Cours et exercices corrigés en probabilités PDF

TD 4 : Variables aléatoires discrètes

1) Déterminer la loi de probabilité de la V.A.X.. 2) Calculer l'espérance mathématique la variance et l'écart type. Exercice 3 : Une usine fabrique des

Variables aléatoires discrètes

Définir une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité son espérance. Correction ▽. [006008]. Exercice 5. 1. Page

Exercices corrigés de probabilités et statistique

3.2 Lois discrètes classiques. Exercice 3.4. Énoncé Pour améliorer la sûreté Lois discrètes classiques. 43. Correction. On note C la variable aléatoire ...

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Les formules pour les variables discrètes

CHAPITRE 2 VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE 2.1 Variable

Corrigé exercice 2.1. 1. Déterminer la loi de probabilité de la v.a. X : X(Ω) = {−5−4

Lois de probabilités discrètes

X suit-il une loi uniforme discrète ? ▷ Exercice n°2. On lance un dé cubique à 6 faces. On gagne 1 euro si on tombe sur une face paire.

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Lois discrètes. Nom. Paramètres. Support. Définition : P(A) = ∑a∈A p(a). Loi de Dirac δa a ∈ R. {a} p(a)=1. Loi de Bernoulli B(p) p ∈ [0 1]. {0

Cogmaster Probabilités discrètes Feuille de TD no3 : Indépendance

Correction Il faut donc calculer la probabilité qu'au moins un chasseur touche l'oiseau. C'est exactement le même calcul qu'à la question 4 de l'exercice

7 Lois de probabilité

Remarque 7.7 Le terme "+1/2" est un facteur de correction pour la continuité. Le fait est qu'en utilisant une loi normale pour effectuer une approximation d'une

Exercices corrigés

La variable aléatoire Y suit donc une loi de Poisson de paramètre λp. Page 40. 36. PROBABILITÉS POUR L'INGÉNIEUR. EXERCICE 3.5.– [Conditionnement et inclusion].

Cours et exercices corrigés en probabilités

Donc X(?) = {01

Variables aléatoires discrètes

la loi de probabilité de X quelle est son espérance

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Corrigés des exercices . centrale) Lois de probabilités fréquemment utilisées en statistique (Loi normale

IUT GB - Fiche de TD – Variables aléatoires discrètes Exercice 1. On

Quelle loi la variable suit-elle ? Donner son espérance sa variance et son écart type. 2. Calculer la probabilité : ?(3 ? ? 7). Corrigé.

Exercices de Probabilités

3.1 Loi de Bernoulli loi binomiale . Quelle loi de probabilité P peut-on choisir ? ... Exercice 2 (Couple de variables aléatoires discrètes).

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Exercice 1. Lois binomiale et géométrique. Soit X1X2

Exercices corrigés de probabilités et statistique

1 Expériences aléatoires et probabilités. 1. 2 Conditionnement et indépendance. 11. 3 Variables aléatoires discrètes. 25. 3.1 Loi fonction de répartition

Cogmaster Probabilités discrètes Feuille de TD no3 : Indépendance

Indépendance d'événements variables aléatoires

Exercices Corrigés Statistique et Probabilités

et tracez le diagramme en bâtons et le diagramme à secteurs. Correction de l'exercice 1 a. Age est une variable quantitative discrète. Age Ni fi.

Exercices corrigés

Déterminer la densité de probabilité conjointe du couple (UV ). 2. En déduire les lois marginales de U et V . 3. Calculer les matrices de covariance de [X Y ]t

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Cours et exercices corrigés en

probabilités

Réalisé par:

Delhoum Zohra Sabrina

Année universitaire: 2020-2021

Niveau : Deuxième année " Classes préparatoires »

TABLE DES MATIÈRES

Introduction3

1 Introduction aux probabilités 4

1.1 Vocabulaire des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Intersection et réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Le complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 La différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 La différence symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.5 L"ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Algèbre des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Espace Probabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Variable aléatoire discrète 12

2.1 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Loi de probabilité d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Fonction de répartition d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Moments d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.3 Moments non centrés et centrés d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . .

2.5 Fonction génératrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Transformation d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9 Lois usuelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.4 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
1 2

2.9.5 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . .

2.11 Fonction génératrice des moments d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . .

2.12 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Variable aléatoire continue 33

3.1 Variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Loi de probabilité d"une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Moments d"une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.3 Moments non centrés et centrés d"une v.a. continue . . . . . . . . . . . .

3.4 Lois usuelles continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.3 Loi normale ou de Laplace-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.4 Loi gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.5 Loi du khi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Approximation de la loi binomiale par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Transformation d"une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Fonction génératrice des moments d"une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliographie 60

INTRODUCTION

La théorie des probabilités est une branche bien établie des mathématiques qui trouve des

applications dans tous les domaines de l"activité scientifique, de la musique à la physique, et

dans l"expérience quotidienne, de la prévision météorologique à la prédiction des risques des

nouveaux traitements médicaux.

Ce polycopié est une introduction au calcul des probabilités, il est destiné aux étudiants de

la deuxième année des classes préparatoires.

Il est constitué de trois chapitres :

Le premier chapitre est un rappel sur le calcul des probabilités. Dans ce chapitre, nous avons

introduit la définition mathématique d"un espace de probabilité, la notion de probabilité condi-

tionnelle ainsi que la notion d"indépendance pour les événements qui reste une notion propre à

la théorie de la probabilité.

Le deuxième chapitre est consacré aux variables aléatoires discrètes, après la définition de

cette notion, nous étudions les principales lois de probabilité discrètes, le problème de transfor-

mation d"une variable aléatoire discrète ainsi que l"approximation d"une loi binomiale par une loi de Poisson.

Enfin, le troisième et dernier chapitre est consacré aux variables aléatoires continues. Dans

ce chapitre, nous avons donné la définition de cette notion en étudiant en détail les principales

lois de probabilité continues, le problème de transformation d"une variable aléatoire continue

ainsi qu"une première approche concernant l"approximation d"une loi binomiale par une loi Nor- male.

Dans le deuxième et le troisième chapitre, nous avons proposé des séries d"exercices corrigés

à difficulté variable pour que l"étudiant puisse assimiler le contenu de chaque chapitre. 3

CHAPITRE1INTRODUCTION AUX PROBABILITÉS

1.1 Vocabulaire des probabilités

1.1.1 Univers

On donne les définitions suivantes :

•Une expérience aléatoireest toute expérience dont le résultat est régi par le hasard.

•Chaque résultat possible et prévisible d"une expérience aléatoire est appelééventualité

liée à l"expérience aléatoire.

•L"ensemble formé par les éventualités est appeléunivers, il est très souvent notéΩ.

Exemple 1.1.1•L"univers associé à l"expérience aléatoire " Lancer d"une pièce de monnaie » est :

Ω ={P,F}.

•L"univers associé à l"expérience aléatoire " Lancer d"un dé » est :

Ω ={1,2,3,4,5,6}.1.1.2 Événements

On donne les définitions suivantes :

•Unévénementd"une expérience aléatoire est une partie quelconque de l"universΩ.

•Un événement ne comprenant qu"une seule éventualité est unévénement élémentaire.

•L"événement qui ne contient aucune éventualité est l"événement impossible, noté∅.

•L"événement composé de toutes les éventualités est appeléévénement certain.

Exemple 1.1.2Lancer d"un dé à six faces :

•L"univers :Ω ={1,2,3,4,5,6}.4

1.2 Opérations sur les ensembles 5

•Obtenir2est une éventualité de cette expérience aléatoire. •A:" obtenir un5» est un événement élémentaire que l"on peut noterA={5}. •B:" obtenir un numéro pair » est un événement que l"on peut noterB={2,4,6}. •Obtenir7est un événement impossible. •Obtenir un nombre positif est un événement certain.1.2 Opérations sur les ensembles SoitΩun ensemble etA,Bdeux sous-ensembles deΩ:

1.2.1 Intersection et réunion

Définition 1.2.1La réunion des deux ensemblesAetBnotéA?Best l"ensemble constitué par les éléments

deΩappartenant àAou àB. Autrement dit :

A?B={w?Ω/ w?Aouw?B}.

Définition 1.2.2L"intersection des deux ensemblesAetBnotéA∩Best l"ensemble constitué par les éléments

deΩappartenant àAet àB. Autrement dit :

A∩B={w?Ω/ w?Aetw?B}.

Remarque1.2.1.SiA∩B=∅, on dit que les événementsAetBsontdisjointsouincompa- tibles. Exemple 1.2.1On considère l"ensemble constitué des chiffres de 1 à 10. On noteAl"événement " obtenir un chiffre pair » etBl"événement " obtenir un chiffre strictement inférieur à six ». •A∩B:" obtenir un chiffre pair et inférieure strictement à six »

A∩B={2,4}.

•A?B:" obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six »

A?B={1,2,3,4,5,6,8,10}.1.2.2 Le complémentaire

Définition 1.2.3Le complémentaire de l"ensembleAnotéA(ouAc) est l"ensemble constitué des éléments de

Ωqui n"appartiennent pas àA. Autrement dit :A={w?Ω/ w /?A}.

1.3 Algèbre des événements 6

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Année universitaire: 2020-2021

TABLE DES MATIÈRES

Introduction3

1 Introduction aux probabilités 4

1.1 Vocabulaire des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2 Événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Intersection et réunion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2 Le complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3 La différence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.4 La différence symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.5 L"ensemble des parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Algèbre des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Espace Probabilisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Variable aléatoire discrète 12

2.1 Variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Loi de probabilité d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Fonction de répartition d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Moments d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4.3 Moments non centrés et centrés d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . .

2.5 Fonction génératrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Transformation d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9 Lois usuelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.4 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.9.5 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.10 Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . .

2.11 Fonction génératrice des moments d"une v.a. discrète . . . . . . . . . . . . . . .

2.12 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Variable aléatoire continue 33

3.1 Variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Loi de probabilité d"une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Moments d"une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.2 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3.3 Moments non centrés et centrés d"une v.a. continue . . . . . . . . . . . .

3.4 Lois usuelles continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.3 Loi normale ou de Laplace-Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.4 Loi gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.5 Loi du khi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Approximation de la loi binomiale par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Transformation d"une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Fonction génératrice des moments d"une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliographie 60

INTRODUCTION

Il est constitué de trois chapitres :

CHAPITRE1INTRODUCTION AUX PROBABILITÉS

1.1 Vocabulaire des probabilités

1.1.1 Univers

On donne les définitions suivantes :

Ω ={P,F}.

Ω ={1,2,3,4,5,6}.1.1.2 Événements

On donne les définitions suivantes :

Exemple 1.1.2Lancer d"un dé à six faces :

1.2 Opérations sur les ensembles 5

1.2.1 Intersection et réunion

A?B={w?Ω/ w?Aouw?B}.

A∩B={w?Ω/ w?Aetw?B}.

A∩B={2,4}.

A?B={1,2,3,4,5,6,8,10}.1.2.2 Le complémentaire

1.3 Algèbre des événements 6