Stabilisateurs groupes disométries et représentations PDF

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groupe des isométries (resp. isométries directes) de E. Exercice 1 (Stabilisateur d'une partie convexe). Soit C un convexe compact d'intérieur non.

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Préparation à l"agrégation - Géométries classiques 2020-2021 : TD8 Stabilisateurs, groupes d"isométries et représentations Étant donné une groupeGagissant sur un ensembleX, le stabilisateur d"une partieAX sous l"action deGest défini comme étant le sous-groupe Stab

G(A) :=fg2GjgA=Ag;

on parle aussi de groupe d"isotropie deA(notamment en anglais). Étant donnée une partieAd"un espace affine euclidienE, son groupe d"isométries (respecti- vement d"isométries directes) notéIsom(A)(resp.Isom+(A)) est le stabilisateur deApar le groupe des isométries (resp. isométries directes) deE. Exercice 1(Stabilisateur d"une partie convexe).SoitCun convexe compact d"intérieur non vide d"un espace affine (réel)E. On noteG:= StabGA(E)(C)etG+:= StabGA+(E)(C). 1. Mon trerque toute application affine g2Gpréserve le volume. 2. Mon trerque toute application affine g2Gstabilise l"ensemble des points extrémaux de C. 3. Supp osonsque Cadmette un nombre fini de points extrémauxx1;:::;xn2C, montrer qu"il existe alors un morphisme de groupe injectif

G ,!S(fx1;:::;xng)'Sn:

On peut donc voir le stabilisateur deCcomme un sous-groupe des permutations de ses points extrémaux (il est donc fini dans ce cas). 4. En su pposanttoujours le nom brede p ointsextrémaux finis, mon trerque tout g2G stabilise l"isobarycentre des points extrémaux. En déduire quef7!#frestreint àGest un morphisme injectif. On peut donc voir le stabilisateur deCcomme un sous-groupe des applications deGL(#E)de déterminant1. 5. En utilisan tl"i ntégralede Leb esgue,mon trerque l aconclusi onde la question précéden te demeure dans le cas général. 6. Supp osonsque G6=G+. Montrer que le morphismeG!Z=2Zinduit par le déterminant (en identifiant les groupesZ=2Zetf1g) s"inscrit dans la suite exacte courte :

1!G+!G!Z=2Z!0:

Exercice 2(Groupes diédraux).On se place sur le plan affine euclidienPidentifié àC'R2

par le choix d"un repère. SoitPle polygone régulier àncôté défini comme l"enveloppe convexe

des racinesn-ième de l"unité. On noteG= Isom(P)etG+= Isom+(P). Le groupe diédral est par définition le groupe d"isométries D

2n:= StabG(P);

(parfois notéDn). 1. Vérifier que les racines n-ième de l"unité sont bien les sommets deP(i.e.ses points extrémaux). En déduire queD2npeut se voir comme un sous-groupe de permutation des sommets deP. 2.

Mon trerque tout g2D2nfixe0, en déduire

Stab

G+(P)'Z=nZpuisD2n'Z=nZ o Z=2Z:

On précisera des générateurs deD2nassociés à ces isomorphismes. 1 Exercice 3(Groupes d"isométrie du tétraèdre régulier et table de caractère deS4).Un

tétraèdre est dit régulier si tous ses sommets sont à égale distance les uns des autres.

1. Construire un tét raèdrerégulier de R3. On noteraA,B,CetDses sommets,Gson groupe d"isométries etG+son sous-groupe d"isométries directes. 2. Mon trerqu"il existe une symétrie orthogonale sA;BéchangeantAetBtout en fixantC etD. 3.

En déduire un isomorphisme G'S4puisG+'A4.

4. Suiv antles isomorphismes précéden ts,à qu elletransformation c orrespondune bitrans- position? Un 3-cycle? 5. En déduire un caractère irréductible TdeS4tel queT(id) = 3. On pourra déterminer géométriquement les classes de conjugaison deGou bien écrire les transformations de

Gmatriciellement dans une base affine.

Donner u nepreuv egéométrique ( i.e.sans utiliser le caractèreT) de l"irréductibilité des

représentations deS4etA4. 7. Déduire du caractèr eTla table de caractère deS4. 8. Généraliser l"étu dede Gau cas dun-simplexe régulier deRn(dont on donnera une construction). Exercice 4(Groupes d"isométrie du cube).On considère un cubeCde sommetsAi;Bipour

16i64de sorte queA1A2A3A4etB1B2B3B4soient des faces parallèles du cube déduites

l"une de l"autre de la translation de vecteur# A1B1. SoientGetG+ses groupes d"isométrie et d"isométrie directe respectivement. 1. Mon trerque G+agit sur les grandes diagonales deCpar permutations, en tirer un morphismeG+!S4 2.

Mon trerque ce mor phismeest un isomorphi sme.

3. Suiv antl"isomorphisme précéden t,à q uellestransfor mationscorresp ondenttransp osi- tions, bitranspositions, 3-cycles et 4-cycles? 4.

En déduire une représen tationirréductible de S4isomorphe à celle du groupe d"isométrie

du tétraèdre. 5. Mon trerque G'S4Z=2Z. Donner des générateurs de ce groupe. Exercice 5(Stabilisateur des quadriques centrées).Pourp;q2N, notonsJp;q=Ip0 0Iq etO(p;q)GLp+q(R)son stabilisateur par l"action deGLp+q(R)sur les matrices symétriques par congruences :

O(p;q) :=fM2GLp+q(R)jtMJp;qM=Jp;qg:

On se place dans un espace affine réelEde dimensionn. 1. Rapp elerp ourquoitoute quadrique cen tréenon dégénérée et non vi deQdeEa pour équation, dans un certain repère cartésien, p X k=1x

2kp+qX

k=p+1x

2k= 1;(1)

oùp+q=netp>1. Fixons un tel repère cartésien, identifiantEàRnde sorte que Q=fx2RnjQ(x) = 1goùQest la forme quadratique définie du côté gauche de l"équation (1).

Soitg2GA(E)telle queg(Q) =Q.

2.Soit C:=fx2RnjQ(g(x)) =Q(x)g. Montrer queQ Cet que, six2C, alors

RxC. 3.

Mon trerque C=Rn.

En déduire que StabGA(E)(Q)'O(p;q).

Exercice 6(Sous-groupes compacts maximaux deGLn(R)).SoitBRnla boule unité fermée etGGLn(R)un sous-groupe compact. 1.

Mon trerque K:=GB=S

x2BGxest un compact d"intérieur non vide deRninvariant sous l"action deG. 2. Soit E Rnl"ellipsoïde de John-Loewner associée àK(défini à l"exercice 7). Montrer queEest invariant sous l"action deG. 3. En d éduireque Gest conjugué à un sous-groupe du groupe orthogonalOn(R)(on dit que les conjugués deOn(R)sont les sous-groupes compacts maximaux deGLn(R)). Exercice 7(Ellipsoïde de John-Loewner).SoitKun compact d"intérieur non vide deRn, on souhaite montrer qu"il existe un unique ellipsoïde centré en0et de volume minimal contenant K. Étant donnée une matrice symétrique positiveS2S+n(R), on noteESRnl"ellipsoïde

(dégénéré siSn"est pas définie positive) défini par l"équationtxSx61,8x2 ES. Considérons

l"ensemble

C:=fS2S+n(R)jK ESg S+n(R):

Mon trerque Cet convexe et fermé.

2. En utilisan tle fait qu"il e xisteune b oulede c entrea2Ket de rayonr >0incluse dans

K, montrer queCest borné.

3. Si S2S++n(R)montrer que le volume de son ellipsoïde vaut

Leb(ES) =bnpdet(S);

oùbn>0est le volume de la boule unité (on se placera dans une bonne base orthonormée ou sinon on aura recourt à la racine deS). 4. Mon trerque, p ourA;B2S++n(R), et2]0;1[,det(A+(1)B)>det(A)det(B)1 avec égalité si, et seulement si,A=B(on codiagonaliseraAetBet on passera au logarithme). 5.

Conclure.

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