[PDF] théorie des ensembles - une introduction





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Chapitre I - Ensembles - cours et exercices Chapitre I - Ensembles - cours et exercices

Ici les éléments intéressants sont ceux qui appartiennent à A ou à B : …………….. •. Intersection de deux ensembles inclusions possibles entre les ensembles : A ...



1 Réunion intersection

produit carté- sien d'ensembles



théorie des ensembles - une introduction

appartenance inclusion. 2 intersection. 3 réunion. 4 complémentaire. 5 différence symétrique. 6 exercices. 3 / 49. Page 4. Appartenance inclusion intersection.



ensemble.pdf

L'ensemble. {x





Chapitre 2 : ensembles

Inclusion ensemble des parties. On dit que l'ensemble A est inclus dans l 2 Union et intersection de deux ensembles. Dans tout ce qui suit



ENSEMBLES DE NOMBRES ENSEMBLES DE NOMBRES

Intersections et unions d'intervalles : Définitions : -. L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui Exercices conseillés En ...



´Enoncés des exercices

Union intersection



Corrigés des exercices Ensembles et applications

Pour montrer qu'une union est incluse dans un ensemble il suffit de montrer que chaque terme de l'union est inclus intersection.2 Autrement dit



12.2 Exercices du chapitre 2 - 12.2.1 Tribus

Si Σ est une tribu Σ est stable par union dénombrable et intersection dénombrable. L'ensemble K1 est donc compact car il est l'union de deux compacts. Comme.



théorie des ensembles - une introduction

appartenance inclusion. 2 intersection. 3 réunion. 4 complémentaire. 5 différence symétrique. 6 exercices. 3 / 49. Page 4. Appartenance inclusion intersection.



ensemble.pdf

L'ensemble {x





1 Réunion intersection

produit carté- sien d'ensembles



´Enoncés des exercices

Union intersection



Corrigés des exercices Ensembles et applications

Montrons que A ? B. Par définition de l'inclusion nous devons donc montrer un ensemble



ENSEMBLES DE NOMBRES

L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ?. ?= 0;1;2;3;4. Exercices conseillés En devoir ... Intersections et unions d'intervalles :.



Chapitre 2 : ensembles

double inclusion c'est à dire de montrer d'abord que A est inclus dans B





12.2 Exercices du chapitre 2 - 12.2.1 Tribus

Corrigé 10 (Tribu engendrée). Soit E un ensemble. 1. Montrer qu'une intersection quelconque de tribus sur E est une tribu sur E.



Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur R) : Dans R3 donner un exemple de deux sous-espaces dont l'union n'est pas un ...

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices théorie des ensembles une introduction

J-P SPRIET

2013
1/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices Plan Voici un exposé des bases de la théorie des ensembles.

1Appartenance, inclusion

2intersection

3réunion

4complémentaire

5différence symétrique

6exercices

2/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices Plan

1Appartenance, inclusion

appartenance inclusion

2intersection

3réunion

4complémentaire

5différence symétrique

6exercices

3/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices

Appartenance

SiAest un ensemble, on dit quexappartient à l'ensembleA ssixest un élément deA, et on notex?A. Dans le cas contraire on notex??A.

EXEMPLE:x1??A;x2?A

A x1 x2 4/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices SiAest un ensemble, on dit quexappartient à l'ensembleA ssixest un élément deA, et on notex?A. Dans le cas contraire on notex??A.

EXEMPLE:

1?N;-2??Nmais-2?Z

2?Rmais⎷2??Q(démontré par les grecs)

π??Q(démontré par )

5/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices

Inclusion

SiAetBsont deux ensembles, on dit queAest inclus dansB, ou queAest une sous-partie deBssi tout élément deAest aussi élément deB. Et on noteA?B.

EXEMPLE:A?B

BA 6/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices SiAetBsont deux ensembles, on dit queAest inclus dansB, ou queAest une sous-partie deBssi tout élément deAest aussi élément deB. Et on noteA?B.

EXEMPLE:

Tout entier naturel est aussi un entier relatif donc on noteN?Z Tout entier naturel est aussi un nombre réel doncN?R On a la suite d'inclusions classiques :N?Z?D?Q?R?C 7/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices SiAetBsont deux ensembles, on dit queAest inclus dansB, ou queAest une sous-partie deBssi tout élément deAest aussi élément deB. Et on noteA?B. Dans le cas contraire, il existe (au moins) un élément deAqui n'appartient pas àB. Et on noteA??B, que l'on lit "An'est pas inclus dansB".

EXEMPLE:A??B

BA 8/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices SiAetBsont deux ensembles, on dit queAest inclus dansB, ou queAest une sous-partie deBssi tout élément deAest aussi élément deB. Et on noteA?B. Dans le cas contraire, il existe (au moins) un élément deAqui n'appartient pas àB. Et on noteA??B, que l'on lit "An'est pas inclus dansB".

EXEMPLE:

Z??N: tout entier relatif n'est pas forcément un entier naturel, par exemple-1?Zmais-1??N. [0;1]??R?: par exemple 0?[0;1]mais 0??R?. 9/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices

Égalité de deux ensembles

Pour montrer queA=B, il faut et il suffit de montrer la double inclusionA?BetB?A, ce qui équivaut à montrer que tout élément deAest élément deBet réciproquement que tout

élément deBest élément deA.

EXEMPLE: Montrer queA∩(B?C) = (A∩B)?(A∩C) 10/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices Plan

1Appartenance, inclusion

2intersection

3réunion

4complémentaire

5différence symétrique

6exercices

11/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices intersection de deux ensembles On définit l'intersection de deux partiesAetBd'un ensembleE comme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à la fois àAet àB.

EXEMPLE:

On considère deux disquesAetB:

A B 12/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices intersection de deux ensembles On définit l'intersection de deux partiesAetBd'un ensembleE comme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à la fois àAet àB.

EXEMPLE:

On considère deux disquesAetB:

A B A B en rose :A∩B 13/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices intersection d'ensembles On généralise l'intersection à plus d'ensembles : On définit l'intersection d'une famille de sous-ensembles(Ai)i?I d'un ensembleEcomme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à chacun des ensemblesAi. x?? i?IA i?? ?i?I,x?Ai

EXEMPLE: On considère trois disquesA,BetC:

A B C 14/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices intersection d'ensembles On généralise l'intersection à plus d'ensembles : On définit l'intersection d'une famille de sous-ensembles(Ai)i?I d'un ensembleEcomme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à chacun des ensemblesAi. x?? i?IA i?? ?i?I,x?Ai

EXEMPLE: On considère trois disquesA,BetC:

A B CA B C en rose :A∩B 15/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices intersection d'ensembles On généralise l'intersection à plus d'ensembles : On définit l'intersection d'une famille de sous-ensembles(Ai)i?I d'un ensembleEcomme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à chacun des ensemblesAi. x?? i?IA i?? ?i?I,x?Ai

EXEMPLE: On considère trois disquesA,BetC:

A B CA B CA B C en rose :A∩Bet en vertA∩B∩C 16/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices intersection de deux ensembles On définit l'intersection de deux partiesAetBd'un ensembleE comme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à la fois àAet àB.

Exemples :

R +∩R-= [-1;1]∩[0;3] = 17/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices intersection de deux ensembles On définit l'intersection de deux partiesAetBd'un ensembleE comme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à la fois àAet àB.

Exemples :

R +∩R-={0}[-1;1]∩[0;3] = 18/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices intersection de deux ensembles On définit l'intersection de deux partiesAetBd'un ensembleE comme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à la fois àAet àB.

Exemples :

R +∩R-={0}[-1;1]∩[0;3] = [0;1] 19/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices intersection d'ensembles On généralise l'intersection à plus d'ensembles : On définit l'intersection d'une famille de sous-ensembles(Ai)i?I d'un ensembleEcomme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à chacun des ensemblesAi. x?? i?IA i?? ?i?I,x?Ai

EXEMPLE:

n?N?? -1 n;1n?= 20/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices intersection d'ensembles On généralise l'intersection à plus d'ensembles : On définit l'intersection d'une famille de sous-ensembles(Ai)i?I d'un ensembleEcomme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à chacun des ensemblesAi. x?? i?IA i?? ?i?I,x?Ai

EXEMPLE:

n?N?? -1 n;1n?={0} 20/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices Plan

1Appartenance, inclusion

2intersection

3réunion

4complémentaire

5différence symétrique

6exercices

21/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices réunion de deux ensembles On définit la réunion de deux partiesAetBd'un ensembleE comme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent àA ou àB, le ou n'étant pas exclusif.

EXEMPLE:

On considère deux disquesAetB:

A B 22/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices réunion de deux ensembles On définit la réunion de deux partiesAetBd'un ensembleE comme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent àA ou àB, le ou n'étant pas exclusif.

EXEMPLE:

On considère deux disquesAetB:

A B A B A B en bleuA?B 23/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices réunion d'ensembles On généralise la réunion à plus d'ensembles : On définit la réunion d'une famille de sous-ensembles(Ai)i?I d'un ensembleEcomme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à au moins l'un des ensemblesAi. x?? i?IA i?? ?i?I,x?Ai

EXEMPLE: On considère trois disquesA,BetC:

A B CA B CA B C

En bleuA?C

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Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices réunion d'ensembles On généralise la réunion à plus d'ensembles : On définit la réunion d'une famille de sous-ensembles(Ai)i?I d'un ensembleEcomme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent à au moins l'un des ensemblesAi. x?? i?IA i?? ?i?I,x?Ai

EXEMPLE: On considère trois disquesA,BetC:

A B CA B CA B CA B C

En bleuA?C; et en roseA?B?C

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Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices réunion de deux ensembles On définit la réunion de deux partiesAetBd'un ensembleE comme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent àA ou àB, le ou n'étant pas exclusif.

EXEMPLES:

[-1;2]?[0;5] = 26/49

Appartenance, inclusion

intersection réunion exercices réunion de deux ensembles On définit la réunion de deux partiesAetBd'un ensembleE comme l'ensemble des élémentsx?Equi appartiennent àAquotesdbs_dbs1.pdfusesText_1
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