Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento PDF

TD 4 : Variables aléatoires discrètes

1) Déterminer la loi de probabilité de la V.A.X.. 2) Calculer l'espérance mathématique la variance et l'écart type. Exercice 3 : Une usine fabrique des

Variables aléatoires discrètes

Définir une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité son espérance. Correction ▽. [006008]. Exercice 5. 1. Page

Exercices corrigés de probabilités et statistique

3.2 Lois discrètes classiques. Exercice 3.4. Énoncé Pour améliorer la sûreté Lois discrètes classiques. 43. Correction. On note C la variable aléatoire ...

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Les formules pour les variables discrètes

CHAPITRE 2 VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE 2.1 Variable

Corrigé exercice 2.1. 1. Déterminer la loi de probabilité de la v.a. X : X(Ω) = {−5−4

Lois de probabilités discrètes

X suit-il une loi uniforme discrète ? ▷ Exercice n°2. On lance un dé cubique à 6 faces. On gagne 1 euro si on tombe sur une face paire.

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Lois discrètes. Nom. Paramètres. Support. Définition : P(A) = ∑a∈A p(a). Loi de Dirac δa a ∈ R. {a} p(a)=1. Loi de Bernoulli B(p) p ∈ [0 1]. {0

Cogmaster Probabilités discrètes Feuille de TD no3 : Indépendance

Correction Il faut donc calculer la probabilité qu'au moins un chasseur touche l'oiseau. C'est exactement le même calcul qu'à la question 4 de l'exercice

7 Lois de probabilité

Remarque 7.7 Le terme "+1/2" est un facteur de correction pour la continuité. Le fait est qu'en utilisant une loi normale pour effectuer une approximation d'une

Exercices corrigés

La variable aléatoire Y suit donc une loi de Poisson de paramètre λp. Page 40. 36. PROBABILITÉS POUR L'INGÉNIEUR. EXERCICE 3.5.– [Conditionnement et inclusion].

Cours et exercices corrigés en probabilités

Donc X(?) = {01

Variables aléatoires discrètes

la loi de probabilité de X quelle est son espérance

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Corrigés des exercices . centrale) Lois de probabilités fréquemment utilisées en statistique (Loi normale

IUT GB - Fiche de TD – Variables aléatoires discrètes Exercice 1. On

Quelle loi la variable suit-elle ? Donner son espérance sa variance et son écart type. 2. Calculer la probabilité : ?(3 ? ? 7). Corrigé.

Exercices de Probabilités

3.1 Loi de Bernoulli loi binomiale . Quelle loi de probabilité P peut-on choisir ? ... Exercice 2 (Couple de variables aléatoires discrètes).

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Exercice 1. Lois binomiale et géométrique. Soit X1X2

Exercices corrigés de probabilités et statistique

1 Expériences aléatoires et probabilités. 1. 2 Conditionnement et indépendance. 11. 3 Variables aléatoires discrètes. 25. 3.1 Loi fonction de répartition

Cogmaster Probabilités discrètes Feuille de TD no3 : Indépendance

Indépendance d'événements variables aléatoires

Exercices Corrigés Statistique et Probabilités

et tracez le diagramme en bâtons et le diagramme à secteurs. Correction de l'exercice 1 a. Age est une variable quantitative discrète. Age Ni fi.

Exercices corrigés

Déterminer la densité de probabilité conjointe du couple (UV ). 2. En déduire les lois marginales de U et V . 3. Calculer les matrices de covariance de [X Y ]t

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Université Paris 13, Institut Galilée Préparation à l"agrégation

Année universitaire 2013-2014

Exercices de probabilités

avec éléments de correctionMemento

Fonctions associées aux lois

PourXvariable aléatoire à valeurs dansRd,

F onctionde répartition (si d= 1) :FX(t) =P(Xt),t2R F onctiongénératrice (si Xà valeurs dansN) :GX(s) =E[sX] =P1 n=0P(X=n)sn,s2 j R;Rj T ransforméede Laplace : LX() =E[eh;Xi]2]0;+1],2Rd F onctioncaractéristique : X(t) =E[eiht;Xi]2C,t2Rd Lois discrètesNomParamètresSupportDéfinition :P(A) =P

a2Ap(a)Loi de Diracaa2Rfagp(a) = 1Loi de BernoulliB(p)p2[0;1]f0;1gp(0) = 1p,p(1) =pLoi binomialeB(n;p)n2N,p2[0;1]f0;:::;ngp(k) =n

kpk(1p)nkLoi géométriqueG(p)p2]0;1]N p(k) = (1p)k1pLoi de PoissonP()2]0;+1[Np(k) =ekk!Lois continues

NomParamètresSupportDéfinition :P(A) =R

Af(x)dxLoi uniformeU([a;b])a < b[a;b]f(x) =1ba1[a;b](x)Loi exponentielleE()2]0;1[]0;+1[f(x) =ex1]0;+1[(x)Loi de Cauchya2]0;+1[Rf(x) =a(a2+x2)Loi normale/gaussienneN(m;2)m2R; 22]0;+1[Rf(x) =1p22exp

(xm)222Déterminer des lois : exemples

Exercice 1.Lois binomiale et géométrique

SoitX1;X2;:::une suite de variables aléatoires indépendantes et de loiB(p)oùp2[0;1].

1.On supposep >0. On définitN= inffn1jXn= 1g.

1.a)Montrer queP(N=1) = 0et queNsuit la loi géométrique de paramètrep.

1.b)Calculer l"espérance et la variance deN.

2.Soitn1. On définitSn=X1++Xn.

2.a)Montrer queSnsuit la loi binomiale de paramètresnetp, par une preuve directe puis en utilisant des

fonctions génératrices.

2.b)Calculer l"espérance et la variance deSn(utiliser la définition deSn).

Exercice 2.Minimum et maximum d"une famille de variables aléatoires exponentielles

SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de lois respectivesE()etE(). À l"aide de fonctions de

répartition, déterminer les lois deU= min(X;Y)etV= max(X;Y). On précisera leur densité (le cas échéant).

Exercice 3.Somme de variables aléatoires

1.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loisP()etP(). Déterminer la loi deX+Y, directement

puis via les fonctions génératrices.

2.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loi de Cauchy de paramètreaetb. À l"aide des fonctions

caractéristiques, déterminer la loi deX+Y.Pour obtenirX, on pourra utiliser la formule de Cauchy avec un

contour bien choisi, ou alors avoir l"idée de calculer la fonction caractéristique de la loi de Laplace

a2 eajxjdx et utiliser la formule d"inversion.

Exercice 4.Lois images

1.SoitXune variables aléatoire de loiE(). Déterminer la loi debXc+ 1.C"est une loi géométrique.

2.SoitUune variable aléatoire de loiU([1;1]). Déterminer la loi dearcsin(U).

3.SoitXde loiN(0;1). Déterminer la loi dejXj.

4.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). Déterminer la loi deXY

. En déduire la loi de 1Z siZsuit une loi de Cauchy de paramètre 1.

5.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). On définit les variables aléatoiresR;par

(X;Y) = (Rcos;Rsin),R >0et2[0;2[. Montrer queRetsont indépendantes et déterminer leurs lois.

Exercice 5.Loi Gamma

Poura >0et >0, on définit la loi

a;par sa densité relativement à la mesure de Lebesgue : f a;(x) =a(a)xa1ex1R+(x):

1.Vérifier que cette fonction définit bien une densité.

2.Déterminer l"espérance de cette loi.On utilise le fait que(a+ 1) =a(a)pour obtenir que l"espérance de cette loi esta=.

3.SoitV1;V2;:::;Vndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiE(). Déterminer la loi du vecteur

(V1;V1+V2;:::;V1++Vn)et en déduire queV1++Vn n;.Pourn= 1, ok. Supposonsn2etS:=V1+:::+Vn1de loi n1;. Soitgune fonction mesurable bornée deRdansR. On a

E(g(V1+:::+Vn)) =E(g(S+Vn)) =Z

R g(x+y)dP(S;Vn)(x;y) et

E(g(V1+:::+Vn)) =Z

R g(t)dPV1+:::+Vn(t): Commef(v1;:::;vn1) =v1+:::+vn1etg(vn) =v2nmesurables on en déduit queSetVnsont indépen- dantes car(V1;:::;Vn1)etVnle sont, Z R g(x+y)dP(S;Vn)(x;y) =Z 1 0 dxZ 1 x dtg(t)n1(n1)etxn2 Z 1 0 g(t)n1(n1)etxn1=(n1)t 0dt Z R g(t)n(n)exp(t)tn11R+(t)dt

4.SoitXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes de loi

a;.

4.a)Déterminer la loi deX.On peut utiliser la fonction de répartition. Avec un changement de variable on voit queX

a;1.

4.b)Montrer queX+YetX=Ysont des v.a. indépendantes dont on calculera les lois.Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=Y)(u;v)

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2gf(x;y)dP(X;Y)(x;y)

oùf(x;y) = (x+y;x=y)définie de(R+)2vers(R+)2. Comme les variablesXetYsont indépendantes, le couple(X;Y)a pour densitédPX(x)dPY(y)par rapport à la mesure de Lebesgue surR2.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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Fonctions associées aux lois

PourXvariable aléatoire à valeurs dansRd,

NomParamètresSupportDéfinition :P(A) =R

Exercice 1.Lois binomiale et géométrique

1.On supposep >0. On définitN= inffn1jXn= 1g.

1.a)Montrer queP(N=1) = 0et queNsuit la loi géométrique de paramètrep.

1.b)Calculer l"espérance et la variance deN.

2.Soitn1. On définitSn=X1++Xn.

2.a)Montrer queSnsuit la loi binomiale de paramètresnetp, par une preuve directe puis en utilisant des

2.b)Calculer l"espérance et la variance deSn(utiliser la définition deSn).

Exercice 3.Somme de variables aléatoires

1.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loisP()etP(). Déterminer la loi deX+Y, directement

2.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loi de Cauchy de paramètreaetb. À l"aide des fonctions

Exercice 4.Lois images

1.SoitXune variables aléatoire de loiE(). Déterminer la loi debXc+ 1.C"est une loi géométrique.

2.SoitUune variable aléatoire de loiU([1;1]). Déterminer la loi dearcsin(U).

3.SoitXde loiN(0;1). Déterminer la loi dejXj.

4.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). Déterminer la loi deXY

5.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). On définit les variables aléatoiresR;par

Exercice 5.Loi Gamma

Poura >0et >0, on définit la loi

1.Vérifier que cette fonction définit bien une densité.

2.Déterminer l"espérance de cette loi.On utilise le fait que(a+ 1) =a(a)pour obtenir que l"espérance de cette loi esta=.

3.SoitV1;V2;:::;Vndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiE(). Déterminer la loi du vecteur

E(g(V1+:::+Vn)) =E(g(S+Vn)) =Z

E(g(V1+:::+Vn)) =Z

4.SoitXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes de loi

4.a)Déterminer la loi deX.On peut utiliser la fonction de répartition. Avec un changement de variable on voit queX

4.b)Montrer queX+YetX=Ysont des v.a. indépendantes dont on calculera les lois.Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=Y)(u;v)

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2gf(x;y)dP(X;Y)(x;y)