x=y=6z ,b=2 f0;1;2get6 11b

16(b2)+16(b2)=11b

,b=2 f0;1;2get6(b1)+b=6(b1)(b2),b=2 f0;1;2get 6b213b+6=0 ,b223 ;32

Les droites solutions sont(D1):3x+y=3

y2z=1et(D2):2xy=2 y+3z=1.Correction del"exer cice13 N• Déterminons le centre de gravitéG. G=13 A+13 B+13 C=13 (2;2;0)+13 (4;2;6)+13 (1;3;0) =53 ;1;2. • Déterminons le centre du cercle circonscritO. Une équation du plan(ABC)est x2 23 y+2 41 z6 0 =0 ou encore 6(x2)18(y+2)+10z=0 ou enfin 3x9y+5z=24. Posons alorsO(a;b;c). Ensuite,OA= OB,(a2)2+(b+2)2+c2= (a4)2+(b2)2+(c6)2,4a+8b+12c=48,a+2b+3c=16 et OA=OC,(a2)2+(b+2)2+c2= (a+1)2+(b+3)2+c2, 6a2b=2,3a+b=1. D"où le système 8 :3a9b+5c=24 a+2b+3c=16

3a+b=1,8

:b=3a1

3a9(3a1)+5c=24

a+2(3a1)+3c=16,8 :b=3a1

6a+c=3

5a+3c=18

8 :b=3a1 c=36a

5a+3(36a) =18,8

>>:a=923 b=423 c=12323

DoncO923

;423 ;12323 . • Déterminons l"orthocentreH. D"après la relation d"EULER,

H=O+3!OG=923

;423 ;12323 +3923
53
;423 +1;12323

2=15123

;8523 ;35423 • Déterminons le centre du cercle inscritI. On sait queI=barfA(a);B(b);C(c)goùa=BC=p5

2+52+62=p86,b=AC=p3

2+12+02=p10 etc=AB=p2

2+42+62=p54. Donc

I=p86p86+p10+p54

A+p10p86+p10+p54

B+p54p86+p10+p54

C

2p86+4p10p54p86+p10+p54

;2p86+2p103p54p86+p10+p54 ;6p10p86+p10+p54

DansR3euclidienrapportéàunrepèreorthonormé, ondonneA(2;2;0),B(4;2;6)etC(1;3;0). Déterminer

l"orthocentre, le centre de gravité, les centres des cercles circonscrits et inscrits au triangle(A;B;C).

9 G 53
;1;2,O923 ;423 ;12323 etH15123 ;8523 ;35423 puis I

2p86+4p10p54p86+p10+p54

;2p86+2p103p54p86+p10+p54 ;6p10p86+p10+p54 .Correction del"exer cice14 N• Déterminons un repère de(D). x+y+z+1=0

2x+y+5z=2,x+y=1z

2x+y=25z,,x=34z

y=4+3z.

Un repère de(D)est(A;!u)oùA(3;4;0)et!u(4;3;1). • SoitM(x;y;z)un point du plan. On sait que

d(A;(D)) =k!AM^!ukk !uk=p(y3z+4)2+(x+4z3)2+(3x+4y+7)2p26 • NotonsCle cylindre de révolution d"axe(D)et de rayon 2. M(x;y;z)2C,d(A;(D)) =2,(y3z+4)2+(x+4z3)2+(3x+4y+7)2=104 Une équation cartésienne du cylindre de révolution d"axe(D)et de rayon 2 est

(y3z+4)2+(x+4z3)2+(3x+4y+7)2=104.Correction del"exer cice15 N• Déterminons un repère de(D).

x+y+z+1=0

2x+y+5z=2,x+y=z1

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