Exercices corrigés PDF La variable aléatoire Y

TD 4 : Variables aléatoires discrètes

1) Déterminer la loi de probabilité de la V.A.X.. 2) Calculer l'espérance mathématique la variance et l'écart type. Exercice 3 : Une usine fabrique des

Variables aléatoires discrètes

Définir une variable aléatoire associée à ce problème et donner sa loi de probabilité son espérance. Correction ▽. [006008]. Exercice 5. 1. Page

Exercices corrigés de probabilités et statistique

3.2 Lois discrètes classiques. Exercice 3.4. Énoncé Pour améliorer la sûreté Lois discrètes classiques. 43. Correction. On note C la variable aléatoire ...

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Les formules pour les variables discrètes

CHAPITRE 2 VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE 2.1 Variable

Corrigé exercice 2.1. 1. Déterminer la loi de probabilité de la v.a. X : X(Ω) = {−5−4

Lois de probabilités discrètes

X suit-il une loi uniforme discrète ? ▷ Exercice n°2. On lance un dé cubique à 6 faces. On gagne 1 euro si on tombe sur une face paire.

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Lois discrètes. Nom. Paramètres. Support. Définition : P(A) = ∑a∈A p(a). Loi de Dirac δa a ∈ R. {a} p(a)=1. Loi de Bernoulli B(p) p ∈ [0 1]. {0

Cogmaster Probabilités discrètes Feuille de TD no3 : Indépendance

Correction Il faut donc calculer la probabilité qu'au moins un chasseur touche l'oiseau. C'est exactement le même calcul qu'à la question 4 de l'exercice

7 Lois de probabilité

Remarque 7.7 Le terme "+1/2" est un facteur de correction pour la continuité. Le fait est qu'en utilisant une loi normale pour effectuer une approximation d'une

Cours et exercices corrigés en probabilités

Donc X(?) = {01

Variables aléatoires discrètes

la loi de probabilité de X quelle est son espérance

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Corrigés des exercices . centrale) Lois de probabilités fréquemment utilisées en statistique (Loi normale

IUT GB - Fiche de TD – Variables aléatoires discrètes Exercice 1. On

Quelle loi la variable suit-elle ? Donner son espérance sa variance et son écart type. 2. Calculer la probabilité : ?(3 ? ? 7). Corrigé.

Exercices de Probabilités

3.1 Loi de Bernoulli loi binomiale . Quelle loi de probabilité P peut-on choisir ? ... Exercice 2 (Couple de variables aléatoires discrètes).

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Exercice 1. Lois binomiale et géométrique. Soit X1X2

Exercices corrigés de probabilités et statistique

1 Expériences aléatoires et probabilités. 1. 2 Conditionnement et indépendance. 11. 3 Variables aléatoires discrètes. 25. 3.1 Loi fonction de répartition

Cogmaster Probabilités discrètes Feuille de TD no3 : Indépendance

Indépendance d'événements variables aléatoires

Exercices Corrigés Statistique et Probabilités

et tracez le diagramme en bâtons et le diagramme à secteurs. Correction de l'exercice 1 a. Age est une variable quantitative discrète. Age Ni fi.

Exercices corrigés

Déterminer la densité de probabilité conjointe du couple (UV ). 2. En déduire les lois marginales de U et V . 3. Calculer les matrices de covariance de [X Y ]t

Exercices corrigés

Dominique Pastor & Christophe Sintes

Version - 1 (Mai 2014)

Table des matières

1 Aléatoire et formalisme 3

2 Variables aléatoires et moments 17

3 Aléatoire multivarié 29

Introduction

Le lecteur trouvera ici les énoncés et corrigés des exercices proposés dans "Probabilités pour l"ingénieur, des fondements aux calculs" Certains des énoncés ci-dessous ont été modifiés par rapport à ceux de l"ouvrage Nous conseillons au lecteur de consulter ce livret d"énoncés et de corrigés régu- lièrement car nous proposerons de nouveaux exercices. Nous envisageons notam- ment quelques exercices ou problèmes où les calculs seront suivis de programma- tions Matlab permettant de vérifier la validité des résultats trouvés par le lecteur. Que les lecteurs intéressés n"hésitent pas à nous contacter pour nous faire part de leurs suggestions aux adresses électroniques :

Dominique.Pastor@telecom-bretagne.eu

Christophe.Sintes@telecom-bretagne.eu

Nous suggérons à nos éventuels correspondants de débuter le sujet de leur cour- riel par l"abbréviation PP I (p robabilitésp ourl "ingénieur),c eq uinous p ermettrade mieux identifier la nature de leur courriel. 1

Chapitre 1

Aléatoire et formalisme

EXERCICE1.1.-[Convergences monotone et dominée] nmériques positives ou nulles, sans préciser la fonction vers laquelle cette suite surables positives ou nulles, alors la limite de la suite (fn(x))n2Nexiste dansj0,1] pour toutx2R. Les notions de mesurabilité et d"intégrale s"étendent sans réelle dif- ficulté au cas des fonctions positives ou nulles à valeurs dans [0,1]. La conclusion du théorème de convergence monotone est alors inchangée :fAElimnfnest mesu- rable et : lim kZ R fkd¸AEZ R fd¸ Il faut utiliser cet énoncé plus général de la convergence monotone pour répondre aux questions suivantes. 1. S oit( gn)n2Nune suite d"applications numériques mesurables à valeurs dans [0,1[. Montrer queZ R1 X nAE1g n(x)dxAE1X nAE1Z R gn(x)dx. 2. S oit(fn)n2Nunesuited"applicationsnumériquesmesurables.Onsupposeque 1X nAE1Z R jfn(x)jdxÇ1. On poseÁ(x)AE1X nAE1jfn(x)j2[0,1] pour toutx2R. (a)

M ontrerq ue

Z R

Á(x)dxÇ1.

(b) E na dmettantque toute ap plicationint égrableest finie p resquep artout, déduire de la question précédente que 1X nAE1f n(x) converge pour presque tout réelxet queR

Rjf(x)jdxÇ 1avecf(x)AE1X

nAE1f n(x) en tout pointx 3

4PROBABILITÉS POUR L"INGÉNIEUR

où cette série converge etf(x)AE0 (par exemple) enxoù la sériePfn diverge. (c)

M ontrerqu eZ

R f(x)dxAE1X nAE1Z R fn(x)dx. Ce résultat est [RUD 87, Theo- rem 1.38, p. 29] dans le cas réel.

Solution

que somme finie d"applications mesurables. De plus, pour toutN2N,GNÊ0. Nous NR

RGN(x)dxAER

RlimNGN(x)dx. D"où le résultat, car :

Z R

GN(x)dxAENX

nAE1Z R gn(x)dx et lim NZ R

GN(x)dxAE1X

nAE1Z R gn(x)dx

2a) Par application de la question précédente, nous avons :

Z R

Á(x)dxAE1X

nAE1Z R jf(x)jdxÇ1

2b) Comme

R RÁ(x)dxÇ1,Áest finie presque partout. Il s"ensuit que pour presquequotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

[PDF] Exercices corrigés La variable aléatoire Y

Exercices corrigés

Dominique Pastor & Christophe Sintes

Version - 1 (Mai 2014)

Table des matières

1 Aléatoire et formalisme 3

2 Variables aléatoires et moments 17

3 Aléatoire multivarié 29

Introduction

Dominique.Pastor@telecom-bretagne.eu

Christophe.Sintes@telecom-bretagne.eu

Chapitre 1

Aléatoire et formalisme

M ontrerq ue

Á(x)dxÇ1.

Rjf(x)jdxÇ 1avecf(x)AE1X

4PROBABILITÉS POUR L"INGÉNIEUR

M ontrerqu eZ

Solution

RGN(x)dxAER

RlimNGN(x)dx. D"où le résultat, car :

GN(x)dxAENX

GN(x)dxAE1X

2a) Par application de la question précédente, nous avons :

Á(x)dxAE1X

2b) Comme